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        線段上連續(xù)非混沌自映射某類點(diǎn)的軌跡

        2015-11-17 07:25:50
        關(guān)鍵詞:充分條件單調(diào)線段

        趙 勇

        (西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637009)

        一維動(dòng)力系統(tǒng),特別是線段Ⅰ上的自映射的研究近50年來(lái)發(fā)展迅速,已經(jīng)成為動(dòng)力系統(tǒng)領(lǐng)域中一個(gè)不可忽視的分支.盡管如此,對(duì)線段上自映射迭代的研究,還有很多不完善的地方亟待發(fā)展和突破.其中之一就是“混沌的本質(zhì)是什么[1]”.對(duì)此問(wèn)題,人們已從多個(gè)角度得到了若干充分條件或必要條件[1-8].本文將在前文[4-5]研究的基礎(chǔ)上,繼續(xù)從?-極限點(diǎn)的軌跡特點(diǎn)來(lái)考慮這一問(wèn)題.文中出現(xiàn)的符號(hào)參見(jiàn)文獻(xiàn)[4].

        1 預(yù)備知識(shí)

        引理1[4]設(shè)f 為線段Ⅰ上的連續(xù)自映射,f 的周期點(diǎn)集P(f)不是閉集,則ω(f)-P(f)≠?.

        引理2[2]設(shè)f 為線段Ⅰ上的連續(xù)自映射,則以下條件等價(jià):

        (1)f 的周期點(diǎn)的周期都是2 的方冪;

        (2)對(duì)任意X∈Ω(f)-P(f),都有ω(X,f)∩P(f)=?;

        引理3 設(shè)f 為線段Ⅰ上的連續(xù)自映射,f 的周期點(diǎn)集P(f)不是閉集且只有2 的方冪的周期點(diǎn),則對(duì)任意的X∈Ω(f)-P(f),{fn(X)}n=1,2,…,不能為單調(diào)或最終單調(diào)數(shù)列.

        證明:根據(jù)引理1,?X∈?(f)-P(f),下面用反證法證明:假設(shè){fn(X)}為單調(diào)或最終單調(diào)數(shù)列,則必存在m∈N*,使fm(X),fm+1(X),fm+2(X),…為單調(diào)數(shù)列,故必存在f 的不動(dòng)點(diǎn)T,使ω(X,f)={T},這與引理1 矛盾.

        引理4[4]設(shè)f 為線段Ⅰ上的連續(xù)自映射,X∈ω(f)-P(f),若存在m∈N*,使得:

        fm+1(X)>fm+2(X)>fm(X)>fm+3(X),則f 在Ⅰ上混沌.

        引理5[4]設(shè)f 為線段Ⅰ上的連續(xù)自映射,X∈ω(f)-P(f),若存在m∈N*,使得:

        fm+1(X)<fm+2(X)<fm(X)<fm+3(X),則f 在Ⅰ上混沌.

        引理6[6]設(shè)f 為線段Ⅰ上的連續(xù)自映射,X∈ω(f)-P(f),若存在m∈N*,使得:

        fm+3(X)<fm+2(X)<fm(X)<fm+1(X),則f 在Ⅰ上混沌.

        引理7[4]設(shè)f 為線段Ⅰ上的連續(xù)自映射,X∈ω(f)-P(f),若存在m∈N*,使得:

        fm+3(X)>fm+2(X)>fm(X)>fm+1(X),則f 在Ⅰ上混沌.

        引理8[4]設(shè)f 為線段Ⅰ上的連續(xù)自映射,X∈ω(f)-P(f),若存在m∈N*,使得:

        fm+2(X)<fm+3(X)<fm(X)<fm+1(X),則f 在Ⅰ上混沌.

        引理9[4]設(shè)f 為線段Ⅰ上的連續(xù)自映射,X∈ω(f)-P(f),若存在m∈N*,使得:

        fm+2(X)>fm+3(X)>fm(X)>fm+1(X),則f 在Ⅰ上混沌.

        引理10[5]設(shè)f 為線段Ⅰ上的連續(xù)自映射,X∈ω(f)-P(f),若存在mi∈N*(當(dāng)i→+∞時(shí),mi→+∞),使得:fmi(X)<fmi+3(X)<fmi+2(X)<fmi+1(X),則f 在Ⅰ上混沌.

        引理11[5]設(shè)f 為線段Ⅰ上的連續(xù)自映射,X∈ω(f)-P(f),若存在mi∈N*(當(dāng)i→+∞時(shí),mi→+∞),使得:fmi(X)>fmi+3(X)>fmi+2(X)>fmi+1(X),則f 在Ⅰ上混沌.

        2 主要結(jié)論

        定理1 設(shè)f 為線段Ⅰ上的連續(xù)自映射,周期點(diǎn)集不閉且f 在Ⅰ上只有2 的方冪的周期點(diǎn),則對(duì)任意X∈ω(f)-P(f),orbf(X)具有統(tǒng)一的規(guī)律(見(jiàn)證明結(jié)尾).

        證明:對(duì)?X∈?(f)-P(f),由引理2 知X 不能為f 的最終周期點(diǎn),又由引理3 知{fn(X)}n =1,2,…,不能為單調(diào)或最終單調(diào)數(shù)列,從而對(duì)任意的k∈N*,總存在m≥k,使下面16 種情況必有其中之一成立.

        因?yàn)閒 在Ⅰ上只有2 的方冪的周期點(diǎn),根據(jù)引理4 -11,存在k1∈N*,使得當(dāng)m >k1時(shí),1(1)、1(2)、2(1)、2(2)、3(1)、3(2)、4(1)、4(2)8 種情況必有其一出現(xiàn)無(wú)限次,而1(3)、1(4)、2(3)、2(4)、3(3)、3(4)、4(3)、4(4)一次也不會(huì)出現(xiàn).

        若當(dāng)m >k1,情況1(1)出現(xiàn),則有fm+2(X)<fm+3(X)<fm+1(X),用m 代替m+1 得fm+1(X)<fm+2(X)<fm(X),由于f 在Ⅰ上無(wú)非2 方冪的周期點(diǎn),則根據(jù)前面的討論,1(1)中迭代指標(biāo)中最大的三項(xiàng)fm+1(X)、fm+2(X)、fm+3(X)之間的大小關(guān)系只能為4(1)或4(2)中迭代指標(biāo)中最小的三項(xiàng),我們把這種后接關(guān)系記為:

        對(duì)1(1)、1(2)、2(1)、2(2)、3(1)、3(2)、4(1)、4(2)中的任一情況出現(xiàn)時(shí),只能按上面鏈接方式進(jìn)行下去,f在Ⅰ上才可能無(wú)非2 方冪的周期點(diǎn),在這種鏈接方式下,{fn(X)}n =1,2,…,總是按“遞增然后遞減”或“遞減然后遞增”的規(guī)律無(wú)休止地進(jìn)行下去,即不允許在當(dāng)m >k1之后,存在連續(xù)三項(xiàng)具有如下形式:fm(X)<fm+1(X)<fm+2(X)或fm(X)>fm+1(X)>fm+2(X),實(shí)際上,對(duì)任意固定的自然數(shù)t,存在正整數(shù)kt∈N*,當(dāng)m>kt時(shí),fm(X)、fm+t(X)、fm+2t(X)、fm+3t(X),…,也有上述當(dāng)t =1 時(shí)的性質(zhì),即:①具有“* ”標(biāo)明的鏈接關(guān)系;②{fn(X)}的子集{fm+it(X)},i=0,1,2,…中的點(diǎn)fm+it(X)總是按照i 值遞增的順序嚴(yán)格按照遞增然后遞減”或“遞減然后遞增”的規(guī)律無(wú)休止地進(jìn)行下去;③不會(huì)出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)具有如下形式:fm(X)<fm+t(X)<fm+2t(X)或fm(X)>fm+t(X)>fm+2t(X)

        現(xiàn)取r=max{k1,k2},則當(dāng)m >r 時(shí),不會(huì)出現(xiàn)

        fm(X)<fm+2(X)<fm+4(X)或者fm(X)>fm+2(X)>fm+4(X) (* )

        現(xiàn)討論1(1)首次出現(xiàn)時(shí),有以下鏈接關(guān)系:

        先看1(1)→4(1):

        1(1)為:fm(X)<fm+2(X)<fm+3(X)<fm+1(X)

        4(1)為:fm+2(X)<fm+4(X)<rm+3(X)<fm+1(X)

        故1(1)→4(1)為:fm(X)<fm+2(X)<fm+4(X)<fm+3(X)<fm+1(X),與(* )行矛盾,故1(1)→4(1)不成立.同理可證:4(2)→2(1)、2(2)→3(1)、3(2)→1(2)均不成立.所以,從1(1)開(kāi)始只能按照這樣的鏈接關(guān)系無(wú)限進(jìn)行下去:

        1(1)→4(2)→2(2)→3(2)→1(1)→…

        若以4(2)首次出現(xiàn),則有如下鏈接關(guān)系:

        4(2)→2(2)→3(2)→1(1)→4(2)→…

        若以2(2)首次出現(xiàn),則有如下鏈接關(guān)系:

        2(2)→3(2)→1(1)→4(2)→2(2)→…

        若以3(2)首次出現(xiàn),則有如下鏈接關(guān)系:

        3(2)→1(1)→4(2)→2(2)→3(2)→…

        同理可證:分別以1(2)、3(1)、2(1)、4(1)為首項(xiàng)的鏈接關(guān)系依次為:

        1(2)→3(1)→2(1)→4(1)→1(2)→…

        3(1)→2(1)→4(1)→1(2)→3(1)→…

        2(1)→4(1)→1(2)→3(1)→2(1)→…

        4(1)→1(2)→3(1)→2(1)→4(1)→…

        綜上,在定理?xiàng)l件下,對(duì)?X∈?(f)-P(f),orbf(X)具有這樣的規(guī)律:存在自然數(shù)nx,使得{fn(X)}n =1,2,…,從第nx項(xiàng)開(kāi)始,orbf(X)以:

        1(1)→4(2)→2(2)→3(2)→1(1)→…或1(2)→3(1)→2(1)→4(1)→1(2)→…為周期節(jié)無(wú)限鏈接下去.

        定理1 揭示了線段上非混沌且周期點(diǎn)集不閉的連續(xù)自映射的點(diǎn)X∈?(f)-P(f)的迭代軌跡的普遍規(guī)律,從另一個(gè)側(cè)面為進(jìn)一步解決混沌的充要條件提供了一個(gè)全新而有效的研究途徑,具有極為重要的作用.后文將在此結(jié)論的基礎(chǔ)上,繼續(xù)進(jìn)行深入研究.

        [1] LITY,YORKE J. Period Three Imply Chaos Amer[J].Math.monthly,1975,82:985 -992.

        [2] 張景中,熊金城. 函數(shù)迭代與一維動(dòng)力系統(tǒng)[M].成都:四川教育出版社,1992.187.

        [3] 耿祥義. Li-Yorke 混沌的充要條件[J].?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報(bào),2001,44(5):985 -992.

        [4] 趙 勇. 線段上連續(xù)自映射混沌現(xiàn)象的幾個(gè)充分條件[J].四川師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自).2002,23(4):342 -344.

        [5] 趙 勇. 線段上連續(xù)自映射混沌現(xiàn)象的幾個(gè)充分條件二[J].西華師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自).2003,24(4):335 -337

        [6] 趙 勇. 射混映射下周期點(diǎn)集的性質(zhì)[J]. 四川師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自).2000,20(1):25 -30.

        [7] 周作領(lǐng). 一維動(dòng)力系統(tǒng)[J].?dāng)?shù)學(xué)季刊.1988.3(1):42 -64.

        [8] 熊金城.線段映射的動(dòng)力體系:非游蕩集,拓?fù)潇丶盎靵y.?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)展,1988.17(1):1 -11.

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