☉江蘇省無錫市僑誼實驗中學(xué)　程燕英

☉江蘇省無錫市金星中學(xué)　朱宸材

新課程理念下數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計的有效性探索

☉江蘇省無錫市僑誼實驗中學(xué)程燕英

☉江蘇省無錫市金星中學(xué)朱宸材

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)比較注重教師對于知識的特定固有化訓(xùn)練，并不太注重學(xué)生情感、態(tài)度和價值觀在教學(xué)中的體現(xiàn).筆者思索自己在學(xué)生時代的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師在課堂上將數(shù)學(xué)的定義給出，而后提出幾項關(guān)于定義的注意要求，然后按照書本上的例題進行簡單的講解，而后以教材后續(xù)的練習(xí)進行訓(xùn)練，這是留在筆者腦海中新知教學(xué)的大致印象.時至今日，回想這樣的照本宣科式教學(xué)，筆者思考：這樣的教學(xué)似乎并不太關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)是否高效和有效，也沒有針對合理的學(xué)情進行有效的練習(xí)設(shè)計，更談不上教學(xué)是否達到了以生為本、注重建構(gòu)的教學(xué)理念！

另一方面，新課程實施后的數(shù)學(xué)教學(xué)也讓我們發(fā)現(xiàn)了傳統(tǒng)教學(xué)存在的不少問題.以往教學(xué)，我們從不關(guān)注以學(xué)生的角度思考是否可以輕松吸收這樣的形式化數(shù)學(xué)概念，教師弄懂了，學(xué)生實際卻大都并不明白.我們也并未對數(shù)學(xué)練習(xí)做過一些深入的思考：這樣的練習(xí)是否合適？是否符合學(xué)校自身的學(xué)情？若顯得有些難或易，教師應(yīng)該如何去設(shè)計才能讓教學(xué)變得有效、高效？有時我們做了很多練習(xí)但效果甚微，這里深層次的原因思考過嗎？筆者認為：因材施教是最好的理由，基于這一理由，對數(shù)學(xué)練習(xí)的設(shè)計必須依賴這一原則，符合學(xué)情的設(shè)計才是最好的設(shè)計.

一、數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計的功能

從教師選擇和開發(fā)來講，練習(xí)設(shè)計的功能主要還是下列三個方面，若能做到將這三方面進行有效的整合，這樣的練習(xí)設(shè)計是比較符合新課程理念和時代特征的，是與時俱進的.

（1）反饋功能.練習(xí)設(shè)計的第一功能即要將學(xué)生所學(xué)新知進行即時反饋，并且反饋的渠道應(yīng)該多樣化，諸如預(yù)習(xí)性練習(xí)設(shè)計反饋、新知類練習(xí)設(shè)計反饋、變式類練習(xí)設(shè)計反饋、研究性練習(xí)設(shè)計反饋、探索性練習(xí)設(shè)計反饋等，多樣化的反饋才能真正了解學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握程度，從另一方面來說，教師也可從反饋中不斷修正教學(xué)的進度和難度.

（2）發(fā)展功能.練習(xí)設(shè)計的要求需要體現(xiàn)對于學(xué)生思維達到一定的思維訓(xùn)練，這種思維訓(xùn)練可促進學(xué)生了解知識、理解知識、反思知識、鞏固知識和運用知識，數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計若按照這種螺旋式上升的層次設(shè)計，將會提高學(xué)生的思維能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這種發(fā)展對于學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)能力的要求是一種促進.

（3）教育功能.練習(xí)設(shè)計的合理性、邏輯性、高度整合性對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著充分的促進作用，從很多教輔資料中筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)練習(xí)基本是一些所謂的名師在拼湊，這些練習(xí)設(shè)計根本沒有什么邏輯性可言，更談不上教育功能.筆者對于練習(xí)的設(shè)計有更深層次的一些想法，即發(fā)展學(xué)生從特殊到一般、從具體到抽象的認知規(guī)律，使其產(chǎn)生對事物研究的一種邏輯感，體現(xiàn)數(shù)學(xué)練習(xí)的教育價值.

二、數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計的探索

對于練習(xí)設(shè)計的要求，在明確上述功能的基礎(chǔ)上，將合理具體根據(jù)學(xué)情進行實施.筆者結(jié)合案例來談對如何進行練習(xí)設(shè)計的幾種不同探索.

1.一題多解型練習(xí)設(shè)計

數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計切忌以題論題，否則往往造成知識間缺乏聯(lián)系性，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率也大大降低.筆者認為，練習(xí)選擇要盡可能具備開放性，只有具備開放性原則的練習(xí)，才能最大程度地激發(fā)學(xué)生的大腦思維.這樣的練習(xí)設(shè)計在什么時候使用？筆者的建議是：復(fù)習(xí)課、探索性課堂、課后練習(xí)鞏固，這樣的問題不宜過多，要做到有而精.

案例1：加工廠生產(chǎn)一種零件，有如下規(guī)定：∠A、∠B、∠C三個角的度數(shù)必須是90°、29°、21°，若檢測人員通過測量∠DCB=141°的方式就可以判別此零件為不合格品，請大家想想檢測人員這種判斷的依據(jù)是否合理，并說明理由.

說明：這是依據(jù)蘇教版七年級下冊教材改編而設(shè)計的一道數(shù)學(xué)練習(xí).主要目的是通過一題多解的方式培養(yǎng)學(xué)生的開放性思維，追求不同的解決問題的方式.

探索1：如圖2所示，連接BD，則∠ADB+∠ABD=90°，而∠ADC+∠ABC=29°+21°=50°，所以∠CDB+∠CBD= 90°-50°=40°，所以∠DCB=180°-40°=140°，因此標準尺寸應(yīng)是140°，141°不符合要求.

圖1

圖2

圖3

探索2：如圖3所示，延長DC交AB于E，則∠AED=90° -29°=61°，∠CEB=180°-61°=119°，故∠DCB=∠BEC+∠B=119°+21°=140°，所以141°不符合要求.

探索3：如圖4所示，連接AC并延長到E，則∠BCE=∠BAE+∠B，∠DCE=∠DAE+∠D，所以∠BCD=∠BCE+∠DCE=∠BAE+∠B+∠DAE+∠D=∠A+∠B+∠D=90°+ 21°+29°=140°，所以∠DCB是141°不符合要求.

探索4：如圖5所示，作DE∥AB，CF∥AB，則DE∥CF.所以∠FCB=∠B=21°，∠EDC=90°-∠ADC=61°，∠DCF= 180°-61°=119°，所以∠BCD=∠FCB+∠FCD=21°+119°= 140°，所以141°不符合要求.

圖4

圖5

探索5：不需連線，考慮到四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，而360°-29°-21°-90°=220°，所以∠DCB=360°-220° =140°，所以141°不符合要求.

說明：本題的設(shè)計初衷是希望通過一題多解的方式，讓學(xué)生在解決問題過程中回顧多種知識，通過實踐，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對構(gòu)造三角形、利用平行、利用內(nèi)角和等多種方式進行了剖析，可見這樣的數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計是符合新課程自主探索、積極建構(gòu)的理念的，是一種較為有效的練習(xí)設(shè)計.

2.一題多變型練習(xí)設(shè)計

無獨有偶，僅僅依賴一題多解還無法形成知識的全方位梳理，將一題多變引入到練習(xí)設(shè)計中，恰恰達到了這樣的效果.一題多解和一題多變正如橫向與縱向的交叉整合，達到了另一種發(fā)展能力的培養(yǎng)要求.

案例2：（1）如圖6，在△ABC中，∠BAC是直角，AB= AC，點D在BC上，且BD=BA，點E在BC的延長線上，且CE=CA，試求∠DAE的度數(shù).

（2）如果把（1）中“AB=AC”這個條件舍去，其余條件不變，那么∠DAE的度數(shù)會改變嗎？

（3）如果把（1）中“∠BAC為直角”這個條件改成“∠BAC為鈍角”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的大小關(guān)系？請說明理由.

另深入研究：若將“∠BAC為直角，AB=AC”都去掉，（3）中的關(guān)系仍成立嗎？

解析：結(jié)論仍成立.

若設(shè)∠B=x，∠ACB=y，則∠BAC=180°-x-y.由BD= BA，得

圖6

變式1：小王和小張在解這

樣一道題：“如圖7，在△ABC中，∠BAC為直角，點D、E在邊

BC上，AB=BE，AC=CD，求∠DAE的度數(shù)”.他們分別經(jīng)過

計算后，結(jié)論不一致，小王說：“∠DAE的值與∠B有關(guān)，只有告訴∠B的度數(shù)才能求出∠DAE的度數(shù).”小張說：“∠DAE的度數(shù)是一個定值，與∠B的度數(shù)無關(guān).”你能告訴我們誰說正確了嗎？請說明理由.

圖7

解：設(shè)∠B=x.由∠BAC=90°，得∠C=90°-x.由BA=x.由CA=CD，得∠CDA=45°.因此，小張的說法是正確的.

變式2：若將拓展中的“∠BAC=90°”去掉，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

解：設(shè)∠B=x，∠ACB=y，則∠BAC=180°-x-y.由BA= BE，得x.由CA=CD，得∠CDA=

變式3：如圖8，在△ABC中，D、E在直線BC上，且DB= BA，CE=CA，試確定∠DAE與∠BAC的關(guān)系.

解：設(shè)∠ABC=x，∠ACB=y，則∠BAC=180°-x-y.由 DB=BA，得∠D=∠DAB=

圖8

說明：變式型的數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計是一種思維廣度的訓(xùn)練，在這種思維廣度訓(xùn)練中，教師在引導(dǎo)學(xué)生，涉及的知識點是在具體問題情境中給予展示的，這種練習(xí)對于學(xué)生解決問題思維的全面性是一種有效的促進.

三、數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計的思考

數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計是新課程理念下的新生研究對象，相比傳統(tǒng)教學(xué)，新課程下的數(shù)學(xué)教學(xué)對于很多方面的要求提出了更為專業(yè)化、細致化的實施和操作.筆者思索，當下的數(shù)學(xué)教學(xué)猶如一種科技公司的生態(tài)圈，將各種教學(xué)設(shè)計得更為精細和專業(yè)，成為形成整個數(shù)學(xué)教學(xué)的完整生態(tài)圈.這其中，數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計成為該生態(tài)圈不可分割的重要組成部分.對于數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計，筆者還有下列一些思考.

（1）校本化趨勢.數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計有多重形態(tài)，有預(yù)習(xí)性練習(xí)設(shè)計、新知類練習(xí)設(shè)計、變式類練習(xí)設(shè)計、研究性練習(xí)設(shè)計、探索性練習(xí)設(shè)計等，相對而言，這些練習(xí)設(shè)計必須依賴教師的現(xiàn)成開發(fā)，不可能也沒有現(xiàn)成的資料可以直接使用.筆者認為這種現(xiàn)行的開發(fā)愈來愈呈現(xiàn)一種校本化的姿態(tài)，以符合學(xué)情開發(fā)的練習(xí)設(shè)計成為一種趨勢.

（2）多元化傾向.文中所列舉的案例采用了兩種較為符合現(xiàn)階段教學(xué)的方式，即一題多解和一題多變練習(xí)設(shè)計，這兩者設(shè)計類似于縱向和橫向的知識梳理，將練習(xí)設(shè)計的基準化建立了起來.后期練習(xí)設(shè)計還可以更追求發(fā)展化、卓越化，筆者以為可以采用多元化傾向的設(shè)計思路，具體的實施形態(tài)上可以知識拓展的方式去呈現(xiàn)，比如學(xué)生參與的練習(xí)設(shè)計嘗試，這種方式對學(xué)生的知識體系要求會更高，將優(yōu)秀學(xué)生對知識的認知達到了更高的境界和要求，這正體現(xiàn)練習(xí)設(shè)計的能力化要求.

（3）高效化手段.練習(xí)設(shè)計的最現(xiàn)實要求是學(xué)生是否可以最高效地解決數(shù)學(xué)問題，這是有效性教學(xué)的體現(xiàn)、高效性教學(xué)的根本.筆者思索，以教材為本設(shè)計的練習(xí)設(shè)計，從基本知識和基本技能上講已經(jīng)成功地解決了學(xué)生的雙基，以校本化設(shè)計的練習(xí)從能力上解決了學(xué)生應(yīng)試的一些基本素養(yǎng)，除此之外，學(xué)生并不需要大量額外的練習(xí)去占用學(xué)習(xí)時間，是一種高效教學(xué)手段的呈現(xiàn).

上述是筆者以自身的一些經(jīng)驗和案例實踐為本，闡述了練習(xí)設(shè)計有效性探索的初步嘗試，與大家交流，懇請?zhí)岢鰧氋F意見.

1.許盈.拓展學(xué)生的三個發(fā)展空間，培養(yǎng)創(chuàng)新意識［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2003（5）.

2.呂立杰，馬云鵬.情境教學(xué)和小組討論［J］.教育發(fā)展研究，2002（10）.

3.張奠宙，李士锜，李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論［M］.北京：高等教育出版社，2011.Z