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☉安徽省馬鞍山市薛鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)　李道華

借助典型試題，加強(qiáng)回顧反思

☉安徽省馬鞍山市二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校汪宗興

☉安徽省馬鞍山市薛鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)李道華

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)離不開(kāi)解題，提高解題教學(xué)效果、提升復(fù)習(xí)效率是一項(xiàng)很有價(jià)值的議題.波利亞在《怎樣解題》一書中，把解題的思維過(guò)程分解為四個(gè)步驟，包括：“弄清問(wèn)題”→“擬定計(jì)劃”→“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”→“回顧與反思”.其中回顧與反思是最易被忽略的環(huán)節(jié).解題教學(xué)中，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思，提煉規(guī)律，優(yōu)化解題過(guò)程，有益于養(yǎng)成精益求精的學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展思維能力，有效提高解題技能.下面筆者以在馬鞍山市初中數(shù)學(xué)教師QQ群中討論的一道典型題為例，談?wù)剬?shí)踐的體會(huì).

一、原題呈現(xiàn)

如圖1，在正方形ABCD中，取AD、CD邊的中點(diǎn)E、F，連接CE、BF交于點(diǎn)G，連接AG，試判斷AG與AB是否相等，并說(shuō)明道理.

圖1

圖2

該題以我們熟知的正方形為背景，條件簡(jiǎn)潔，問(wèn)題明確，解法多樣，是活化學(xué)生思維的極好素材，選作中考復(fù)習(xí)題用，是一道上佳的題目.

二、思路呈現(xiàn)

思路1：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明.

證明1：如圖2，延長(zhǎng)BA、CE交于點(diǎn)H.

由E是正方形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，得AE=DE.又∠EAH=∠D=90°，∠AEH=∠DEC，則△AEH≌△DEC（ASA）.

則AH=DC=AB.

思路1是學(xué)生1提供的，他首先考慮全等法，很快被否定；又利用等角對(duì)等邊證明，但證角相等沒(méi)有成功；再根據(jù)條件得CE⊥BF，得直角三角形HGB，利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得證.根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)，證明線段相等的方法還有很多，學(xué)生2巧用垂直平分線的性質(zhì)證，見(jiàn)思路2；證明△ABG是等腰三角形，考慮到大多數(shù)學(xué)生未學(xué)“四點(diǎn)共圓”知識(shí)，筆者本著為優(yōu)等生進(jìn)一步發(fā)展服務(wù)，給予了點(diǎn)撥提示，見(jiàn)思路3.

圖3

圖4

圖5

思路2：利用垂直平分線的性質(zhì)定理證明.

證明2：如圖3，作BC的中點(diǎn)H，連接HA，交BF于M.

則AE∥CH，AE=CH.

則四邊形AECH是平行四邊形.

則CE∥AH.

由證明1得BF⊥CE，則AH⊥BF.又BH=HC，則BM= MG，即AM是BG的垂直平分線.

則AG=AB.

思路3：構(gòu)造輔助圓，利用等角對(duì)等邊證明.

證明3：由∠BAD+∠BGE=180°，得A、B、G、E四點(diǎn)共圓，如圖4所示，連接BE，則BE是該圓的直徑.

則∠AGB=∠AEB.

由E是正方形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，正方形是軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱性可得∠DEC=∠AEB.

由證明1可得：∠CFB=∠DEC.

則∠AGB=∠CFB.又∠CFB=∠ABG，則∠AGB=∠ABG.

則AG=AB.

學(xué)生3利用勾股定理，將“幾何證明”轉(zhuǎn)化為“幾何計(jì)算”，通俗易懂，見(jiàn)思路4.

思路4：利用勾股定理，求AG的長(zhǎng)度，利用計(jì)算法證明（限于篇幅，過(guò)程從簡(jiǎn)）.

證明4：如圖5所示，作GH⊥AD于H，不妨設(shè)AB=2a，則由勾股定理，得

圖6

圖7

圖8

學(xué)生4受圖3的啟發(fā)，構(gòu)造如圖6所示的圖形，直接證AG=EH，于是想到證明四邊形AEGH是等腰梯形，見(jiàn)思路5；許多同學(xué)開(kāi)始另辟蹊徑，“創(chuàng)造”新的證法，利用相似證明，見(jiàn)思路6.

思路5：利用等腰梯形的對(duì)角線相等證明.

證明5：如圖6所示，取BC的中點(diǎn)H，連接HA、HE、HG.

易知EH=AB.由證明2得四邊形AECH是平行四邊形，觀察圖6，AG、EH都是梯形AEGH的對(duì)角線，只要證明梯形AEGH是等腰梯形即可，即證GH=AE.

由證明1得BF⊥CE.

思路6：利用三角形相似證明.

分析：由證明3得A、E、G、B四點(diǎn)共圓，則∠BAG=∠BEC.易知△ABG∽△EBC，反過(guò)來(lái)，能否通過(guò)證明△ABG∽△EBC，△EBC是等腰三角形，得到AG=AB呢？

證明6：如圖7所示，連接BE.

由正方形ABCD的軸對(duì)稱性，得∠ABE=∠CBF，EB= EC.

由∠ABE=∠CBF，得Rt△ABE∽R(shí)t△GBC.

又∠ABE+∠EBG=∠CBF+∠EBG，即∠ABG=∠EBC，則△ABG∽△EBC.

事實(shí)上，采用證明6的方法，如圖8，利用△ABG∽△FBA亦可證明結(jié)論，這兩個(gè)三角形有一個(gè)公共角，只要證，而AB=CB，即證，利用基本圖形“雙垂圖”易得.

圖9

圖10

圖11

筆者將此題放入馬鞍山市初中數(shù)學(xué)教師QQ群，很快群內(nèi)有老師也利用相似證出，見(jiàn)思路7；本題可否用三角形全等直接證明呢？筆者也作了嘗試，獲得了成功，如圖10，見(jiàn)思路8.

思路7：利用四點(diǎn)共圓、三角形相似證明.

分析：證明△BFE∽△ADG，利用△BFE是等腰三角形證AG=AD.

證明7：如圖9所示，連接BE、EF、DG.

由證明1得BF⊥CE，則∠EDF+∠EGF=180°，即D、E、G、F四點(diǎn)共圓.

則∠FEG=∠FDG，∠EFG=∠EDG.

則△CFE∽△CGD.

由正方形及其對(duì)稱性，得AD=CD，CE=BE=BF.

又∠EFG=∠EDG，則△BFE∽△ADG.

則△ADG是等腰三角形，即AG=AD=AB.

思路8：利用三角形全等證明結(jié)論.

分析：以AG、AB為邊構(gòu)造全等三角形.

證明8：如圖10所示，構(gòu)造矩形GBHK，且使H、A、K共線，E是GK、AD的交點(diǎn).

由∠H=∠CGB，AB=CB，∠ABH=∠CBG，得△ABH≌△CBG（ASA）.

則AH=CG，HB=GB，即矩形GBHK是正方形，下面只要證A是KH的中點(diǎn)即可.

事實(shí)上，如圖11，作DK⊥CE于K，作AH⊥CE于H，連接DH、DG，易證△CBG≌△DCK，△EHA≌△FGC≌△EKD（AAS），得AH=DK=CG，則△HAD≌△GCD，得△HDG是等腰直角三角形，則∠DHG=∠DGH=45°，所以△DHK也是等腰直角三角形，即HK=DK，所以HG=HK+ KG=DK+KG=CG+KG=KC=GB，從而△AHG≌△CGB，故AG=CB.這種構(gòu)造三角形全等的方法，要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇硎鲞^(guò)程，還是比較煩瑣的.過(guò)程雖“漫長(zhǎng)”，但可以欣賞到“美麗的風(fēng)景”，如證明過(guò)程中可知△HDG是等腰直角三角形，即∠DGE=45°，這說(shuō)明DG平分∠EGF.

幾何問(wèn)題代數(shù)化，利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，是解數(shù)學(xué)題的常用“法寶”，本題中的正方形為平面直角坐標(biāo)系的建立創(chuàng)造了有利條件，解析法新穎獨(dú)特，大大開(kāi)闊了學(xué)生的視野，見(jiàn)思路9.

思路9：利用解析法將證明線段相等轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題.

分析：建立平面直角坐標(biāo)系，利用解析法，將幾何證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)計(jì)算問(wèn)題，求出G的坐標(biāo)，而G是直線BF、CE相交產(chǎn)生的.

證明9：如圖12所示，分別以AB、AD所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=2，則A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D（0，2）、E（0，1）、F（1，2）.

圖12

三、反思呈現(xiàn)

1.教師方面

在解題教學(xué)中，題目是載體，解題是過(guò)程，方法和規(guī)律的揭示、策略和思想的形成是目的，因此，解題教學(xué)切忌就題論題，片面追求容量，忽視教學(xué)功能的發(fā)掘、開(kāi)發(fā).初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)有了較多的知識(shí)儲(chǔ)備，教學(xué)中應(yīng)不失時(shí)機(jī)啟示學(xué)生融會(huì)貫通，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、方法，從新的視角開(kāi)辟解題通道，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的回顧與反思，是一項(xiàng)很有意義的思維活動(dòng).教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)很多教師把解題教學(xué)片面地理解為習(xí)題講解，在教學(xué)實(shí)踐中缺少了解題思路的引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，缺乏對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).

2.學(xué)生方面

（1）解題層面的回顧反思.

反思計(jì)算是否準(zhǔn)確，推理是否合理，思維是否周密，解法是否還有更多和更簡(jiǎn)單的等.

（2）學(xué)會(huì)解題層面的回顧與反思.

解題中用到了哪些知識(shí)？解題中用到了哪些方法？這些知識(shí)和方法是怎樣聯(lián)系起來(lái)的？自己是怎么想到它們的？困難在哪里？關(guān)鍵是什么？遇到什么障礙？后來(lái)是怎么解決的？是否還有別的解決方法、更一般的方法或更特殊的方法、溝通其他學(xué)科的方法、更簡(jiǎn)單的方法？同樣的方法能用來(lái)處理更一般性的命題嗎？命題能夠推廣嗎？條件能減弱嗎？結(jié)論能加強(qiáng)嗎？這些方法體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？調(diào)動(dòng)這些知識(shí)和方法體現(xiàn)了什么樣的解題策略？

3.對(duì)該典型試題的反思

從解題層面看，證明1～證明9說(shuō)明本題證明方法多樣，對(duì)學(xué)生的思維要求也不盡相同，有的僅利用熟知的初等知識(shí)，有的需要利用學(xué)生陌生的知識(shí)解決.

從學(xué)會(huì)解題層面看，證明1～證明9應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)有三角形全等、等腰三角形、相似三角形、垂直平分線、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、平行線等分線段定理、兩點(diǎn)之間的距離、一次函數(shù)、求直線交點(diǎn)的坐標(biāo)、圖形變換、四點(diǎn)共圓等.本題的實(shí)質(zhì)是證明線段相等，采取的方法有全等法、等角對(duì)等邊、等腰梯形的對(duì)角線相等、三角形相似、計(jì)算法、解析法等；證明9建立平面直角坐標(biāo)系，不添加其他輔助線，利用代數(shù)方法求解，通俗易懂，滲透了數(shù)形結(jié)合思想；涉及的基本圖形有相似形中典型的“雙垂圖”等.初中數(shù)學(xué)許多核心知識(shí)、數(shù)學(xué)方法等，該題均有涉及，足見(jiàn)它強(qiáng)大的教學(xué)載體功能，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性很有好處.如何想到上述諸多思路？如圖13所示，構(gòu)造網(wǎng)格正方形，或許能給你一些啟發(fā)！過(guò)A、D、C作BF的平行線，再過(guò)B、A、D作CE的平行線，根據(jù)平行線等分線段定理易證圖中每個(gè)網(wǎng)格都是正方形，觀察圖形，AG和正方形ABCD的邊長(zhǎng)均為1×2型網(wǎng)格矩形的對(duì)角線長(zhǎng)，上面的證明方法顯然都是與圖13相通的，受圖13的啟發(fā)，也可以AG、AD為斜邊構(gòu)造全等直角三角形證明.有的證明方法可能困難重重，如利用圖11，證明△AHG≌△CGB，觀察圖13，就知道這種思路能夠成功.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，想到一種思路時(shí)，他可能并不知道這種方法的煩瑣程度，教師唯有鼓勵(lì)他們堅(jiān)持“走下去”，直至成功解決.待回顧反思、想出其他方法時(shí)，再進(jìn)行方法的優(yōu)化.圖12堅(jiān)持幾何問(wèn)題代數(shù)方法解的思路，加強(qiáng)了代數(shù)、幾何知識(shí)間的聯(lián)系，證明1～證明8將幾何中各類核心知識(shí)融于一題，增強(qiáng)了知識(shí)間的聯(lián)系，這樣的做法，對(duì)改變學(xué)生固有的思維定勢(shì)、拓展思維方式很有益處！

圖13

四、結(jié)束語(yǔ)

波利亞指出，即便是相當(dāng)優(yōu)秀的學(xué)生，在得到了題目的解答，并將整個(gè)論證簡(jiǎn)潔地寫下來(lái)以后，也會(huì)合上書，去找別的事做.一個(gè)好的教師必須理解這些，并使他的學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到：沒(méi)有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做.通過(guò)解題后的回顧與反思來(lái)改編、引申和推廣問(wèn)題，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題與問(wèn)題之間、方法與方法之間、概念與概念之間、體系與體系之間的包含關(guān)系、相似關(guān)系、相聯(lián)關(guān)系等，并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部之間各種各樣的有機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).解題之后進(jìn)行推廣引申，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，還能幫助學(xué)生洞察本質(zhì)，提高認(rèn)識(shí)，居高臨下，跳出題海！

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2.徐彥輝.數(shù)學(xué)解題后的“回顧與反思”與數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（1）.

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