☉浙江省杭州市文海實驗學(xué)校　唐劍琴

關(guān)注數(shù)學(xué)歷史考場蓬蓽生輝

☉浙江省杭州市文海實驗學(xué)校唐劍琴

數(shù)學(xué)是一門古老的科學(xué)，同時也是一種文化，是人類智慧的結(jié)晶，她有著豐厚的歷史底蘊(yùn)，在其漫長的發(fā)展過程中，必然會產(chǎn)生許多值得紀(jì)念的歷史人物、故事等，承載著德智雙馨的功能.正如我國著名教育家傅鷹教授所言：“科學(xué)只能給我們知識，而歷史卻能給我們智慧.”若能適時地采擷歷史之“珠”來光耀我們的課堂，可以使教學(xué)不只局限于現(xiàn)成知識的靜態(tài)結(jié)論，還可追溯它的淵源和動態(tài)演變，學(xué)生會在欣賞歷史人物、品味歷史故事、觸摸大師的光輝足跡抑或成敗的同時喚起對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，滌蕩自己的心靈.殊不知，新課程改革以來的中考考場也加強(qiáng)了數(shù)學(xué)史知識的滲透，引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注歷史、關(guān)注發(fā)展.以下采擷近幾年的考題作一解析，以饗讀者.

一、趙爽弦圖

例1（2014年山西）如圖1是趙爽為《周髀算經(jīng)》作注解時給出的“弦圖”，它解決的數(shù)學(xué)問題是（）.

A.黃金分割

B.垂徑定理

C.勾股定理

D.正弦定理解析：這是直接對數(shù)學(xué)史的考查，答案C.

二、斐波那契數(shù)列

例2（2007年陜西）小說《達(dá)·芬奇密碼》中的一個故事里出現(xiàn)了一串神密排列的數(shù)，將這串令人費解的數(shù)按從小到大的順序排列為：1，1，2，3，5，8，…，則這列數(shù)的第8個數(shù)是_________.

解析：觀察這一列數(shù)，從第三個數(shù)起，該數(shù)為前兩個數(shù)的和，這就是“斐波那契數(shù)列”，依此規(guī)律，第7個數(shù)是8+5=13，第8個數(shù)是13+8=21.

三、萊布尼茨三角形

例3（2013年哈爾濱）世界上著名的萊布尼茨三角形如圖2所示，則排在第10行從左邊數(shù)第3個位置上的數(shù)是（）.

圖2

解析：先來觀察此三角圖的規(guī)律：（1）每個分?jǐn)?shù)的分子都是1；（2）從上至下，每一行都比上一行多一個分?jǐn)?shù)；（3）每一行左右兩邊的數(shù)對稱；（4）從上至下，兩端的數(shù)依次是，…；（5）任意一個分?jǐn)?shù)都等于下面兩個相鄰分?jǐn)?shù)之和.照此規(guī)律，第8行第1個數(shù)是第9行第1個數(shù)是，第2個數(shù)是；第10行第1個數(shù)是，第2個數(shù)是，第3個數(shù)是.故選B.

溯源：本題直接搬用“希望杯第4屆全國青少年數(shù)學(xué)大賽7年級初賽第6題”，2007年濟(jì)南市中考也直接搬用了此題.

四、馨折形

例4（2007年山西）畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)明了一種“馨折形”填數(shù)法，如圖3所示，則“？”處應(yīng)填______.

解析：觀察九宮圖各行的三個數(shù)，易發(fā)現(xiàn)：2=1× 2，14=7×2，，5=1×5，15=3×5，35=7×5，這就是說：第2列的各數(shù)是前面一個數(shù)的2倍，第3列的各數(shù)是最前面一個數(shù)的5倍.所以“？”處的數(shù)應(yīng)是3×2=6.

圖3

五、巴爾末公式

例5（2007年自貢）一個叫巴爾末的中學(xué)教師成功地從光譜數(shù)據(jù)，…中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧秘的大門，請你按照這種規(guī)律，寫出第n（n≥1）個數(shù)據(jù)是___________.

六、三角形數(shù)

例6（2007年河池）古希臘數(shù)學(xué)家把1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，則第100個三角形數(shù)與第98個三角形數(shù)的差為_______.

解析：觀察給定的這一列數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：第2個數(shù)比第1個數(shù)大2，第3個數(shù)比第2個數(shù)大3，第4個數(shù)比第3個數(shù)大4，…，以此類推，第n個數(shù)比第n-1個數(shù)大n.設(shè)第100個數(shù)為a，第99個數(shù)為b，第98個數(shù)為c，則第100個三角形數(shù)與第98個三角形數(shù)的差為a-c=（a-b）+（b-c）=100+99=199.

七、圓材埋壁

例7（2006年湖北）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深1寸，鋸道長1尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可表述為：“如圖4，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，CE=1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長為”（）.

A.12.5寸B.13寸

C.25寸D.26寸

解析：設(shè)直徑CD的長為2x，則半徑OC=x，因為CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，AB= 10寸，所以10=5寸.如圖5，連接OA，則OA= x寸，根據(jù)勾股定理得x2=52+（x-1）2，解得x=13，CD=2x=2×13=26（寸）.故選D.

圖4

圖5

八、高斯速算

例8（2012年黃石）“數(shù)學(xué)王子”高斯從小就善于觀察和思考.在他讀小學(xué)時就能在課堂上快速地計算出1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝5050，今天我們可以將高斯的做法歸納如下：

令S＝1＋2＋3＋…＋98＋99＋100，①

S＝100＋99＋98＋…＋3＋2＋1，②

①＋②有2S＝（1＋100）×100，解得S＝5050.

請類比以上做法，回答問題：若n為正整數(shù)，3＋5＋7＋…＋（2n＋1）＝168，則n＝________.

解析：我們知道，高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，他和牛頓、阿基米德被譽(yù)為近代三大數(shù)學(xué)家，高斯有“數(shù)學(xué)王子”之稱.他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，他面對1到100的求和問題的應(yīng)對策略，反映出高斯從小就注意把握本質(zhì)的數(shù)學(xué)方法這一特點.至于我們面前的問題，根據(jù)題目提供的信息，找出規(guī)律，列出方程求解即可.

設(shè)S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，則S=（2n+1）+…+ 7+5+3=168②，①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，整理得，n2＋2n－168=0，解得n1=12，n2=－14（舍去）.故填12.

九、雞兔同籠

例9（2014年泉州）“雞兔同籠”問題是我國古代的數(shù)學(xué)名題之一，《孫子算經(jīng)》中記載的題目是這樣的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”同學(xué)們你得出的這個古代名題的結(jié)果是（）.

A.雞23只，兔12只B.雞12只，兔23只

C.雞14只，兔21只D.雞15只，兔20只

解析：雞兔同籠問題，在小學(xué)可用算術(shù)法確定其解，是對學(xué)生思維品質(zhì)考查的優(yōu)質(zhì)題目.對初中學(xué)生而言，選設(shè)好未知數(shù)用方程可輕松拿下.設(shè)雞有x只，則兔為（35-x）只，據(jù)題意得2x+4（35-x）=94，解得x=23，兔有35-x=12，即雞有23只，兔12只.故選A.

十、三斜求積與海倫公式

例10（2005年臺州）我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長，求它的面積.用現(xiàn)代式子表示，即為：（其中a、b、c為三角形的三邊長，S為面積）.①

（1）若已知三角形的三邊長分別為5、7、8，試分別運用公式①和公式②，計算該三角形的面積S；

（2）你能否由公式①推導(dǎo)出公式②？請試試.

十一、三等分角

例11（2005年佛山）“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個著名的問題，但僅用尺規(guī)不可能“三等分角”.下面是數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法（如圖6）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上，邊OA與函數(shù)的圖像交于點P，以P為圓心、2OP為半徑作弧交圖像于點R.分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=∠AOB.要明白帕普斯的方法，請研究以下問題：

（2）分別過點P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點Q.請說明Q點在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB=

（3）應(yīng)用上述方法得到的結(jié)論，你如何三等分一個鈍角（用文字簡要說明）.

（3）以下方法只要回答一種即可.

方法一：利用鈍角的一半是銳角，然后利用上述結(jié)論把銳角三等分的方法即可.

方法二：也可把鈍角減去一個直角得一個銳角，然后利用上述結(jié)論把銳角三等分后，再將直角利用等邊三角形（或其他方法）將其三等分即可.

方法三：先將此鈍角的補(bǔ)角（銳角）三等分，再作它的余角.

數(shù)學(xué)史開拓了中考命題的市場，使得中考富有情趣，讓學(xué)生在用其所學(xué)知識的同時，了解了歷史、增強(qiáng)了認(rèn)識、感悟到數(shù)學(xué)的價值所在，我們期待數(shù)學(xué)史增亮中考.

圖6