☉山東沂南教育局　李樹(shù)臣

注重整體設(shè)計(jì)，突出幾何直觀
——青島版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十章“一次函數(shù)”簡(jiǎn)介

☉山東沂南教育局李樹(shù)臣

我們?cè)诰帉?xiě)青島版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)時(shí)對(duì)函數(shù)內(nèi)容采取的是“提前滲透、分層推進(jìn)、及時(shí)穿插、不斷深化”的安排方式，充分體現(xiàn)出“函數(shù)”在課程領(lǐng)域的核心地位.在編排八年級(jí)下冊(cè)第十章“一次函數(shù)”時(shí)，體現(xiàn)了“整體設(shè)計(jì)，突出直觀”的原則.筆者就本章的編寫(xiě)和教學(xué)研究問(wèn)題，談以下三點(diǎn).

一、本章內(nèi)容概述與教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)結(jié)構(gòu)

圖1

2.內(nèi)容概述

本章（含6節(jié)）是在學(xué)生對(duì)函數(shù)已有感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究形如y=kx+b（k≠0）的一類(lèi)具體的函數(shù).主要內(nèi)容包括：函數(shù)的圖像、一次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)、一次函數(shù)與二元一次方程以及與一元一次不等式的關(guān)系、建立一次函數(shù)模型解答實(shí)際問(wèn)題.

第1節(jié)“函數(shù)的圖像”是全章的基礎(chǔ)部分，教科書(shū)在學(xué)生已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，用“實(shí)驗(yàn)與探究”欄目給出6個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“飲料瓶放水實(shí)驗(yàn)”活動(dòng)，學(xué)生通過(guò)記錄數(shù)據(jù)、列表、描點(diǎn)、畫(huà)圖等活動(dòng)，借助于直角坐標(biāo)系中畫(huà)出的曲線(xiàn)感悟曲線(xiàn)能表示出飲料瓶中水面下降高度L與放水時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，目的在于讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)活動(dòng)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，會(huì)在直角坐標(biāo)系中用一條曲線(xiàn)表示出L與t的函數(shù)關(guān)系，從而給出表示變量之間函數(shù)關(guān)系的圖像法的概念，感受用圖像法表示函數(shù)關(guān)系的直觀特點(diǎn).

第2節(jié)“一次函數(shù)和它的圖像”，采用“課標(biāo)（2011年版）”倡導(dǎo)的“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的呈現(xiàn)模式，首先以“高鐵列車(chē)”問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，從而得到高鐵列車(chē)離開(kāi)上海站的距離s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系s= 10+300t，結(jié)合前面接觸過(guò)的幾個(gè)具體的函數(shù)表達(dá)式，抽象出一次函數(shù)的一般形式.然后在引導(dǎo)學(xué)生觀察前面已經(jīng)用描點(diǎn)法畫(huà)出的一次函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，概括出一次函數(shù)圖像的特征是一條直線(xiàn)，并引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況，初步體會(huì)一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系，進(jìn)而得出畫(huà)一次函數(shù)圖像的簡(jiǎn)便方法.最后結(jié)合例題給出了用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的過(guò)程.

第3節(jié)“一次函數(shù)的性質(zhì)”，用“觀察與思考”欄目中的4個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷畫(huà)圖、觀察、思考、歸納、交流等活動(dòng)，探索一次函數(shù)y=kx+b當(dāng)k＞0和k＜0時(shí)，圖像的變化趨勢(shì)，從而總結(jié)出一次函數(shù)的性質(zhì).體現(xiàn)了由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程.

第4節(jié)“一次函數(shù)與二元一次方程”，用“觀察與思考”欄目中的6個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)思考和操作，探索二元一次方程與一次函數(shù)圖像、二元一次方程組與一次函圖像、方程組的解與對(duì)應(yīng)圖像交點(diǎn)的坐標(biāo)之間的相互關(guān)系，并引入二元一次方程組的圖像解法.這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖技能，進(jìn)一步感悟數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

第5節(jié)“一次函數(shù)與一元一次不等式”，教科書(shū)以直線(xiàn)y=2x+4為例，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察與交流等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與一元一次不等式的聯(lián)系.通過(guò)一個(gè)例題，綜合運(yùn)用了一元一次方程、一元一次不等式，一次函數(shù)與二元一次方程組的圖像解法等知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)上述知識(shí)相互關(guān)聯(lián)的認(rèn)識(shí).解題過(guò)程借助了幾何直觀的作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

第6節(jié)“一次函數(shù)的應(yīng)用”，通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中的一些實(shí)例介紹了一次函數(shù)的應(yīng)用.目的是讓學(xué)生體會(huì)一次函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的模型.在利用一次函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，感悟數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化和建模的思想，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

3.教學(xué)目標(biāo)

（1）結(jié)合實(shí)例，體會(huì)表示函數(shù)關(guān)系的圖像法以及用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖像的步驟，能結(jié)合圖像對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析.

（2）結(jié)合具體情境體會(huì)一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達(dá)式.

（3）會(huì)利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式.

（4）能畫(huà)出一次函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像和表達(dá)式y(tǒng)= kx+b（k≠0），探索并理解k＞0和k＜0時(shí)圖像的變化情況.

（5）理解正比例函數(shù).

（6）體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程（組）以及一元一次不等式的關(guān)系，從運(yùn)動(dòng)變化的角度，用函數(shù)的觀點(diǎn)加深對(duì)方程、不等式的認(rèn)識(shí)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性和數(shù)學(xué)方法的一般性.

（7）能運(yùn)用一次函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.進(jìn)一步體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型的方法與作用，提高綜合運(yùn)用函數(shù)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

（8）通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，感悟分類(lèi)、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合以及模型思想，發(fā)展幾何直觀，感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

二、編寫(xiě)時(shí)重點(diǎn)考慮的三個(gè)問(wèn)題

1.統(tǒng)籌安排，整體規(guī)劃，體現(xiàn)螺旋上升的原則

為了分散難點(diǎn)，幫助學(xué)生通過(guò)一段較長(zhǎng)時(shí)期的學(xué)習(xí)，逐步形成并加深對(duì)函數(shù)概念的理解，我們?cè)谇鄭u版教材中對(duì)函數(shù)內(nèi)容是分三個(gè)階段呈現(xiàn)的.

第一階段安排在七（上），學(xué)生在學(xué)習(xí)求代數(shù)式的值后，通過(guò)一些具體例子，已經(jīng)感受到當(dāng)代數(shù)式中字母的取值發(fā)生變化時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值也相應(yīng)發(fā)生變化.在此基礎(chǔ)上給出了變量與函數(shù)的概念，這樣安排，學(xué)生可及早獲得對(duì)函數(shù)的初步認(rèn)識(shí)，能用函數(shù)的觀點(diǎn)去看代數(shù)式，并為將來(lái)學(xué)習(xí)方程根的估計(jì)、分式和二次根式中字母可以取值的范圍等內(nèi)容埋下伏筆.

第二階段安排在八（下），當(dāng)學(xué)生學(xué)過(guò)實(shí)數(shù)以及有序?qū)崝?shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系后，及時(shí)安排一次函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容.通過(guò)一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可初次經(jīng)歷用初等方法研究函數(shù)的過(guò)程，如用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖像，以及通過(guò)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)使學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合思想，并體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程、一元一次不等式的聯(lián)系，從而對(duì)函數(shù)有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).

第三階段安排在九（下），學(xué)生將在已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，從函數(shù)的自變量的取值范圍和對(duì)應(yīng)這兩個(gè)要素深化對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí).這里再次給出的函數(shù)定義比七（上）給出的定義進(jìn)了一步，更加接近函數(shù)的近代定義.學(xué)生還將再次利用初等方法研究反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，使學(xué)生能夠一般性地了解函數(shù)的概念，進(jìn)一步獲取用初等方法研究函數(shù)的體驗(yàn)，為高中階段繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)打下必要的基礎(chǔ).

2.遵循“從特殊到一般”的認(rèn)識(shí)規(guī)律

人們認(rèn)識(shí)事物往往經(jīng)歷“從特殊到一般”的過(guò)程，“一次函數(shù)和它的圖像”是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，在設(shè)計(jì)、安排時(shí)就是按照這樣的過(guò)程展現(xiàn)的，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)地方.

（1）形成一次函數(shù)概念.

在歸納、概括出一次函數(shù)概念之前，教科書(shū)引導(dǎo)學(xué)生從分析實(shí)際問(wèn)題得到高鐵列車(chē)行駛距離s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系s=10+300t后，讓學(xué)生分析該函數(shù)表達(dá)式以及y=x-1、y=-x、y=2x-1、y=2x有哪些共同特征，之后給出一次函數(shù)的定義：形如y=kx+b（k≠0）的函數(shù)叫做x的一次函數(shù).特別地，當(dāng)k≠0、b=0時(shí)，函數(shù)y=kx也是一次函數(shù)，叫正比例函數(shù).

（2）歸納一次函數(shù)圖像的性質(zhì).

為了概括一次函數(shù)圖像的特征，教科書(shū)首先用“觀察與思考”欄目引導(dǎo)學(xué)生觀察圖2和圖3的特點(diǎn)，然后觀察前面學(xué)過(guò)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x+2、y=-2x、y=-3x-1、y=2x和圖像，相互交流自己的發(fā)現(xiàn).在學(xué)生觀察交流之后，概括出一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線(xiàn).最后，教科書(shū)又討論了用簡(jiǎn)單方法畫(huà)一次函數(shù)y=-2x+4的圖像的方法，從而得到由兩點(diǎn)確定直線(xiàn)y=kx+b的一般方法.這樣的設(shè)計(jì)向我們展示了解決問(wèn)題的一種基本策略，即“先特殊化、簡(jiǎn)單化，再一般化、復(fù)雜化”的方法.教科書(shū)第2、3節(jié)給出的通過(guò)函數(shù)表達(dá)式用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)的圖像，再利用函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)的方法具有一般性.這樣的設(shè)計(jì)有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，為今后學(xué)習(xí)其他函數(shù)的性質(zhì)，提供研究方法上的準(zhǔn)備.

圖3

3.注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀

“幾何直觀”是“課標(biāo)（2011年版）”首次提出的一個(gè)核心概念，其本質(zhì)就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象.在傳統(tǒng)的教科書(shū)和教學(xué)中，較為強(qiáng)調(diào)其“數(shù)”的特征，表現(xiàn)為重視對(duì)函數(shù)的表達(dá)式的學(xué)習(xí)，而相對(duì)弱化其“形”的特性.導(dǎo)致學(xué)生缺乏識(shí)圖、用圖能力，數(shù)形結(jié)合的意識(shí)較為薄弱.為改變這一現(xiàn)象，本章中設(shè)計(jì)了“一次函數(shù)與二元一次方程”“一次函數(shù)與一元一次不等式”等內(nèi)容，使學(xué)生從變量的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)二元一次方程和一元一次不等式，并讓學(xué)生通過(guò)在同一直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，由它們的交點(diǎn)坐標(biāo)求二元一次方程組的解，由二元一次方程組的解確定兩個(gè)一次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，以充分體現(xiàn)出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.這種設(shè)計(jì)體現(xiàn)出函數(shù)的重要性，反映了函數(shù)概念對(duì)相關(guān)內(nèi)容的統(tǒng)率作用.有助于學(xué)生理解“數(shù)與代數(shù)”中核心內(nèi)容的實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián)，感悟數(shù)形結(jié)合思想，加大對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的相關(guān)內(nèi)容之間的整體認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)間橫縱向的融會(huì)貫通，提高靈活分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.并為今后繼續(xù)研究方程、不等式與函數(shù)，學(xué)習(xí)解析幾何等后繼知識(shí)作必要的鋪墊.

三、教學(xué)建議

1.借助實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)；通過(guò)函數(shù)應(yīng)用，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模思想

“課標(biāo)（2011年版）”指出，教學(xué)“素材的選用應(yīng)當(dāng)充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).這些素材應(yīng)當(dāng)在反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下盡可能地貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，以利于他們經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的過(guò)程.”在現(xiàn)實(shí)中存在著大量的涉及簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的變量，其中許多問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系是一次的，這為學(xué)習(xí)一次函數(shù)提供了大量的現(xiàn)實(shí)素材.

（1）引入函數(shù)圖像及一次函數(shù)等概念.

本章內(nèi)容是從研究函數(shù)的圖像開(kāi)始的，在學(xué)生認(rèn)識(shí)到用函數(shù)的圖像表示函數(shù)后，開(kāi)始學(xué)習(xí)一次函數(shù)并利用一次函數(shù)知識(shí)研究有關(guān)問(wèn)題.函數(shù)的圖像包括認(rèn)識(shí)函數(shù)的圖像與畫(huà)出簡(jiǎn)單的函數(shù)圖像.為了學(xué)習(xí)函數(shù)的圖像，可組織學(xué)生親自操作教科書(shū)設(shè)計(jì)的“飲水瓶放水實(shí)驗(yàn)”，按每4人一組進(jìn)行，分別負(fù)責(zé)計(jì)時(shí)、控制鐵夾、觀察水面高度、記錄數(shù)據(jù).實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，每人根據(jù)數(shù)據(jù)填表、在坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連接曲線(xiàn).在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，給出圖像法的定義，并讓學(xué)生思考圖像法的優(yōu)點(diǎn).通過(guò)高鐵運(yùn)行問(wèn)題引入一次函數(shù)，通過(guò)金屬銅的問(wèn)題認(rèn)識(shí)正比例函數(shù)等，這樣教學(xué)的目的是借助現(xiàn)實(shí)的、具體的問(wèn)題為理解抽象的內(nèi)容服務(wù)，符合“課標(biāo)（2011年版）”提出的“結(jié)合具體情境體會(huì)一次函數(shù)的意義”的要求.

（2）體現(xiàn)一次函數(shù)模型的應(yīng)用.

在本章的教學(xué)中，要充分利用現(xiàn)實(shí)背景，不斷加強(qiáng)對(duì)函數(shù)是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的一種重要數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)“課標(biāo)（2011年版）”提出的“能用一次函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題”的目的，從而再一次感悟數(shù)學(xué)模型思想的重要性.例如，10.2節(jié)例2中的彈簧長(zhǎng)度問(wèn)題、汽車(chē)行駛問(wèn)題、飲料的利潤(rùn)問(wèn)題；10.6節(jié)中的溫度計(jì)問(wèn)題、購(gòu)買(mǎi)樹(shù)苗問(wèn)題、購(gòu)買(mǎi)籃球和排球問(wèn)題等，它們都能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，反映了函數(shù)的廣泛應(yīng)用性.通過(guò)這樣的教學(xué)，能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)是從實(shí)際問(wèn)題抽象得到的，又能回到解決實(shí)際問(wèn)題中去，進(jìn)而加深對(duì)“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活”的理解和認(rèn)識(shí).

2.鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索與合作交流

“課標(biāo)（2011年版）”提出“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，注意使學(xué)生在獲得間接經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)也能夠有機(jī)會(huì)獲得直接經(jīng)驗(yàn)，即從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生主動(dòng)地、富有個(gè)性地學(xué)習(xí)，不斷提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.”本章需要學(xué)生進(jìn)行較多的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如觀察、實(shí)驗(yàn)、列表、畫(huà)圖、探究、交流等.在函數(shù)的圖像、描點(diǎn)法作圖、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及一次函數(shù)與二元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系等學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)根據(jù)“課標(biāo)（2011年版）”提出的上述建議，設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與各項(xiàng)數(shù)學(xué)活動(dòng)，以豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想，從而使學(xué)生不僅能主動(dòng)地獲取知識(shí)，而且學(xué)會(huì)探索，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

案例1：判定一次函數(shù)關(guān)系的過(guò)程.

判定某個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，是教學(xué)中的難點(diǎn).為幫助學(xué)生學(xué)會(huì)這種方法，可用教科書(shū)提供的下列問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、探究、交流等活動(dòng).

我們知道，世界各國(guó)溫度之間的計(jì)量單位尚不統(tǒng)一，常用的有攝氏溫度（℃）和華氏溫度（°F）兩種.它們之間的關(guān)系如下表所示：

攝氏溫度/℃…-10 0 10 20 30…華氏溫度/°F…14 32 50 68 86…

（1）觀察上表，如果把表中的攝氏溫度與華氏溫度都看作變量，那么它們之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)嗎？你是如何探索得到的？

（2）你能利用（1）中的圖像，寫(xiě)出y與x的函數(shù)表達(dá)式嗎？

（3）你能通過(guò)分析上表中兩個(gè)變量間的數(shù)量關(guān)系，判定它們之間是一次函數(shù)關(guān)系嗎？

（4）你能求出華氏溫度為0度（即0°F）時(shí)，攝氏溫度是多少度嗎？

（5）華氏溫度的值與對(duì)應(yīng)的攝氏溫度的值有相等的可能嗎？你會(huì)用哪幾種方法解決這個(gè)問(wèn)題？與同學(xué)交流.【設(shè)計(jì)意圖】本問(wèn)題是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的，學(xué)生能利用已有的知識(shí)，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)以表中每一對(duì)（x，y）的值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出表中相應(yīng)的點(diǎn)，畫(huà)出圖4所示的圖像，通過(guò)觀察可發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都在同一條直線(xiàn)上，于是利用待定系數(shù)法確定出一次函數(shù)表達(dá)式.

圖4

根據(jù)表中給定的兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系判定這兩個(gè)變量之間是否為一次函數(shù)是比較困難的，可引導(dǎo)學(xué)生從計(jì)算兩個(gè)變量對(duì)應(yīng)數(shù)值之差的比入手.學(xué)生通過(guò)計(jì)算將會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)比是一個(gè)常數(shù)，如，….特別地，對(duì)于固定點(diǎn)（0，32）來(lái)說(shuō)，同樣有.如果設(shè)攝氏溫度為x，相應(yīng)的華氏溫度為y，則有，整理得y=1.8x+32，因此，y是x的一次函數(shù).有了這個(gè)結(jié)果，問(wèn)題（4）（5）便可迎刃而解.

學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程與科學(xué)家的研究過(guò)程在本質(zhì)上是一致的.因此，在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生像“小科學(xué)家”一樣通過(guò)研究活動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題直至解決問(wèn)題.學(xué)生在探究的過(guò)程中除了能獲取知識(shí)、發(fā)展技能、形成能力外，還能受到科學(xué)價(jià)值觀和科學(xué)方法的教育，并發(fā)展自己的個(gè)性.

3.重視數(shù)形結(jié)合的研究方法

數(shù)學(xué)思想方法是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體來(lái)體現(xiàn)的，通過(guò)具體知識(shí)的學(xué)習(xí)獲取、感悟數(shù)學(xué)思想方法往往需要一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程.本章所討論的對(duì)象是一次函數(shù)，函數(shù)的表示法之一是圖像法，即通過(guò)直角坐標(biāo)系中的曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)反映變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.這種表示方法具有直觀、形象的特點(diǎn)，學(xué)生能通過(guò)觀察圖像獲取有關(guān)的信息，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合地解決有關(guān)問(wèn)題，這種方法在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中具有重要的價(jià)值.無(wú)論是函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)，還是一次函數(shù)性質(zhì)的探究過(guò)程，以及借助于一次函數(shù)的圖像研究方程、不等式的有關(guān)問(wèn)題等，都離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合.因此，教學(xué)中要結(jié)合具體的內(nèi)容使學(xué)生加深對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解，并靈活運(yùn)用，充分發(fā)揮它在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題過(guò)程中所表現(xiàn)出的“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面的共同優(yōu)勢(shì).

案例2：直線(xiàn)為何總經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)？

圖5

4.處理好新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建

“課標(biāo)（2011年版）”指出“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)”.在本章教學(xué)中，不僅應(yīng)注意各節(jié)內(nèi)容和思想方法之間的密切聯(lián)系，還要注意揭示本章知識(shí)與學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)的聯(lián)系，幫助學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué).例如，正比例函數(shù)y=kx，第二學(xué)段學(xué)習(xí)成正比例的量時(shí)，比例系數(shù)k只能取正有理數(shù)，但在本章中，k可以取不為0的實(shí)數(shù)，即不僅可取正有理數(shù)，也可取正無(wú)理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、負(fù)無(wú)理數(shù).因此，正比例函數(shù)是上一學(xué)段正比例關(guān)系的推廣和發(fā)展.這樣通過(guò)橫、縱兩個(gè)方面的聯(lián)系，就能突出函數(shù)在發(fā)展和構(gòu)建學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)時(shí)所起的“統(tǒng)帥”作用.

1.李樹(shù)臣.深入研究教材，學(xué)好函數(shù)概念［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2009（9）.

2.李樹(shù)臣.關(guān)于教好函數(shù)知識(shí)的幾個(gè)問(wèn)題［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012（3）.

3.李樹(shù)臣.精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)展——青島版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》中問(wèn)題情境的類(lèi)型及設(shè)計(jì)意圖［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2013（10）.

4.李樹(shù)臣.深入研究課程課標(biāo)2011年版，精心選擇課程內(nèi)容——青島版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》中課程內(nèi)容選取的主要原則［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（2）.

5.李樹(shù)臣，等.整體把握函數(shù)內(nèi)容，宏觀設(shè)計(jì)教學(xué)策略——以青島版義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)對(duì)“函數(shù)”的設(shè)計(jì)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）.

6.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.Z