秦浩洋 楊澤霖 龐?？?/p>

(1.3.西安交通大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西 西安 710049;2.西安交通大學金禾經(jīng)濟研究中心，陜西 西安 710049)

一、經(jīng)典Black-Scholes期權定價模型

期權是一種特殊的金融衍生品，它賦予持有人在特定時期以確定的價格買入或賣出一種標的資產(chǎn)的權利?？礉q期權是以某一確定的價格買入一項資產(chǎn)的權利;看跌期權是以某一確定的價格賣出一項資產(chǎn)的權利。期權執(zhí)行的日期叫到期日;期權執(zhí)行時支付給標的資產(chǎn)的價格叫做執(zhí)行價格。美式期權可在到期日之前任何時間執(zhí)行，歐式期權只能在到期日執(zhí)行。

為推導Black-Scholes期權定價模型，作以下假設:

①標的資產(chǎn)的價格S遵循布朗運動，即S滿足dS=μSdt+δSdz，其中是一個維納過程，滿足;②在期權的有效期內(nèi)無風險利率r和標的資產(chǎn)價格S的波動方差率是時間的已知函數(shù);③套期保值沒有交易成本;④滿足無套利原理，無風險利率為r;⑤在期權的有效期內(nèi)不支付紅利;⑥標的資產(chǎn)可以連續(xù)交易;⑦允許賣空，資產(chǎn)可以細分。

假設是基于S的歐式看漲期權價格，由ITO引理可以得到:

構(gòu)造一個包含f(S，t)和S在內(nèi)的投資組合，這個投資組合的持有者賣空一份價格為f(S，t)的期權，買入數(shù)量為的股票(這個數(shù)量的確定方法將在下文給出)。此時該投資組合的價格為

將式子的兩邊對t求微分，得到

將以上各式帶入可得到

利用無套利原理，可以得到

帶入上式即得到經(jīng)典的B-S模型

邊界條件為c=max(Sr-E，0)

這是一個熱傳導方程，利用fourier變換可以求得其解析解

c=SN(d1)-Ee-r(T-t)N(d2)

其中，N(*)表示均值為0，標準差為1的標準正態(tài)分布分布函數(shù)，其中

由于方程中不含有投資者的風險偏好量μ，故在期權定價中，可以采取任意一種風險偏好(一般采用中性風險偏好)，這是B-S模型的一個重要性質(zhì)

最后，我們來說明投資組合Π的確定方式，利用待定系數(shù)法:假定我們的投資組合為賣空一份價格為f(S，t)的期權，買入a份價格為S的股票(a為待定常數(shù))，那么該投資組合的價值為

Π=-f+aS

同樣在等式兩邊對t求微分，并帶入以上各式，得到

然而根據(jù)無套利原理，在無風險利率確定的情況下，dΠ是一個確定量，所以當中不能含有隨即項dS，所以只有

至此，我們回顧了經(jīng)典的B-S模型的推導，并對其中投資組合的構(gòu)造方法做了更進一步的討論?；诖?，在下一個部分中，我們將給出多個標的B-S模型的推導。

二、多因素期權定價模型

為了推導γ1維Black-Scholes期權定價模型，首先證明如下定理。

定理γ1維伊藤引理

設隨機過程{xk(t)，t＞0，k=1，2，…，n}循伊藤過程

dxk=ak(x1，x2，…，xn，t)dt+bk(x1，x2，…，xn，t)dzk，k=1，2，…，n

其中dzk是一個標準維納過程，設G=G(x1，x2，…，xn，t)是x1，x2，…，xn，t的函數(shù)，連續(xù)可微，則G滿足:

其中ρij是xi，xj之間的相關系數(shù)。

證明:設zk=εk，εk～N(0，1)，則εi，εj的相關系數(shù)為ρij。由多元函數(shù)的Taylor公式，有

由

得:

又

當Δt→0時，

Var(εiεjΔt)=o(Δt)→0

于是εiεjΔt可看作非隨機變量，并且等于數(shù)學期望，此時

ΔxiΔxj= ρijbibjΔt+o(Δt)

代入得

令Δt→0且將dxi=aidt+bidzi代入得

設第i種股票價格為SI，滿足dSi=μiSidt+σiSidzi，

且dzidzj=ρijdt

則對期權價格f，有下式:

將dSi=μiSidt+σiSidzi代入得

構(gòu)造一個包含f=f(S1，S2，L，Sn)和S1，S2，L，Sn在內(nèi)的投資組合，即賣空一份股票，買入數(shù)量為的股票(購買價格為Si的股票份)。則該投資組合的價值為

這里的Π的確定方法與一維經(jīng)典B-S模型推導中的方法一樣。對上式等式兩邊求微分，

結(jié)合無套利原理，有dΠ=rΠdt

帶入上式即可得到n因素的期權定價模型

邊界條件為

cT=max(S1T，S2T，L，SnT，E)-E

對于該方程，當n=1時，即是經(jīng)典的B-S模型，我們可以很容易求出其解析解;當n=2時，該方程的解析解也可以得到，其解析解為

cT=S1T［N(d1)-N2(-d1，d3;ρ1)］+S2T［N(d2)-N2(-d2，d4;ρ2)］+Ee-r(T-1)［N2(-d1+σ1(T-t)1/2，-d2+σ2(T-t)1/2;ρ)］-Ee-r(T-t)

其中

N(*)和N2(*)分別為一維和二維的標準正態(tài)分布函數(shù);對于n＞2的情況，一般難以做出其解析解，所以可以采用數(shù)值的方法進行求解。

三、考慮有交易費和隨機分紅的情況

市場上股票的的交易有買入和賣出的費用，買賣的交易費率分別為λ和μ(0≤λ＜1，0≤λ＜1)。即購買價格為s的v股股票，現(xiàn)金支出為(1+λ)sv，出售價格為s的v股股票，現(xiàn)金獲取為(1-λ)sv。

一份彩虹期權的標的為n股股票s=(s1，s2，…，sn)，股=(，，…，)，D票分別在ττ1τ2τn時間隨機分紅分紅的紅利為

=(d1，d2，…，dn)。

彩虹期權在T時刻交割.

投資者選擇自己的買入和賣出的策略集為{L(t)，M(t)}，是一組F-適應的，右連續(xù)，非減過程。L(t)表示在t時刻買入L(t)=L(t)份額的股票，M(t)表示在t時刻賣出M(t)份額的股票。

作為理性的投資者，選擇的交易策略應該是有能力償付的策略。定義有償付能力的空間V={(s，x，y)∈Rn+×R1×RYLn+，M|)x∈+(V1，則+稱λ)該sT交y≥易0策，x略+是(1可-行μ)的sT。y≥0}。若(S(t)，XL，M，

當投資者選擇了可行的交易策略{L(t)，M(t)}后，持有股票的份額服從過程為dY(t)=dL(t)-dM(t)，財富變化為W(t)=XL，M(t)+YL，M×s(t)。彩虹

假期定權投，即資為者W的0初=(始1財+富λ)恰(s好1+購s2買+一…份+含sn有)。n顯種然標，的將的所有財富

先購觀買察為其一中份的彩一虹只期標權的是

s。可行的策略。

1

假定基于現(xiàn)有的信息集Ft上，未來時刻的分紅的現(xiàn)值Dτ是可以被無偏估計的，即Dτ=E［Dτ|Ft］e-r(τ-t)，等式中r為無風險利率。

設為了推導出有隨機分紅項的股票現(xiàn)值，設置標的資產(chǎn)為τ時刻的分紅的遠期合約。合約敲定時，空頭和多頭商定在τ時刻多頭支付給空頭FD(t，τ)，而多頭持有者獲得股票的紅利［D|F］。根據(jù)有效市場假定，不存在無風險逃離的

τt情況，即分紅遠期合約的現(xiàn)值應該等于，未來時刻的分紅的現(xiàn)值D無偏估計。

τFD(t，τ)=Dτe-r(τ-t)(*)

在初始時刻，空頭(1+λ)s買入一股股票。到時刻，多

1頭獲得紅利Dτ，空頭獲得合約交割價FD(t，τ)，并將這部分。錢購買無風險資產(chǎn)

到T時刻，空頭交出股票，獲得F(t，τ)的合約價(加上交易費后實際獲得(1-μ)F(t，τ))。則空頭的總收益為(1-μ)F(t，τ)+FD(t，τ)er(T-τ)。根據(jù)無套利原理，應該等于其初始的現(xiàn)值(1-μ)F(t，τ)+FD(t，τ)er(T-τ)=(1+λ)s1(t)

帶入(*)有

(1-μ)F(t，τ)+Dτe-r(τ-t)er(T-τ)=(1+λ)s1(t)

解得

即彩虹期權中每一只標的股票在現(xiàn)有信息集下隨機分紅后的估計應該是

最后，我們只需要把n維B-S公式中的Si替換成Fi，即可得到有交易費和隨機分紅下彩虹期權的定價公式:

其中

當n=1時，此時的多因素期權與一般的期權相同，其定價公式變?yōu)?

其中，N(*)表示均值為0，標準差為1的標準正態(tài)分布分布函數(shù)，其中

當n=2時，其定價公式為

其中

N(*)和N2(*)分別為一維和二維的標準正態(tài)分布函數(shù)。

對于N＞2的情況，我們只能求出其數(shù)值解，這已經(jīng)超出了本文的內(nèi)容，不再討論。

［1］吳永紅.蹇明.葉小青有交易費和隨機分紅時的歐式期版權)，定20價05［，3期3(刊6論)文］-華中科技大學學報(自然科學

［2］吳云.何建敏 多 因素型期權定價模型的研究［期刊論文］-東南大學學報(自然科學版)，2002，32(1)

［3］汪北昌京云，20金13融.衍生工具(第二版)中國人名大學出版社，

［4］Joseph Stampfli.Victor Goodman(著)，蔡明超(譯)金融數(shù)學機械工業(yè)出版社，北京，2004.