劉俊娟
(河北師范大學(xué)附屬民族學(xué)院 河北 石 家莊 050091)
魏增江
(石家莊理工職業(yè)學(xué)院 河北 石 家莊 050091)
“近似法”是在分析處理和研究某些物理現(xiàn)象和問題時,根據(jù)所研究問題的需要,忽略研究對象和問題的次要因素,突出其主要矛盾和本質(zhì)特征,科學(xué)合理地對所研究問題進行近似處理的方法.使用近似方法需要對所研究的問題和近似條件有足夠的了解和分析,并且能靈活應(yīng)用所學(xué)知識.因此通過近似方法的應(yīng)用,能檢驗我們掌握物理知識的深度、廣度和靈活程度,能培養(yǎng)邏輯思維能力和應(yīng)用物理知識分析、處理、解決實際問題的能力.可見,近似方法在物理學(xué)中占有相當(dāng)重要的地位.
下面就力學(xué)中的問題來舉例說明近似法的應(yīng)用.
【例1】諧振動物體位在小區(qū)間的概率
一物體可視為質(zhì)點沿x軸做振幅為A,圓頻率為ω的諧振動.某人對此物體作隨機觀察,求此物體出現(xiàn)在微小區(qū)間0≤x≤a內(nèi)的概率[1].
解:用3種近似方法求解
方法一:幾何圖形近似方法
質(zhì)點做諧振動的參考圓如圖1所示,因a很小,故有如下近似關(guān)系:a=Aθ,設(shè)物體經(jīng)過區(qū)間a的時間為ta,因為一周期內(nèi)物體兩次經(jīng)過區(qū)間a,所以出現(xiàn)在該區(qū)間的概率為
圖1
方法二:函數(shù)關(guān)系近似方法
取x=0,v>0為計時起點,則物體振動方程為x=Asinωt,當(dāng)a很微小時,對應(yīng)的ta及ωta也很微小,因而有如下近似關(guān)系
由此可得
所以有
方法三:物理關(guān)系近似方法
根據(jù)能量守恒
可得物體振動的最大速度
因為在0≤x≤a微小區(qū)間內(nèi)物體振動加速度甚小,所以可以把物體在這區(qū)間內(nèi)的運動近似當(dāng)作“勻速”運動,因而有
所以
由以上3種方法可見,第一種用幾何圖形近似,直觀形象;第二種用函數(shù)關(guān)系近似,格式嚴密;第三種從物理關(guān)系“勻速”近似處理,思路清晰,概念清楚.3種方法實質(zhì)上都是把“變當(dāng)作不變”處理,故實質(zhì)和結(jié)果是一致的.但必須指出,上述近似方法可行,是因為在該區(qū)間內(nèi)物體的加速度近似為零,否則不能近似.
【例2】運動學(xué)問題
有一個球體在某液體中豎直下落,球體的初速度v0=10j(SI),它在液體中的加速度a=-1.0vj(SI).問:
(1)經(jīng)多少時間后可以認為小球已經(jīng)停止運動?
(2)此球體在停止運動前經(jīng)歷的路程有多長[2]?
解:由題意可得
所以有
解得
可見,球體的速度v隨時間t的增加而減小.又由速度的定義有
得
有
由式(1)可見,當(dāng)v=0時,時間t→∞.由式(2)可見,當(dāng)t→∞時,y=10m,這似乎有些不切合實際.為精確求解,可利用式(1),先求質(zhì)點的速率v分別達到和時所經(jīng)歷的時間如表1所示.
表1 質(zhì)點達到各速率經(jīng)歷時間
從表1可看出,在t=6.9s和t=9.2s時,球體已幾乎不再運動,而所經(jīng)歷的路程已顯示出其極限值10m了.故本題答案為:小球在運動幾乎停止前運動了9.2s,經(jīng)歷的路程約為10m.這種近似處理的方法,不但簡化了問題,而且準確.
【例3】勻質(zhì)薄圓板與質(zhì)點的引力勢能
一半徑為R,質(zhì)量為M且質(zhì)量均勻分布的薄圓板,在板的中垂線上有一質(zhì)量為m的質(zhì)點.若取無窮遠為勢能參考點,用類比方法求它們的引力勢能,討論質(zhì)點距板極遠和距板很近的情況[3].
解:由類比方法可得質(zhì)點與薄圓板相距為r時的引力勢能為
當(dāng)質(zhì)點距圓板極遠時,rR,應(yīng)用二項式定理展開上式可得
此式正是把圓板視為質(zhì)點的結(jié)果.
當(dāng)質(zhì)點距板很近時,xR,圓板質(zhì)量可視為面分布,可得
應(yīng)該強調(diào),在對引力勢能做近似計算時,引力勢能不能近似為零,也不能近似為常量.因為如果在某區(qū)域內(nèi)引力勢能為常量,那么在該區(qū)域內(nèi)引力就為零,這是不合理的.在近似計算中,應(yīng)該特別注意這一點.在對結(jié)果進行近似處理時,可以根據(jù)具體情況,結(jié)合數(shù)學(xué)知識,采用不同的近似方法.比如利用泰勒級數(shù)或傅里葉級數(shù)展開,可以求得許多函數(shù)的近似解;再比如用有限過程代替無限過程;或者忽略一些較小項對結(jié)果的影響,進行數(shù)量級的估算等.
從以上的例題中看出,近似法的使用,不但能簡化物理問題,還可以抓住問題最本質(zhì)的因素,建立正確的物理規(guī)律,得到最主要的科學(xué)依據(jù).在建立物理模型、推導(dǎo)物理規(guī)律、處處滲透著近似處理的思想方法.可以說,善于對實際問題進行合理的近似處理,是學(xué)習(xí)的重要方法,也是科學(xué)素質(zhì)和綜合能力的體現(xiàn).
1 康穎.大學(xué)物理(新版)第一版.北京:科學(xué)出版社,2005.133~136
2 周繼芳.近似法在物理學(xué)中的應(yīng)用.自然科學(xué),2009(7)
3 馬文尉.物理學(xué)習(xí)題分析與解答.北京:高等教育出版社,2004.103