劉俊娟
(河北師范大學附屬民族學院 河北 石 家莊 050091)
魏增江
(石家莊理工職業(yè)學院 河北 石 家莊 050091)
“近似法”是在分析處理和研究某些物理現(xiàn)象和問題時,根據(jù)所研究問題的需要,忽略研究對象和問題的次要因素,突出其主要矛盾和本質特征,科學合理地對所研究問題進行近似處理的方法.使用近似方法需要對所研究的問題和近似條件有足夠的了解和分析,并且能靈活應用所學知識.因此通過近似方法的應用,能檢驗我們掌握物理知識的深度、廣度和靈活程度,能培養(yǎng)邏輯思維能力和應用物理知識分析、處理、解決實際問題的能力.可見,近似方法在物理學中占有相當重要的地位.
下面就力學中的問題來舉例說明近似法的應用.
【例1】諧振動物體位在小區(qū)間的概率
一物體可視為質點沿x軸做振幅為A,圓頻率為ω的諧振動.某人對此物體作隨機觀察,求此物體出現(xiàn)在微小區(qū)間0≤x≤a內的概率[1].
解:用3種近似方法求解
方法一:幾何圖形近似方法
質點做諧振動的參考圓如圖1所示,因a很小,故有如下近似關系:a=Aθ,設物體經過區(qū)間a的時間為ta,因為一周期內物體兩次經過區(qū)間a,所以出現(xiàn)在該區(qū)間的概率為
圖1
方法二:函數(shù)關系近似方法
取x=0,v>0為計時起點,則物體振動方程為x=Asinωt,當a很微小時,對應的ta及ωta也很微小,因而有如下近似關系
由此可得
所以有
方法三:物理關系近似方法
根據(jù)能量守恒
可得物體振動的最大速度
因為在0≤x≤a微小區(qū)間內物體振動加速度甚小,所以可以把物體在這區(qū)間內的運動近似當作“勻速”運動,因而有
所以
由以上3種方法可見,第一種用幾何圖形近似,直觀形象;第二種用函數(shù)關系近似,格式嚴密;第三種從物理關系“勻速”近似處理,思路清晰,概念清楚.3種方法實質上都是把“變當作不變”處理,故實質和結果是一致的.但必須指出,上述近似方法可行,是因為在該區(qū)間內物體的加速度近似為零,否則不能近似.
【例2】運動學問題
有一個球體在某液體中豎直下落,球體的初速度v0=10j(SI),它在液體中的加速度a=-1.0vj(SI).問:
(1)經多少時間后可以認為小球已經停止運動?
(2)此球體在停止運動前經歷的路程有多長[2]?
解:由題意可得
所以有
解得
可見,球體的速度v隨時間t的增加而減小.又由速度的定義有
得
有
由式(1)可見,當v=0時,時間t→∞.由式(2)可見,當t→∞時,y=10m,這似乎有些不切合實際.為精確求解,可利用式(1),先求質點的速率v分別達到和時所經歷的時間如表1所示.
表1 質點達到各速率經歷時間
從表1可看出,在t=6.9s和t=9.2s時,球體已幾乎不再運動,而所經歷的路程已顯示出其極限值10m了.故本題答案為:小球在運動幾乎停止前運動了9.2s,經歷的路程約為10m.這種近似處理的方法,不但簡化了問題,而且準確.
【例3】勻質薄圓板與質點的引力勢能
一半徑為R,質量為M且質量均勻分布的薄圓板,在板的中垂線上有一質量為m的質點.若取無窮遠為勢能參考點,用類比方法求它們的引力勢能,討論質點距板極遠和距板很近的情況[3].
解:由類比方法可得質點與薄圓板相距為r時的引力勢能為
當質點距圓板極遠時,rR,應用二項式定理展開上式可得
此式正是把圓板視為質點的結果.
當質點距板很近時,xR,圓板質量可視為面分布,可得
應該強調,在對引力勢能做近似計算時,引力勢能不能近似為零,也不能近似為常量.因為如果在某區(qū)域內引力勢能為常量,那么在該區(qū)域內引力就為零,這是不合理的.在近似計算中,應該特別注意這一點.在對結果進行近似處理時,可以根據(jù)具體情況,結合數(shù)學知識,采用不同的近似方法.比如利用泰勒級數(shù)或傅里葉級數(shù)展開,可以求得許多函數(shù)的近似解;再比如用有限過程代替無限過程;或者忽略一些較小項對結果的影響,進行數(shù)量級的估算等.
從以上的例題中看出,近似法的使用,不但能簡化物理問題,還可以抓住問題最本質的因素,建立正確的物理規(guī)律,得到最主要的科學依據(jù).在建立物理模型、推導物理規(guī)律、處處滲透著近似處理的思想方法.可以說,善于對實際問題進行合理的近似處理,是學習的重要方法,也是科學素質和綜合能力的體現(xiàn).
1 康穎.大學物理(新版)第一版.北京:科學出版社,2005.133~136
2 周繼芳.近似法在物理學中的應用.自然科學,2009(7)
3 馬文尉.物理學習題分析與解答.北京:高等教育出版社,2004.103