劉俊娟

（河北師范大學(xué)附屬民族學(xué)院 河北 石 家莊 050091）

魏增江

（石家莊理工職業(yè)學(xué)院 河北 石 家莊 050091）

“近似法”是在分析處理和研究某些物理現(xiàn)象和問題時，根據(jù)所研究問題的需要，忽略研究對象和問題的次要因素，突出其主要矛盾和本質(zhì)特征，科學(xué)合理地對所研究問題進行近似處理的方法.使用近似方法需要對所研究的問題和近似條件有足夠的了解和分析，并且能靈活應(yīng)用所學(xué)知識.因此通過近似方法的應(yīng)用，能檢驗我們掌握物理知識的深度、廣度和靈活程度，能培養(yǎng)邏輯思維能力和應(yīng)用物理知識分析、處理、解決實際問題的能力.可見，近似方法在物理學(xué)中占有相當(dāng)重要的地位.

下面就力學(xué)中的問題來舉例說明近似法的應(yīng)用.

【例1】諧振動物體位在小區(qū)間的概率

一物體可視為質(zhì)點沿x軸做振幅為A，圓頻率為ω的諧振動.某人對此物體作隨機觀察，求此物體出現(xiàn)在微小區(qū)間0≤x≤a內(nèi)的概率［1］.

解：用3種近似方法求解

方法一：幾何圖形近似方法

質(zhì)點做諧振動的參考圓如圖1所示，因a很小，故有如下近似關(guān)系：a＝Aθ，設(shè)物體經(jīng)過區(qū)間a的時間為ta，因為一周期內(nèi)物體兩次經(jīng)過區(qū)間a，所以出現(xiàn)在該區(qū)間的概率為

圖1

方法二：函數(shù)關(guān)系近似方法

取x＝0，v＞0為計時起點，則物體振動方程為x＝Asinωt，當(dāng)a很微小時，對應(yīng)的ta及ωta也很微小，因而有如下近似關(guān)系

由此可得

所以有

方法三：物理關(guān)系近似方法

根據(jù)能量守恒

可得物體振動的最大速度

因為在0≤x≤a微小區(qū)間內(nèi)物體振動加速度甚小，所以可以把物體在這區(qū)間內(nèi)的運動近似當(dāng)作“勻速”運動，因而有

所以

由以上3種方法可見，第一種用幾何圖形近似，直觀形象；第二種用函數(shù)關(guān)系近似，格式嚴密；第三種從物理關(guān)系“勻速”近似處理，思路清晰，概念清楚.3種方法實質(zhì)上都是把“變當(dāng)作不變”處理，故實質(zhì)和結(jié)果是一致的.但必須指出，上述近似方法可行，是因為在該區(qū)間內(nèi)物體的加速度近似為零，否則不能近似.

【例2】運動學(xué)問題

有一個球體在某液體中豎直下落，球體的初速度v0＝10j（SI），它在液體中的加速度a＝－1.0vj（SI）.問：

（1）經(jīng)多少時間后可以認為小球已經(jīng)停止運動？

（2）此球體在停止運動前經(jīng)歷的路程有多長［2］？

解：由題意可得

所以有

解得

可見，球體的速度v隨時間t的增加而減小.又由速度的定義有

得

有

由式（1）可見，當(dāng)v＝0時，時間t→∞.由式（2）可見，當(dāng)t→∞時，y＝10m，這似乎有些不切合實際.為精確求解，可利用式（1），先求質(zhì)點的速率v分別達到和時所經(jīng)歷的時間如表1所示.

表1 質(zhì)點達到各速率經(jīng)歷時間

從表1可看出，在t＝6.9s和t＝9.2s時，球體已幾乎不再運動，而所經(jīng)歷的路程已顯示出其極限值10m了.故本題答案為：小球在運動幾乎停止前運動了9.2s，經(jīng)歷的路程約為10m.這種近似處理的方法，不但簡化了問題，而且準確.

【例3】勻質(zhì)薄圓板與質(zhì)點的引力勢能

一半徑為R，質(zhì)量為M且質(zhì)量均勻分布的薄圓板，在板的中垂線上有一質(zhì)量為m的質(zhì)點.若取無窮遠為勢能參考點，用類比方法求它們的引力勢能，討論質(zhì)點距板極遠和距板很近的情況［3］.

解：由類比方法可得質(zhì)點與薄圓板相距為r時的引力勢能為

當(dāng)質(zhì)點距圓板極遠時，rR，應(yīng)用二項式定理展開上式可得

此式正是把圓板視為質(zhì)點的結(jié)果.

當(dāng)質(zhì)點距板很近時，xR，圓板質(zhì)量可視為面分布，可得

應(yīng)該強調(diào)，在對引力勢能做近似計算時，引力勢能不能近似為零，也不能近似為常量.因為如果在某區(qū)域內(nèi)引力勢能為常量，那么在該區(qū)域內(nèi)引力就為零，這是不合理的.在近似計算中，應(yīng)該特別注意這一點.在對結(jié)果進行近似處理時，可以根據(jù)具體情況，結(jié)合數(shù)學(xué)知識，采用不同的近似方法.比如利用泰勒級數(shù)或傅里葉級數(shù)展開，可以求得許多函數(shù)的近似解；再比如用有限過程代替無限過程；或者忽略一些較小項對結(jié)果的影響，進行數(shù)量級的估算等.

從以上的例題中看出，近似法的使用，不但能簡化物理問題，還可以抓住問題最本質(zhì)的因素，建立正確的物理規(guī)律，得到最主要的科學(xué)依據(jù).在建立物理模型、推導(dǎo)物理規(guī)律、處處滲透著近似處理的思想方法.可以說，善于對實際問題進行合理的近似處理，是學(xué)習(xí)的重要方法，也是科學(xué)素質(zhì)和綜合能力的體現(xiàn).

1 康穎.大學(xué)物理（新版）第一版.北京：科學(xué)出版社，2005.133～136

2 周繼芳.近似法在物理學(xué)中的應(yīng)用.自然科學(xué)，2009（7）

3 馬文尉.物理學(xué)習(xí)題分析與解答.北京：高等教育出版社，2004.103