余學鋒，于 杰，王亞梅，趙婉麗

（63870部隊，陜西　華陰　714200）

基于多項式混沌理論的不確定度評定與分析

余學鋒，于 杰，王亞梅，趙婉麗

（63870部隊，陜西華陰714200）

針對基于ISO GUM提供的測量不確定度評估方法所存在的局限，提出了采用多項式混沌方法進行測量結果不確定度評估的新方法。分析了GUM測量不確定度評估方法所隱含的假設條件，給出了多項式混沌方法的測量不確定度評估原理。通過GUM與多項式混沌方法擴展不確定度包含因子估計誤差的數(shù)值計算表明，當隨機變量的PDF不滿足高斯分布時，多項式混沌估計方法所獲得的擴展不確定度更能反映實際情況。

計量學；多項式混沌；測量不確定度

1　引言

在許多高精度的專業(yè)測試中，存在著大量的不確定因素，會給測量結果帶來不確定度。因此，在實際測量過程中除了要給出被測量的測量結果，還要給出測量結果不確定度，這就涉及到測量結果不確定度評定問題。關于測量不確定度評定的研究方向主要有兩個方面：一是如何從已有可靠數(shù)據(jù)中，參數(shù)化地估計隨機變量本身的不確定性，即隨機變量是否服從某種分布；二是測量過程中的各個不確定度分量對最終測量結果的影響程度，即不確定度的傳播。雖然大量的工程經(jīng)驗表明，測量過程中的隨機變量往往是服從某種概率分布的，但是要確定其分布規(guī)律，則需要進行大量的輔助實驗和統(tǒng)計處理，這需要慢慢積累。因此，目前的分析工作主要關注于第二方面，即認為含有隨機變量的測量過程是隨機過程，其隨機變量是服從一定已知概率分布的。

目前，測量結果不確定度的評定一般是采用ISO GUM提供的方法［1］。對各不確定度分量，分別采用A類及B類方法進行評定。對獲得的每個不確定度分量的標準偏差，再通過合成方差的方法得出合成不確定度，然后將合成不確定度乘以一個包含因子，得到擴展不確定度。根據(jù)GUM方法計算的測量結果不確定度，隱含了兩個假設［2］：一是在不確定度合成時，采用的不確定度傳播定律，其各不確定度分量是以一階泰勒級數(shù)近似值為依據(jù)，如果不確定度傳播關系的非線性明顯，則泰勒級數(shù)展開式中的高階項必須記入合成不確定度；二是擴展不確定度中的包含因子選擇，是依據(jù)中心極限定律，認為即使所有的不確定度分量不都為正態(tài)分布，仍將合成不確定度的分布看成是正態(tài)分布。而如果某一不確定度分量為非正態(tài)分布，且其標準偏差較大時，合成不確定度的分布就不是正態(tài)分布。

對此，有學者提出了一些解決方法，如高階矩（HOM）方法［3］。該方法在通常情況下，不確定度估計與GUM方法一致，在不滿足GUM方法假設條件時，高階矩方法將獲得更高的估計精度。但高階矩方法比較復雜，實際使用困難。

近年來，基于譜分析的測量不確定度評估方法開始引起人們的注意。多項式混沌方法（PCT，Polynomial Chaos Theory）便是其中之一。該方法最早由Wiener提出，在解決流體動力學、電路仿真、環(huán)境與聲場等方面得到了較好的應用［4］。本文把多項式混沌方法引入測量結果不確定度評估中，通過構造多項式混沌空間以及數(shù)值計算分析，表明該方法可有效減少GUM近似假設而導致的評估誤差。

2　測量不確定度與多項式混沌理論

2.1基于ISO GUM的測量不確定度描述

在多數(shù)情況下，測量結果可看作是一個隨機變量，其與多個不確定分量有關，可描述為：Y=f（X1，X2，…，Xn），式中Y為測量結果的隨機變量，通過與輸入估計值Xi形成的關系式得到。Xi為具有一定概率分布的不確定分量，其分布參數(shù)可在現(xiàn)行的測量過程中直接確定，或通過外部信息（如技術手冊）引入測量過程來確定。

圖1　不確定度的一般描述

在GUM中不確定度的一般描述如圖1所示。把測量過程作為一個隨機過程，變量eA和eB1，eB2，…，eBn均為不含系統(tǒng)誤差相互獨立具有各自的PDF分布函數(shù)的不確定度分量。eA為采用不確定度A類方法獲得的測量不確定度，eB1，eB2，…，eBn為采用不確定度B類方法獲得的測量不確定度。對于測量過程M而言，其合成標準不確定度為XM。由隨機過程的測量不確定度傳播定律可以得到：

從式（1）可以看出，它是對測量過程的各項不確定度分量進行了簡單的均方求和運算。式（1）及相關不確定度分量均以Y=f（X1，X2，…，Xn）的一階泰勒級數(shù)近似值為依據(jù)，用來表示不確定度的傳播。同時在計算擴展不確定度時，基于中心極限定律（CLT），用正態(tài)分布的標準偏差及對應的包含區(qū)間來描述。

顯然，有兩種情況需要認真分析：一種情況是對于所描述的間接測量過程，當某些分量不是正態(tài)分布時，有可能出現(xiàn)σ2（Y）接近或不比其中某個分量的要大很多的情況；另一種情況是當間接測量不滿足線性關系時，仍采用泰勒一階展開多項式來描述不確定度傳播規(guī)律就是不可接受的。

而對于上述兩種情況，本文將嘗試用PCT方法給予解決。結合實際工程應用，重點放在測量過程的不確定度分量為非正態(tài)分布，且不滿足合成不確定度遠大于任何一個不確定度分量條件時，其不確定度傳播規(guī)律及相應的包含因子和包含概率關系。

2.2多項式混沌理論概述

多項式混沌理論是指采用多項式基所構成的隨機空間來描述和傳播（合成）具有PDF形式的隨機變量的不確定度。其基本思想是用含獨立隨機變量的正交多項式混沌之和來近似表示隨機過程，其關鍵步驟在于確定每個多項式的系數(shù)。對于很多復雜模型，多項式混沌展開的系數(shù)可以通過系統(tǒng)在某些配置點的輸出來計算。配置點使用正交配點法來計算，與比多項式混沌展開階次高一次的多項式之根相對應［5］。

在一個概率空間中，對于任意樣本空間上的n個隨機變量，采用多項式混沌展開逼近來描述該隨機過程空間，其解析式為［6］：

式中，X為待分析的隨機過程，ai為展開多項式的系數(shù)，Ψi為所選擇的多項式基，ξi1為不確定度分量的概率密度函數(shù)（PDF）所對應的多項式基展開式的隨機變量。根據(jù)Askey法則，對應不同的概率密度函數(shù)，存在不同的最優(yōu)多項式。對于概率密度函數(shù)為正態(tài)分布的隨機變量，其最優(yōu)多項式為埃爾米特（Hermite）多項式。對于概率密度函數(shù)為均勻分布的隨機變量，其最優(yōu)多項式為勒讓德（Legendre）多項式［7］。

一般來說，任何一種概率密度函數(shù)都可以用完整的多項式混沌展開基構成的隨機空間來描述。但在工程實際中，用多項式混沌逼近來描述式（2）所給出的隨機（過程）空間中概率密度函數(shù)，其所形成的隨機空間必須限制在有限的維數(shù)內(nèi)，而這有限維數(shù)的選擇不但與獨立的不確定分量個數(shù)nv，即用于描述隨機過程系統(tǒng)中隨機空間獨立變量ξ的個數(shù)有關，同時也與所選擇的多項式基的最高階數(shù)np有關。當給定nv和np的值后，則描述隨機過程中每一個變量所需的多項式展開式的項數(shù)，可由下式來確定［8］：

式中，np為所選多項式基的最高階數(shù)，nv為隨機變量的個數(shù)。采用不高于p階的多項式進行有限項截斷并寫成緊湊形式有：

一般稱式（4）為多項式混沌。其中，Ψi是根據(jù)nv個隨機變量和np個最大階數(shù)計算所得到的p個多項式基。ai是第i個多項式基所對應的系數(shù)，對于概率密度函數(shù)已知的隨機變量，式中的系數(shù)為確定值。根據(jù)Askey法則，對應于不同的概率密度函數(shù)，存在不同的最優(yōu)多項式，當權函數(shù)與概率密度函數(shù)相同時，展開式按指數(shù)收斂于隨機變量［9］。

對于測量過程而言，測量不確定度分量的概率密度函數(shù)主要有兩種，即正態(tài)分布和均勻分布。若隨機變量ξ為具有零均值的標準正態(tài)分布，則展開的多項式基為埃爾米特（Hermite）多項式。若隨機變量ξ為具有-1到+1的均勻分布，則展開的多項式基為勒讓德（Legendre）多項式。根據(jù)Legendre多項式和Hermite多項式的遞推關系，可以得到Hermite多項式基的前6級表達式為：H0（x）=1，H1（x）=x，H2（x）=x2-1，H3（x）=x3-3x，H4（x）=x4-6x2+3，H5（x）=x5-10x3+15x；勒讓德（Legendre）多項式基前6項表達式為：P0（x）=1，P1（x）=x，P2（x）=1.5x2-0.5，P3（x）= 2.5x3-1.5x，P4（x）=4.375x4-3.75x2+0.375，P5（x）=7.875x5-8.75x3+1.875x。顯然，采用多項式混沌方法進行測量不確定度表達，其關鍵就在于如何選擇多項式基以及確定多項式的維數(shù)。

3　多項式混沌方法的測量不確定度表達

3.1不確定度分量的多項式混沌空間

事實上，對于分布函數(shù)或概率密度函數(shù)已知的隨機變量，展開式的系數(shù)為確定值。隨機變量的分布函數(shù)或概率密度函數(shù)由要求解的實際問題決定，其分布參數(shù)為已知。下面將用兩個例子來說明多項式混沌理論如何表達測量不確定度以及如何彌補GUM方法的不足。

3.2GUM與PCT測量不確定度估計誤差

根據(jù)前面的分析，PDF為均勻分布時，其多項式展開為采用Legendre多項式基的二階單變量多項式，兩個不確定度分量，按照Legendre多項式展開后就變?yōu)槿棧?0］。

顯然，通過對兩個為均勻分布的不確定度分量合成，可以得到其擴展不確定度包含因子與包含概率間的一系列對應關系。按照采用混沌多項式展開后進行計算，得到一組不同包含概率下對應的包含因子。同時按照GUM的方法，其合成不確定度的概率密度函數(shù)仍按照高斯分布處理，也可得到一組不同包含概率下對應的包含因子。將這些數(shù)據(jù)分別與理論分析結果（合成不確定度的PDF為三角分布）不同包含概率下對應的包含因子相比較，它們的相對誤差分布情況如圖2所示。從圖中可以看出，當不確定度分量不滿足高斯分布條件時，仍按照GUM方法進行不確定度合成，其擴展不確定度因子與理論值的偏差較大，除了在包含因子為2這個點。而采用多項式混沌展開方式得到的合成不確定度，其擴展不確定度包含因子與理論值的偏差較小。

圖2　GUM和PCT計算擴展不確定度包含因子與理論值的相對誤差

4　GUM與PCT方法的數(shù)值比較

前面分析了兩個均勻分布隨機變量不確定度的合成，對PCT與GUM方法得到的合成不確定度包含概率以及對應的包含因子通過圖形給予了說明。下面將選擇更復雜的一種情況，利用數(shù)值計算合成不確定度以及在不同包含概率下對應的包含因子，進一步了解PCT與GUM方法在描述擴展不確定度方面的效果。方法如下：

考慮有3個隨機變量的不確定度合成，這3個隨機變量的分布分別為一個正態(tài)分布，兩個均勻分布。不確定度合成模型如圖3所示。A1代表A類不確定度概率分布，其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布，所對應的最優(yōu)多項式逼近為Hermite多項式。B1、B2分別代表B類不確定度概率分布，其概率密度函數(shù)為均勻分布，所對應的最優(yōu)多項式逼近為勒讓德（Legendre）多項式，D1代表合成不確定度概率分布。

圖3　GUM方法測量不確定度評估模型

此時，合成不確定度多項式混沌空間，用不高于p階的多項式進行有限項截斷所對應的多項式基的系數(shù)描述如下式：

從理論上分析上述不確定度模型，其合成不確定度的概率密度函數(shù)為近似三角形分布。對式（8）按照多項式混沌理論進行不確定度合成，其合成不確定度的概率密度函數(shù)也近似為三角分布。而按照GUM的理論，其合成不確定度的概率密度函數(shù)仍默認為正態(tài)分布。對于這些差異通過數(shù)值計算，可以有較為清晰的了解。

分別用GUM和PCT方法計算圖3不確定度模型下的擴展不確定度的包含因子及對應的包含概率：

（1）首先對各個不確定度分量，按照GUM指南方法進行不確定度合成，獲得方差（x）和標準偏差σt（x），根據(jù)GUM指南所假設條件，即合成不確定度的概率密度分布滿足中心極限定律，計算擴展不確定度的包含因子以及對應的包含概率。

（2）然后對各個不確定度分量，按照多項式混沌展開方法對其PDF進行重構，計算合成不確定度的方差（x）和標準偏差σp（x），根據(jù)多項式混沌理論計算擴展不確定度的包含因子以及對應的包含概率。

設計兩組數(shù)據(jù)，第1組數(shù)據(jù)為：設定A類不確定度分量的PDF為正態(tài)分布，分布參數(shù)，期望E= 1，標準偏差為0.3。B類不確定度分量的PDF為均勻分布，分布參數(shù)，期望E=0，標準偏差為1/，GUM和PCT方法計算結果見表1。而根據(jù)GUM指南方法計算獲得的合成不確定度為：σt（x）=0.983 2。由于合成不確定度值要遠大于B類不確定度分量的標準偏差，因此滿足中心極限定律假設條件，其按照正態(tài)分布計算的擴展不確定度包含因子及對應的包含概率與理論值相近。而采用多項式混沌方法計算獲得的合成不確定度為：σt（x）=0.864 3，擴展不確定度包含因子及對應的包含概率與理論值也表現(xiàn)出良好的一致性。

表1　第1組數(shù)據(jù)情況下計算結果

第2組數(shù)據(jù)：設定A類不確定度分量的PDF為正態(tài)分布，分布參數(shù)為：期望E=1，標準偏差為0.1。B類不確定度分量的PDF為均勻分布，分布參數(shù)為：期望E=0，標準偏差為0.2/，GUM和PCT方法計算結果見表2。而根據(jù)GUM指南方法計算獲得的合成不確定度為：σt（x）=0.19148。由于合成不確定度值接近B類不確定度分量0.115 5，因此不能完全滿足中心極限定律假設條件，但仍按照正態(tài)分布來計算擴展不確定度包含因子及對應的包含概率，可以看出與理論值出現(xiàn)較大偏差。同樣的不確定度分量，采用多項式混沌方法計算擴展不確定度包含因子及對應的包含概率，與理論值比較接近，表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性。

表2　第2組數(shù)據(jù)情況下計算結果

實際上，當合成不確定度值接近某一B類不確定度分量值情況下，合成不確定度的概率密度函數(shù)近似為三角分布，而不是GUM所假設的正態(tài)分布，因此，采用GUM方法進行不確定度合成，得到的擴展不確定度其包含因子所對應的包含概率就會出現(xiàn)較大的偏差。

5　結論

（1）在大多數(shù)情況下，基于多項式混沌的不確定度分析方法與采用ISO（GUM）分析方法得出的結果相一致，這也說明多項式混沌方法完全可以應用于測量不確定度評估中。相比而言，多項式混沌方法具有更好的靈活性和更強的適應性。

（2）當測量過程中隨機變量PDF分布與理論假設不相符時，或不滿足中心極限定律條件時，采用GUM方法進行不確定度合成并計算擴展不確定度時可能帶來較大的偏差，而根據(jù)多項式混沌方法所獲得的擴展不確定度更能反映實際情況。

（3）假如對不確定度分量的概率分布未知，按照GUM方法來處理，就有可能會出現(xiàn)擴展不確定度的計算誤差跳動的現(xiàn)象。而按照PCT方法來處理，擴展不確定度的計算誤差變化就相對平穩(wěn)。顯然當不確定度分量的概率分布難以確定時，采用PCT方法來處理，其擴展不確定度的估計更為穩(wěn)健。

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［2］國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局.JJF 1059.1-2012測量不確定度評定與表示［S］.2012.

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Measurement Uncertainty Evaluation and Analysis Based on Polynomial Chaos Approach

YU Xue-feng，YU Jie，WANG Ya-mei，ZHAO Wan-li
（PLA 63870 Unit，Huayin，Shaanxi 714200，China）

Deal with the limitations of measurement uncertainty evaluation method based on ISO GUM，A new approach to the evaluation of measurement uncertainty based on the polynomial chaos theory is presented.The main assumptions behind the measurement uncertainty propagation based on the GUM is analyzed.The measurement uncertainty evaluation used the PCT approach is provided.By the GUM and PCT method，the relative absolute difference between the confidence obtained in the two cases and the true value is computed.It is show that in case of a distribution very different from the Gaussian，the polynomial approach leads to results very close to the ideal case.

Metrology；Polynomial chaos；Measurement uncertainty

TB9

A

1000-1158（2015）01-0107-06

10.3969/j.issn.1000-1158.2015.01.23

2013-06-14；

2013-11-27

余學鋒（1963-），男，江蘇南京人，63870部隊高級工程師，主要研究方向為儀器儀表與計量測試。yxfyd@163.com