余清華，邱 斌，高申翔，夏 偉，丁風(fēng)海，王琳娜

（中國衛(wèi)星海上測控部，江蘇　江陰　214431）

失配誤差的蒙特卡洛分析

余清華，邱 斌，高申翔，夏 偉，丁風(fēng)海，王琳娜

（中國衛(wèi)星海上測控部，江蘇江陰214431）

針對(duì)極限相位法評(píng)定失配誤差引入的測量不確定度普遍偏大的問題，提出了采用蒙特卡洛法對(duì)其評(píng)定的新方法。以交替比較法校準(zhǔn)功率座為實(shí)例，研究了蒙特卡洛法評(píng)定失配誤差引入的測量不確定度的具體實(shí)現(xiàn)方法，并將其得到的結(jié)果與極限相位法進(jìn)行比較。結(jié)果表明，蒙特卡洛法更適合用于失配誤差引入的測量不確定度進(jìn)行評(píng)定。

計(jì)量學(xué)；失配誤差；極限相位法；蒙特卡洛法；不確定度

1　引言

在高頻和微波功率的測量和校準(zhǔn)中，由于測量和校準(zhǔn)系統(tǒng)的特性阻抗與被校功率座的輸入特性阻抗不可能完全匹配，因此，失配誤差無法避免，且失配誤差通常是主要的誤差來源［1］。失配誤差的表達(dá)式是復(fù)變量分式，計(jì)算非常復(fù)雜，常用的處理方法是忽略失配對(duì)測量結(jié)果的影響，只在測量結(jié)果不確定度評(píng)定時(shí)再將其引入，即通過極限相位關(guān)系估算其誤差限（簡稱極限相位法），并默認(rèn)其服從反正弦分布。這樣處理雖能嚴(yán)格滿足不確定度評(píng)定的適用性，但無疑會(huì)使不確定度在一定程度上放大，從而導(dǎo)致儀器的測量能力得不到真正體現(xiàn)。針對(duì)此問題，本文提出了采用蒙特卡洛法（MCM）對(duì)失配誤差進(jìn)行計(jì)算的新方法，將兩種方法得到的失配誤差進(jìn)行比較，分析對(duì)測量結(jié)果不確定度的影響，并討論采用蒙特卡洛法替代極限相位法的可行性。本文將以交替比較法測量功率座校準(zhǔn)因子過程中產(chǎn)生的失配誤差為基礎(chǔ)展開討論分析。

2　交替比較法校準(zhǔn)功率座［2］

交替比較法是利用高一級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)功率座（已知校準(zhǔn)因子）校準(zhǔn)被校功率座，其原理框圖如圖1所示。校準(zhǔn)程序是：將標(biāo)準(zhǔn)功率計(jì)和被校功率計(jì)交替接到穩(wěn)幅信號(hào)源上，信號(hào)源輸出保持不變，那么被校功率計(jì)所吸收的功率Pbu和標(biāo)準(zhǔn)功率計(jì)所吸收的功率Pbs存在特定關(guān)系，從而得到被校功率計(jì)的校準(zhǔn)因子。

被校功率座校準(zhǔn)因子如式（1）所示：

式中，Ku為被校功率座校準(zhǔn)因子，Ks為標(biāo)準(zhǔn)功率座校準(zhǔn)因子，Pbu為被校功率座直流替代功率，Pbs為標(biāo)準(zhǔn)功率座直流替代功率，Γ1為等效信號(hào)源電壓反射系數(shù)，Γs為標(biāo)準(zhǔn)功率座電壓反射系數(shù)，Γu為被校功率座電壓反射系數(shù)。

圖1　交替比較法原理框圖

定義失配誤差M為：

3　失配誤差的極限相位分析

對(duì)于失配項(xiàng)M，目前通用的處理方法是：令M =1，即將失配的影響不計(jì)入測量結(jié)果，然后在測量結(jié)果的不確定度評(píng)定時(shí)，再將其引入。在評(píng)定測量結(jié)果不確定度時(shí)，利用極限相位關(guān)系得到失配的誤差限。

根據(jù)式（2），考慮各反射系數(shù)的極限相位組合，則

因?yàn)楦鞣瓷湎禂?shù)的模值遠(yuǎn)小于1，所以它們的乘積遠(yuǎn)小于1，因此可以利用冪級(jí)數(shù)展開式

將式（4）、式（5）化成積式并舍去二次以上的項(xiàng)目，得

則M引起的Ku的相對(duì)誤差分布范圍是

認(rèn)為ΔKu服從反正弦分布，在置信概率p= 100％時(shí)，M引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為

4　蒙特卡洛法介紹［3］

蒙特卡洛法（MCM）是一種通過重復(fù)采樣實(shí)現(xiàn)分布傳播的數(shù)值方法，與GUM法利用線性化模型傳播不確定度的解析方法不同，MCM法通過對(duì)輸入量Xi的PDF離散采樣，由測量模型傳播輸入量的分布，計(jì)算獲得輸出量Y的PDF的離散采樣值，進(jìn)而由輸出量的離散分布數(shù)值直接獲取輸出量的最佳估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)不確定度和包含區(qū)間。蒙特卡洛方法的實(shí)施步驟如下。

4.1MCM輸入

（1）定義輸出量Y，即需測量的量；

（2）確定與Y相關(guān)的輸入量X1，…，XN；

（3）建立Y與X1，…，XN之間的模型Y=f（X1，…，XN）；

（4）根據(jù)可用信息，為Xi設(shè)定PDF——正態(tài)分布或者均勻分布等；

（5）選擇蒙特卡洛試驗(yàn)樣本量的大小M。

4.2MCM傳輸

（1）從輸入量X1的PDF gXi（ξi）中抽取M個(gè)樣本值xir，i=1，2，…，N；r=1，2，…，M；

（2）對(duì)每個(gè)樣本矢量（x1r，…，xnr），計(jì)算相應(yīng)Y的模型值yr=f（x1r，…，xnr）；r=1，2，…，M。

4.3MCM輸出

4.4報(bào)告結(jié)果

（1）由G計(jì)算Y的估計(jì)值y及y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（y）；

（2）由G計(jì)算在給定包含概率p時(shí)的Y的包含區(qū)間［ylow，yhigh］。

5　實(shí)例分析

用矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀ZVA24分別對(duì)標(biāo)準(zhǔn)功率計(jì)、被校功率計(jì)和信號(hào)源（帶隔離衰減器）分別進(jìn)行反射系數(shù)和相位的測量，重復(fù)測量10次，每次測量均斷開后重新連接，將測量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到的數(shù)據(jù)如表1所示（反射系數(shù)為無量綱量）。

5.1失配引入測量不確定度的極限相位分析

將表1中反射系數(shù)的均值代入到式（10）中，計(jì)算得到極限相位模式下M引起的測量不確定度σM，得到的σM如表2所示。

展望未來，濱河路小學(xué)會(huì)引領(lǐng)越來越多的孩子去探索，去實(shí)踐，去創(chuàng)新，讓科技活動(dòng)深入到每個(gè)孩子心中，讓他們享受到科技創(chuàng)新的幸福和快樂！

表1　實(shí)際測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)值

表2　極限相位法得到的相對(duì)不確定度分量

5.2失配引入測量不確定度的蒙特卡洛分析

（1）數(shù)學(xué)模型的建立

輸出量與輸入量的數(shù)學(xué)模型如式（3）所示。

（2）為各輸入量設(shè)定概率密度函數(shù)

由式（3）可分析得到，失配誤差M依賴于6個(gè)獨(dú)立分布的量：Γ1、θ1、Γu、θu、Γs、θs。Γ1、θ1、Γu、θu、Γs、θs均服從正態(tài)分布，其主要的不確定度均來源與兩項(xiàng)：一是測量重復(fù)性引入的不確定度；二是ZVA24技術(shù)說明書中給出的測量反射系數(shù)和測量相角的不確定度。根據(jù)測量點(diǎn)的頻率和測量得到的反射系數(shù)（反射系數(shù)換算成dB單位，均在-10～-45 dB之間），查閱技術(shù)手冊得到測量反射系數(shù)和測量相角的不確定度分別為＜0.1 dB和＜1°，由于技術(shù)手冊未給出其分布狀態(tài)和置信因子k值，這里假設(shè)均服從正態(tài)分布，置信水平為95％，k=2。將0.1 dB進(jìn)行換算，換算公式如式（11）所示。各輸入分量的合成如表3所示（以頻點(diǎn)6 GHz為示例）。

根據(jù)表1和表3得到各輸入量的分布：Γ1服從N（0.263，（0.00315）2）的正態(tài)分布；θ1服從N（54.4，（0.735）2）的正態(tài)分布；Γu服從N（0.0077，（0.00046）2）的正態(tài)分布；θu服從N（34.8，（3.65）2）的正態(tài)分布；Γs服從N（0.0134，（0.00125）2）的正態(tài)分布；θs服從N（66.4，（1.695）2）的正態(tài)分布。

表3　Γ1、θ1、Γu、θu、Γs、θs的分布

（3）分布的傳遞和結(jié)果的總結(jié)報(bào)告［4～6］

本文利用Matlab軟件的強(qiáng)大計(jì)算功能進(jìn)行編程計(jì)算，Matlab程序如下：

randn（‘state'，0）％將正態(tài)分布發(fā)生器復(fù)位；

N=1000000 ％設(shè)置試驗(yàn)的次數(shù)為106，一般情況下的默認(rèn)試驗(yàn)次數(shù)；

R1=randn（1，N）％產(chǎn)生0～1范圍內(nèi)的M個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)；

S1=0.263+R1*0.00315 ％產(chǎn)生M個(gè)服從N（0.263，（0.00315）2）分布的Γ1；

R2=randn（1，N）％產(chǎn)生0～1范圍內(nèi)的M個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)；

S2=（54.4+R2*0.735）*pi/180 ％產(chǎn)生M個(gè)服從N（54.4，（0.735）2）分布的θ1；

… ％各個(gè)參數(shù)依次產(chǎn)生；

S6=（66.4+R6*1.695）*pi/180 ％產(chǎn)生服從N（66.4，（1.695）2）分布的θs；

A=（1-S1.*S3.*cos（S2+S4））2+（S1.* S3.*sin（S2+S4））2％產(chǎn)生失配因子M的式（3）的分子；

B=（1-S1.*S5.*cos（S2+S6））2+（S1.* S5.*sin（S2+S6））2％產(chǎn)生失配因子M的式（3）的分母；

M=A./B；％計(jì)算失配因子M；

［mean（M），std（M）］％計(jì)算均值和方差

［prctile（M，2.5），prctile（M，97.5）］％求出置信概率為95％的分布上下限；

hist（M，100）％將M均勻劃分成100個(gè)區(qū)間，計(jì)算每個(gè)區(qū)間出現(xiàn)的頻率數(shù)，并畫圖；［min （M），max（M）］％求出M的最大值、最小值。

圖2　M的區(qū)間-頻率分布圖

表4　各頻點(diǎn)M的均值

表5　各頻點(diǎn)M引入的相對(duì)誤差范圍（％）

從表4可以看出，M的大小并不為1，因此極限相位法將M假設(shè)為1會(huì)引起測量結(jié)果的偏離，引起的相對(duì)誤差范圍為（-1.0％，1.14％）。從表5可以看出，在置信概率相同（100％）的情況下，MCM法計(jì)算得到M引起測量結(jié)果的相對(duì)誤差限明顯小于極限相位法得到的結(jié)果。實(shí)際上，在進(jìn)行不確定度評(píng)定時(shí)，通常選擇置信概率為95％。在置信概率為95％的情況下，MCM法計(jì)算得到的由M引起的測量結(jié)果的相對(duì)誤差限相對(duì)于極限相位法基本上可忽略不計(jì)。

綜上所述，在對(duì)M引入的測量不確定度進(jìn)行評(píng)定時(shí)，MCM法是一種更為合適的方法。相對(duì)于極限相位法，即使不考慮將M假設(shè)為1帶來的偏差，MCM法得到的結(jié)論也更為精確，因?yàn)槊總€(gè)反射系數(shù)的相角只會(huì)在某個(gè)固定值附近波動(dòng)，不可能在實(shí)際測試中出現(xiàn)在-180°～180°整個(gè)范圍內(nèi)波動(dòng)的情況。且反射系數(shù)的測量的不確定度也是相當(dāng)小的，假設(shè)反射系數(shù)和相角的測量不確定度都是最壞情況（ZVA24在最壞的情況下，測量相角的不確定度為6°，反射系數(shù)的測量不確定度為1 dB，即6％），以6 GHz頻率點(diǎn)為例，選擇置信概率100％，用MCM法得到M引起的測量結(jié)果的相對(duì)偏差為（-0.31，0.26），比極限相位法得到的小1/3以上。因此，MCM法更適合于失配引起的測量不確定度的評(píng)定。

6　結(jié)論

本文以交替比較法校準(zhǔn)功率座為實(shí)例，分別用極限相位法和MCM法對(duì)失配誤差M引入的相對(duì)測量不確定度進(jìn)行評(píng)定，對(duì)比結(jié)果表明，MCM法明顯優(yōu)于極限相位法。該法有效避免了由于近似而引起的偏差，無需通過放大不確定度來保證不確定度評(píng)定的有效性，是一種模擬隨機(jī)過程純數(shù)值計(jì)算方法，可以更真實(shí)地反映儀器的測量水平。因此，建議使用MCM法對(duì)失配誤差引入的測量不確定度進(jìn)行評(píng)定，特別是失配誤差是測量結(jié)果不確定度的主要來源時(shí)。

［1］高申翔，石明華，韓璐，等.失配誤差的計(jì)算機(jī)輔助分析與評(píng)定［J］.計(jì)量技術(shù)，2012，（10）：19-21.

［2］王志田.無線電電子學(xué)計(jì)量（上冊）［M］.北京：原子能出版社，2002，26-27.

［3］國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局.JJF 1059.2—2012用蒙特卡洛法評(píng)定測量不確定度［S］.

［4］陳懷艷，曹蕓，韓潔.基于蒙特卡洛法的測量不確定度評(píng)定［J］.電子測量與儀器學(xué)報(bào)，2011，25（4）：301 -308.

［5］張海濱，王中宇，劉智敏.測量不確定度評(píng)定的驗(yàn)證研究［J］.計(jì)量學(xué)報(bào)，2007，28（3）：193-197.

Monte Carlo Analyze of Mismatch Error

YU Qing-hua，QIU Bin，GAO Sheng-xiang，XIA Wei，DING Feng-hai，WANG Lin-na
（China Satellite Maritime Tracking and Control Department，Jiangyin，Jiangsu 214431，China）

A Monte Carlo method is proposed for mismatch error due to the comparatively big uncertainty brought by extreme phase method.As the alternative comparison method to calibrate power sensor for the example，specific realization method of measurement uncertainty resulted by mismatch error from Monte Carlo method was researched，and the results obtained was compared with extreme phase method.The results show that Monte Carlo method is relatively more suitable for evaluating the uncertainty resulted by mismatch error.

Metrology；Mismatch error；Extreme phase method；Monte Carlo method；Uncertainty

TB973

A

1000-1158（2015）01-0092-05

10.3969/j.issn.1000-1158.2015.01.20

2013-06-04；

2013-11-26

余清華（1984-），男，湖北赤壁人，中國衛(wèi)星海上測控部工程師，主要研究無線電計(jì)量、自動(dòng)化測試、電磁兼容等。yuqinghua005@sina.com