張蜀青，曹廣福

（1．廣州大學(xué)　數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東　廣州　510006；2．廣州市執(zhí)信中學(xué)，廣東　廣州　510095）

大學(xué)教師與中學(xué)教師關(guān)于《基本不等式》的“同課異構(gòu)”評(píng)析

張蜀青1，2，曹廣福1

（1．廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510006；2．廣州市執(zhí)信中學(xué)，廣東廣州510095）

介紹和總結(jié)了大學(xué)教師與中學(xué)教師關(guān)于基本不等式教學(xué)內(nèi)容的不同設(shè)計(jì)，比較其異同.無(wú)論大學(xué)教師還是中學(xué)教師都非常注重教學(xué)過(guò)程中的啟發(fā)誘導(dǎo)，但是他們的啟發(fā)方式卻明顯不同：大學(xué)教師注重知識(shí)的學(xué)科價(jià)值與思想內(nèi)涵，強(qiáng)調(diào)思想性的滲透，中學(xué)教師則注重授課細(xì)節(jié)，重視解題技巧與落實(shí).通過(guò)對(duì)這種不同視角的“同課異構(gòu)”，分析大學(xué)教師與中學(xué)教師不同的教育理念，進(jìn)而反思中學(xué)數(shù)學(xué)原理課教學(xué)中應(yīng)該注意的問(wèn)題.

同課異構(gòu)；基本不等式；教學(xué)理念；教學(xué)方法

1　引　言

作為廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院和廣州市執(zhí)信中學(xué)聯(lián)手?jǐn)?shù)學(xué)教育改革重要環(huán)節(jié)之一的課堂教學(xué)，由執(zhí)信中學(xué)張蜀青于近期組織開展了一次別開生面的“同課異構(gòu)”，曹廣福教授與執(zhí)信中學(xué)兩位老師同臺(tái)就“基本不等式”（第一課時(shí)，公式學(xué)習(xí)及求最值）各自上了一節(jié)公開課.參與聽課與評(píng)課者有華南師范大學(xué)和廣州大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究專家及數(shù)學(xué)教育研究生、廣州市教育局教研室以及執(zhí)信中學(xué)數(shù)學(xué)科全體教師與兄弟中學(xué)的部分教師.邀請(qǐng)大學(xué)教師與中學(xué)教師在同一個(gè)平臺(tái)上課的目的旨在探討大學(xué)教育理念與中學(xué)教育理念之間的契合點(diǎn)，從而在學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與應(yīng)試能力之間尋找到合適的均衡點(diǎn).

2　三位教師的課堂設(shè)計(jì)

2.1兩位中學(xué)教師的設(shè)計(jì)思路比較類似均屬傳統(tǒng)教學(xué)方式

（1）公式引入：兩位教師都選擇了蘇教版的引入辦法，通過(guò)虛擬的天平物理實(shí)驗(yàn)得到算術(shù)平均數(shù)，再由力矩原理得到幾何平均數(shù).

（2）公式證明：兩位教師從代數(shù)、幾何多角度給出了基本不等式的證明，并在幾何方法證明時(shí)解釋一下幾何平均數(shù)的由來(lái).

（3）公式的強(qiáng)化學(xué)習(xí)（包括公式的使用）：通過(guò)若干例子強(qiáng)化對(duì)基本不等式的理解，教學(xué)過(guò)程環(huán)環(huán)相扣、落實(shí)到位.其中一位教師的進(jìn)度是完成課本的例題與要求，她所任教的班級(jí)是重點(diǎn)班.另一位教師的進(jìn)度則跳過(guò)了一些課本練習(xí)展開了一些變式技巧，該教師所任教的班級(jí)則是普通班.

2.2大學(xué)教師的課堂設(shè)計(jì)

曹廣福執(zhí)教這節(jié)課，與傳統(tǒng)做法完全不同，首先簡(jiǎn)述了不等式的重要意義以及最大值最小值在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位，然后通過(guò)如下幾個(gè)思考題層層展開.

思考一：你家建房時(shí)還剩下些材料，你打算使用這些剩余材料在房子旁邊依著墻壁修一個(gè)高度一定的矩形狗窩，你剩下的材料可以修一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的圍墻，請(qǐng)問(wèn)如何修建可以獲得最大面積的狗窩？

這是一個(gè)二次函數(shù)模型，學(xué)生很快解決.但將這個(gè)問(wèn)題稍作變化得到另一個(gè)問(wèn)題：

思考二：你家建房的材料用完了，沒(méi)有準(zhǔn)備好修建狗窩的材料，現(xiàn)在你計(jì)劃依著墻壁修建一個(gè)面積為S的矩形狗窩，你已選中建狗窩的材料，狗窩的高度也確定了，如何以最小的成本建成這樣的狗窩？

這個(gè)思考題中出現(xiàn)了函數(shù)：L=x+2S/x如何求這個(gè)函數(shù)的最小值？從而引出基本不等式的探究發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)證明.

思考三：通過(guò)對(duì)兩個(gè)基本不等式結(jié)構(gòu)的分析，你認(rèn)為什么情況下可能需要這兩個(gè)基本不等式？它能幫助解決什么問(wèn)題？

由此總結(jié)出：“當(dāng)因式中含兩個(gè)因子的和或兩個(gè)因子的乘積時(shí)可能需要利用這些不等式化‘和’為‘積’或化‘積’為‘和’，目的是對(duì)目標(biāo)函數(shù)做估計(jì)或者求最大值、最小值.”通過(guò)下面的例子對(duì)上述總結(jié)做一個(gè)詮釋：

接著拋出第四個(gè)思考題：

思考四：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是兩個(gè)因子的“積”或“和”時(shí)一定可以通過(guò)基本不等式求最值嗎？

例子本身非常簡(jiǎn)單，學(xué)生通過(guò)觀察便可以看出最大值是什么，但問(wèn)題的關(guān)鍵在于，這個(gè)最大值能不能通過(guò)基本不等式得到？由此引發(fā)學(xué)生思考并得出下面的結(jié)論：

當(dāng)基本不等式的兩邊有一邊是定值時(shí)才有可能利用它求最值.

問(wèn)題還沒(méi)有徹底解決：

思考五：如果基本不等式的一邊是定值，一定可以利用它求最值嗎？

學(xué)生通過(guò)這個(gè)例子可以看到，即使?jié)M足“一正、二定”也未必可以通過(guò)令兩個(gè)因子相等而解出取最值的那個(gè)點(diǎn).最后讓學(xué)生自己總結(jié)出利用基本不等式求最值的基本原則：

課后思考題：根據(jù)這節(jié)課的討論，你認(rèn)為什么時(shí)候可以利用基本不等式求最值？如何求最值？

4課堂評(píng)析

4.1對(duì)兩位中學(xué)教師的教學(xué)過(guò)程評(píng)析

但是這節(jié)課的教學(xué)有兩個(gè)方面的問(wèn)題值得反思：（1）這節(jié)課的主題是什么？（2）對(duì)于基本不等式，重要的是發(fā)現(xiàn)還是證明？?jī)晌恢袑W(xué)教師同時(shí)以天平做虛擬實(shí)驗(yàn)，但以天平實(shí)驗(yàn)引入存在兩個(gè)方面的問(wèn)題：① 物理實(shí)驗(yàn)的誤差通常涉及很多因素，包括刻度、人眼的觀察等，怎么知道天平兩邊的臂長(zhǎng)就一定是l1與l2？又如何保證肉眼讀出的數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確的？② 姑且假定導(dǎo)致誤差的唯一因素是天平的臂長(zhǎng)，如何通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)？事實(shí)上，基本不等式的本質(zhì)在于反映了兩個(gè)因子的和與乘積之間的內(nèi)在關(guān)系，他真正的科學(xué)價(jià)值在于通過(guò)“和”化積”或“積”化“和”將代數(shù)式或函數(shù)進(jìn)行縮放從而得到簡(jiǎn)化最終完成估計(jì)（最大最小值問(wèn)題也是如此）.天平實(shí)驗(yàn)并不能發(fā)現(xiàn)基本不等式，而將問(wèn)題引到了兩個(gè)平均數(shù)，顯然偏離了主題，可見教材的引入方法值得商榷.當(dāng)然，作為基本不等式的附帶產(chǎn)品，適當(dāng)介紹一下這兩個(gè)平均是可以的.不過(guò)教師在課堂上始終沒(méi)有對(duì)幾何平均做出解釋，后來(lái)在評(píng)課環(huán)節(jié)教育局教研室的教研員通過(guò)等比中項(xiàng)解釋了為什么叫幾何平均，雖然這個(gè)解釋僅僅適用于兩個(gè)正數(shù)情形，但至少可以直觀地說(shuō)明一點(diǎn)問(wèn)題.

總的說(shuō)來(lái)，兩位教師對(duì)原理本身科學(xué)意義的闡述不足，這是有待改進(jìn)的地方.

4.2對(duì)大學(xué)教師的教學(xué)過(guò)程評(píng)析

接著執(zhí)教者通過(guò)問(wèn)題三、四、五使學(xué)生通過(guò)解決問(wèn)題去發(fā)現(xiàn)公式有什么用，使用公式有什么要注意的地方.

由于基本不等式有著很強(qiáng)的幾何背景，所以教師提示學(xué)生：“幾何與代數(shù)是密不可分的，幾何可以幫助我們提供直觀，幫助我們理解代數(shù)式的深刻內(nèi)涵，代數(shù)則可以使幾何問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)單.看到兩個(gè)正數(shù)的乘積你想到了什么？”學(xué)生答：“矩形面積或三角形面積.”“看到兩個(gè)正數(shù)的平方和你想到了什么？”學(xué)生回答：“想到了勾股定理.”“換句話說(shuō)，兩個(gè)正數(shù)的平方實(shí)際上是以這兩個(gè)正數(shù)為直角邊的直角三角形斜邊的平方，也可以看著以斜邊為邊的正方形的面積.”所有這些分析已經(jīng)為學(xué)生完成基本不等式的幾何證明提供了足夠的信息，特別對(duì)于“元培班”這類優(yōu)中選優(yōu)的學(xué)生而言，完成證明完全不是難事.

執(zhí)教者對(duì)基本不等式結(jié)構(gòu)的分析主要基于兩個(gè)方面，一是兩個(gè)平均數(shù)，二是和與積的轉(zhuǎn)化，后者是重點(diǎn).所謂兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均是指這樣的數(shù)，它連加兩次與原來(lái)兩個(gè)數(shù)的和相等，所謂兩個(gè)數(shù)的幾何平均是指這樣的數(shù)，它連乘兩次等于原來(lái)兩個(gè)數(shù)的乘積，這個(gè)概念可以推廣到一般情形.算術(shù)平均學(xué)生不難理解，因?yàn)樯钪泻艹Ｒ?，幾何平均則比較生疏，最好的例子是GDP的平均增長(zhǎng)率或糧食的平均增長(zhǎng)率.對(duì)于基本不等式，最重要的是通過(guò)對(duì)其結(jié)構(gòu)的分析，讓學(xué)生了解這個(gè)不等式的科學(xué)價(jià)值是什么.通過(guò)對(duì)不等式結(jié)構(gòu)的分析，教師后面提出的一系列問(wèn)題，并由此總結(jié)出：“當(dāng)因式中含兩個(gè)因子的和或兩個(gè)因子的乘積時(shí)可能需要利用這些不等式化‘和’為‘積’或化‘積’為‘和’，目的是對(duì)目標(biāo)函數(shù)做估計(jì)或者求最大值、最小值.”并通過(guò)具體的例子對(duì)上述總結(jié)做一個(gè)詮釋.整個(gè)課堂體現(xiàn)出探索的精神，高屋建瓴有大格局感覺(jué).

由于大學(xué)教師對(duì)學(xué)生了解不夠充分，所以課時(shí)拖了一點(diǎn)時(shí)間，而且思考三、四、五在研究者看來(lái)可以把例題和問(wèn)題的順序換一下，課后調(diào)查一部分學(xué)生反應(yīng)問(wèn)題拋出來(lái)時(shí)不知道問(wèn)什么（當(dāng)然這也與教學(xué)雙方第一次不太適應(yīng)有關(guān)系）.

4.3大學(xué)教師和中學(xué)教師執(zhí)教這節(jié)課的異同點(diǎn)

在3堂課上，可以看到教師們提出的每一個(gè)問(wèn)題及問(wèn)題情境都是為了啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生而精心設(shè)計(jì)，對(duì)于第一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容選取基本一致（之前并未規(guī)定第一課時(shí)具體內(nèi)容）.

兩位中學(xué)教師采取的是傳統(tǒng)教法，而大學(xué)教師對(duì)這節(jié)課的處理則與傳統(tǒng)教學(xué)有很大不同，主要體現(xiàn)在“原理的發(fā)現(xiàn)與原理的證明哪個(gè)更重要”這個(gè)價(jià)值取向上.正如大學(xué)教師在評(píng)課環(huán)節(jié)所說(shuō)：“書本、知識(shí)與課堂3者之間是什么關(guān)系？書本是知識(shí)的載體，那么知識(shí)呢？它是終極目標(biāo)嗎？課堂上將知識(shí)傳授給學(xué)生，學(xué)生掌握了知識(shí)，教育過(guò)程就完成了嗎？我不這么認(rèn)為，我認(rèn)為知識(shí)也是一種載體，它是思想的載體，教師在課堂上的任務(wù)是將隱藏在書本知識(shí)背后的思想挖掘出來(lái)展現(xiàn)給學(xué)生，并讓學(xué)生融會(huì)貫通，這才是教育.就概念與原理課而言，雖說(shuō)有上位學(xué)習(xí)與下位學(xué)習(xí)之分，但我認(rèn)為，一個(gè)原理的發(fā)現(xiàn)比原理的證明更重要.”

弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論認(rèn)為（張奠宙，宋乃慶[1]），數(shù)學(xué)教育有5個(gè)基本特征：（1）情境問(wèn)題是教學(xué)的平臺(tái)；（2）數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)；（3）學(xué)生通過(guò)自己的努力得到的結(jié)論和創(chuàng)造是教育內(nèi)容的一部分；（4）“互動(dòng)”是主要的學(xué)習(xí)方式；（5）學(xué)科交叉是數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的呈現(xiàn)方式.簡(jiǎn)而言之即：現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)化、再創(chuàng)造.教師的課堂教學(xué)固然要體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的基本特征，但創(chuàng)設(shè)什么樣的問(wèn)題情境？如果從情境問(wèn)題過(guò)渡到數(shù)學(xué)化？“互動(dòng)”的形式是什么樣的？這些都值得教師認(rèn)真思考.很多人認(rèn)為，所謂師生互動(dòng)就是教師布置問(wèn)題，學(xué)生動(dòng)手解答，從數(shù)學(xué)教育的全過(guò)程來(lái)看，這個(gè)程序是必不可少的，但就一節(jié)或很多概念課與原理課而言，互動(dòng)未必僅僅表現(xiàn)在這種外在的形式上，為了互動(dòng)而互動(dòng)很可能導(dǎo)致課堂教學(xué)的生硬.事實(shí)上，概念課與原理課的教學(xué)中，學(xué)生跟隨著教師的啟發(fā)完成整個(gè)的思維過(guò)程本身也是一種互動(dòng)的形式.

注重學(xué)生的生活體驗(yàn)是沒(méi)有錯(cuò)的，但注重生活體驗(yàn)不等于不要嚴(yán)謹(jǐn)性.“問(wèn)題”是一切科學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)也不例外，但問(wèn)題有真問(wèn)題與偽問(wèn)題之分.教材是教學(xué)的基礎(chǔ)，它好比劇本，課堂好比電影或電視劇，教師既是導(dǎo)演也是演員，沒(méi)有好的劇本，再好的導(dǎo)演也拍不出好看的作品，除非他在拍攝過(guò)程中重寫劇情，但有多少導(dǎo)演能同時(shí)身兼劇作與導(dǎo)演二職？從研究者參考的幾種不同版本的教材可以看出，教材可以改進(jìn)之處甚多.

有一句名言說(shuō)：“要給學(xué)生一碗水，教師需要有一桶水.”研究者對(duì)此不以為然.師生之間不是一桶水與一碗水的關(guān)系，如果一定要用水桶來(lái)比喻的話，那教師的這個(gè)桶應(yīng)該有一個(gè)泉眼，可以不斷向桶里進(jìn)水，而且還得告訴學(xué)生如何去找這個(gè)泉眼甚至更多的泉眼.換言之，教師需要不斷學(xué)習(xí)、不斷提高、教學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

有些人認(rèn)為，刷題得高分是硬道理，在研究者看來(lái)高分與素養(yǎng)并非一對(duì)矛盾，如果片面的為了高分而忽視了基本概念與原理的教學(xué)，最終培養(yǎng)出來(lái)的必然是會(huì)考試而不會(huì)應(yīng)用的“高分低能”生.通過(guò)研究團(tuán)隊(duì)反復(fù)的探討與實(shí)踐，深切地意識(shí)到，完全可以通過(guò)概念課與原理課兩個(gè)教學(xué)模塊強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)（參見文[2]）.很多教師習(xí)慣于蜻蜓點(diǎn)水般將概念一帶而過(guò)，原理課則采用多角度、高難度的方式強(qiáng)化證明訓(xùn)練，研究者認(rèn)為有失偏頗.原理課的重點(diǎn)有兩個(gè)，一是怎樣發(fā)現(xiàn)原理，二是如何通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)證明的思路，證明越簡(jiǎn)單越直接越好，完全沒(méi)有必要把原理當(dāng)成一般的題目來(lái)訓(xùn)練，即所謂的變式教學(xué)，那是舍本求末的做法.原理課的多角度證明與解題訓(xùn)練可以留到解題課完成.但是，這對(duì)教師提出了比較高的要求，教師既要對(duì)課程有宏觀上的把握，又要對(duì)每節(jié)課有微觀上的把握.所謂宏觀即對(duì)于一門課程的整體把握，這就好比你選擇某個(gè)課題，需要先清楚為什么選擇這個(gè)課題，為了解決什么樣的問(wèn)題.任何一個(gè)學(xué)科都不是空中樓閣，都有其產(chǎn)生與發(fā)展的背景.所謂微觀是指對(duì)某門課程中具體概念、定理的把握.張奠宙、張蔭南先生在文[3]、文[4]中針對(duì)微積分教學(xué)首先提出了問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)的觀點(diǎn)，之后陸續(xù)有一些研究（參見文[5～8]）.其實(shí)，任何數(shù)學(xué)課程都應(yīng)該圍繞著問(wèn)題進(jìn)行，換言之，由問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué).縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，任何數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生都是為了解決某些問(wèn)題，恰恰是在對(duì)問(wèn)題的分析與解決中閃現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想的光芒.很難想象，離開了問(wèn)題可以談數(shù)學(xué)思想.

教育的成敗在教師，大家一直強(qiáng)調(diào)教師要有一顆愛(ài)心，要有認(rèn)真負(fù)責(zé)的精神，要愛(ài)崗敬業(yè)，要熟練掌握本門課程的內(nèi)容，還要懂得教育學(xué)、心理學(xué)與教學(xué)法，僅僅具備這些條件尚不足以成為一個(gè)合格教師，文[9]談到了數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具備的基本素質(zhì).研究者認(rèn)為，一個(gè)合格的數(shù)學(xué)教師還應(yīng)該熟悉數(shù)學(xué)史，如果教師對(duì)一門課程的歷史一知半解甚至一無(wú)所知，很難想象，他能講清楚這門課程.M·克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》[10～13]是值得每個(gè)數(shù)學(xué)教師認(rèn)真研讀的數(shù)學(xué)史書，中學(xué)教師至少應(yīng)該通讀其中的第一與第二冊(cè)和其它兩冊(cè)中與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容有關(guān)的部分.如果你不了解歷史，你又如何向?qū)W生講清楚一個(gè)概念是如何產(chǎn)生的？關(guān)于這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)有不少文章談及（參見文[14～18]）教師還應(yīng)該做點(diǎn)教學(xué)研究，努力探討一個(gè)原理是如何產(chǎn)生的？它的科學(xué)價(jià)值何在？它為了解決什么問(wèn)題？可以解決什么問(wèn)題？原理中閃現(xiàn)出何種思想的光芒？如何尋找原理的證明？教師如果沒(méi)有花一番苦功深入鉆研，是無(wú)法通過(guò)合情推理完成課堂教學(xué)的，只能依樣畫葫蘆停留在照本宣科的層面上，可喜的是現(xiàn)在大家已經(jīng)關(guān)注到這個(gè)問(wèn)題（參見文[19～22]）.

長(zhǎng)期的合作研討也讓研究者及其研究團(tuán)隊(duì)意識(shí)到，教育問(wèn)題要從源頭抓起，一是對(duì)師范教育做更深入細(xì)致的改革，而不是停留在傳統(tǒng)的教材教法層面上（參見文[23～26]）.二是對(duì)骨干教師培訓(xùn)進(jìn)行改革，可以針對(duì)具體的內(nèi)容共同探討，而不是僅僅停留在理論輔導(dǎo)層面上.長(zhǎng)期堅(jiān)持下去，中國(guó)的基礎(chǔ)教育或許能得到更好的改善.

[1]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]何勇，曹廣福.數(shù)學(xué)課堂如何兼顧學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與應(yīng)試能力[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（2）：60-62.

[3]張奠宙，張蔭南.新概念：用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2004，7（3）：8-10.

[4]張奠宙，張蔭南.新概念：用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)（續(xù)）[J].高等數(shù)學(xué)研究，2004，7（5）：8-11.

[5]徐文斌，楊玉棟.“本原性問(wèn)題”及其在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（3）：14-16.

[6]楊玉棟，徐文斌.初議“本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)”[J].中學(xué)教研，2006，（5）：1-2.

[7]楊玉棟，徐文斌.本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)：理念、實(shí)踐與反思[J].教育發(fā)展研究，2009，（20）：68-72.

[8]上海市控江中學(xué)課題組.本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2009，（6）：4-9.

[9]曹廣福.關(guān)于數(shù)學(xué)教育的一些認(rèn)識(shí)——談?wù)剶?shù)學(xué)教師素質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，13（1）：6-9.

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[12]M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第三冊(cè)）[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1985.

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[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Reflection of Heterogeneous Forms for the Same Subject between University Teachers and Middle School Teachers

ZHANG Shu-qing1,2, CAO Guang-fu1
(1. Mathematics and Information Science College, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;
2. Zhixing High School, Guangdong Guangzhou 510095, China)

This paper mainly introduces and summarizes the middle school teachers and university teacher about basic inequality different design of teaching contents, compare the similarities and differences, and put forward the principle of found is the focus of the course teaching principle, in other words, found proof principle and thinking is more important than proof principle, principle of multiple variants can be reserved for recitation process after class. Let student comprehension to the principle of nature and to realize its scientific value of mathematical thinking is the true mathematical education. based on “heterogeneous forms for the same subject” between university teachers and middle school teachers, we analysis the different education idea between university teachers and middle school teachers, and then reflect some problems in the middle school mathematics education.

heterogeneous forms for the same subject; basic inequality; education idea; education method

G421

A

1004–9894（2015）06–0040–04