顧非石，顧泠沅

（1．華東師范大學(xué)　數(shù)學(xué)系，上海　200241；2．上海市教育科學(xué)研究院，上?！?00032）

數(shù)據(jù)·課例·建議
——淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教研指導(dǎo)工作

顧非石1，顧泠沅2

（1．華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海200241；2．上海市教育科學(xué)研究院，上海200032）

環(huán)繞當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教研工作的需要，運(yùn)用數(shù)據(jù)兼敘事的方法，就若干教學(xué)案例開展實(shí)證研究，結(jié)果表明：明白學(xué)科的內(nèi)在邏輯，突出重要的概念類型，遵循合理的認(rèn)知順序和提供攀登式的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，是改進(jìn)教研工作不容忽視的4個(gè)重要方面.教學(xué)建議：充分重視數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)理論知識(shí)的融合，以此推動(dòng)整個(gè)數(shù)學(xué)教研，可使當(dāng)前的改革具備更堅(jiān)實(shí)更可信的基礎(chǔ)；堅(jiān)守先設(shè)計(jì)再改進(jìn)的循環(huán)、前分析后評(píng)估的往復(fù)，才能使數(shù)學(xué)教研成為可操作的專業(yè)實(shí)踐過程；基于分析的設(shè)計(jì)和基于證據(jù)的改進(jìn)，可以作為當(dāng)前改進(jìn)教研工作的兩個(gè)重要的突破口.

邏輯主干；內(nèi)容要點(diǎn)；漸進(jìn)順序；學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)；實(shí)踐性知識(shí)

1　數(shù)據(jù)的啟迪

今天，小學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容結(jié)構(gòu)如何合理安排？哪些概念類型對(duì)日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就產(chǎn)生重要影響？哪種學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力有關(guān)鍵意義？這些問題，長期以來引起了教研人員和廣大教師的熱議，而多年的改革試驗(yàn)正在用事理與數(shù)據(jù)的方式使這一類討論引向深入.

1.1從隱喻與數(shù)據(jù)談起

這里有兩幅隱喻圖（圖1）.左邊是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展自然演進(jìn)的樹狀圖，圖中把小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的主干描述為數(shù)的概念（自然數(shù)、分?jǐn)?shù)），數(shù)和運(yùn)算（四則運(yùn)算及應(yīng)用），數(shù)和圖形（直觀、數(shù)形關(guān)系及推理）.這樣的結(jié)構(gòu)突出知識(shí)生長點(diǎn)和認(rèn)知邏輯，要點(diǎn)明顯，易于掌握全貌；與兒童生活的聯(lián)系和實(shí)際應(yīng)用則作為基礎(chǔ)背景去處理.當(dāng)然，處理不當(dāng)易被誤解為“脫離”，這是這種結(jié)構(gòu)的嚴(yán)重問題.右邊是個(gè)灌木叢，根據(jù)美國2000NCTM《中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的原則與課程標(biāo)準(zhǔn)》繪制，前后共有兩排，前排是代數(shù)、幾何、度量衡、數(shù)與運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析和概率的知識(shí)分塊，后排是聯(lián)系、推理證明、表述、交流、解決問題的認(rèn)知方法，然后將它們按螺旋式交替安排，知識(shí)早期分塊，并突出了分類型的能力要求，是這種結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新特色.但中國教師在試驗(yàn)中發(fā)覺，熟一塊換一塊，斷斷續(xù)續(xù)會(huì)造成不斷“燒夾生飯”.馬立平基于美國小學(xué)的實(shí)踐對(duì)此提出批評(píng)，認(rèn)為這樣的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，學(xué)科結(jié)構(gòu)瓦解，定義體系渙散，覆轍猶在，這不能不引起教育工作者的擔(dān)憂和警惕.她據(jù)此認(rèn)定，數(shù)學(xué)概念體系、內(nèi)在結(jié)構(gòu)與基本原理的掌握，直接關(guān)乎小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成敗得失.

圖1　一棵大樹還是灌木叢

21世紀(jì)初，美國心理學(xué)家西格爾（R. S. Siegler）根據(jù)小學(xué)生數(shù)學(xué)概念類型，以及學(xué)生長期學(xué)習(xí)的發(fā)展過程（包括若干數(shù)學(xué)技能、能力，還有人口統(tǒng)計(jì)學(xué)特性等12個(gè)變量），在英國選取3 677名學(xué)生（其中599名有動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)），分析五、六年后學(xué)生高中代數(shù)發(fā)展?fàn)顩r，結(jié)果如圖2所示.由圖可見，對(duì)加、減、乘、除四則運(yùn)算意義的理解和運(yùn)用，與高中代數(shù)成績的相關(guān)十分顯著，而且隨著四則的順序不斷遞增其相關(guān)度；另外，一個(gè)是除法、另一個(gè)是分?jǐn)?shù)概念，對(duì)以后代數(shù)學(xué)習(xí)成就有特別重要的影響.該項(xiàng)研究發(fā)表于2012年7月美國的《心理科學(xué)》雜志，據(jù)說對(duì)英國小學(xué)的數(shù)學(xué)課程改革產(chǎn)生了重要影響.當(dāng)年8月他來滬與作者交流，深感明白數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在邏輯、深度理解核心概念的重要作用.

圖2　除法和分?jǐn)?shù)等概念與高中代數(shù)發(fā)展?fàn)顩r的回歸分析

此外，2013年12月公布的國際PISA測(cè)試以數(shù)學(xué)為主，測(cè)試成績最高的國家和地區(qū)依次為中國上海、新加坡、中國香港、中國臺(tái)北、韓國、中國澳門、日本、荷蘭、芬蘭、加拿大等.關(guān)于測(cè)試數(shù)據(jù)的一項(xiàng)“學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)”分析值得注意，那就是各國（地區(qū)）學(xué)生接觸“正式數(shù)學(xué)”（主要指概念、法則、定理演繹體系的數(shù)學(xué)）和接觸“應(yīng)用數(shù)學(xué)”的頻率分布，如圖3所示.由圖可知：測(cè)試成績最高的10個(gè)國家（地區(qū)）有9個(gè)都屬于高正式數(shù)學(xué)的兩個(gè)象限，足見接觸數(shù)學(xué)邏輯體系與基本原理的重要意義，其中東亞的6個(gè)國家（地區(qū)）集中在高正式、低應(yīng)用的象限（歐洲的芬蘭也是），這更是一種文化特點(diǎn).新加坡和加拿大處于高正式、高應(yīng)用象限，幾個(gè)發(fā)達(dá)國家如俄羅斯、美國等也處于雙高象限；測(cè)試成績排位較前，但處于高應(yīng)用的國家，如荷蘭、德國、澳大利亞、新西蘭、法國等，這些國家的經(jīng)驗(yàn)也很值得研究與借鑒.由此可推測(cè)，數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)堅(jiān)守應(yīng)用、論理和心理3大原理的平衡，重視應(yīng)用并非處處充斥實(shí)用材料，運(yùn)算和推理仍是最基本的思想方法，而所有的論理與應(yīng)用都必須站在兒童學(xué)數(shù)學(xué)的立場(chǎng)之上.

圖3　各國（地區(qū)）學(xué)生學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)的頻率分布圖

1.2教研指導(dǎo)的實(shí)證分析

受到上述問題的啟發(fā)，研究者從微觀的教學(xué)工作入手，開展典型課例的實(shí)證研究.自2011年開始，中、日、美3國聯(lián)合，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)者的實(shí)踐與理論作深化研究.采用的方法主要有教研指導(dǎo)錄像與課堂錄像的數(shù)據(jù)編碼分析，兼以精致化的敘事研究技術(shù).這里的教研指導(dǎo)錄像分析，主要集中在指導(dǎo)內(nèi)容與指導(dǎo)方式兩部分.

初步研究表明，中國的教研指導(dǎo)不停留于空談知識(shí)與理論，而是集中于數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐性知識(shí)（技能），即前端分析、任務(wù)設(shè)計(jì)、過程測(cè)評(píng)、行為改進(jìn)4個(gè)方面，非常務(wù)實(shí)，且有明顯的工作優(yōu)勢(shì).教研指導(dǎo)者有豐富的課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，因此他們的指導(dǎo)以估計(jì)問題然后講評(píng)和一般講評(píng)為主.當(dāng)然，不足之處也很顯然.比如前端分析與過程測(cè)評(píng)相對(duì)薄弱，未能將其用于設(shè)計(jì)與改進(jìn)；指導(dǎo)過程中生成性問題應(yīng)對(duì)不足，偏于強(qiáng)勢(shì)、平等討論少.下面，選擇該項(xiàng)研究中的4個(gè)課例，以例說理，簡(jiǎn)述如后.

2　用課例說事

2.1明白學(xué)科的內(nèi)在邏輯（以“退位減法”為例）

兩位數(shù)退位減法一課，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中受到廣泛關(guān)注，且是教研指導(dǎo)工作的一個(gè)典型范例.在研究時(shí)，選取新手和專家兩類教師分別任教.指導(dǎo)者則本著更新教學(xué)理念的出發(fā)點(diǎn)，從情境設(shè)計(jì)、學(xué)具使用、估算與算法多樣化等方面介入指導(dǎo).預(yù)研究經(jīng)過兩次指導(dǎo)、兩次改進(jìn)，但出乎意料的是，結(jié)果并不令人滿意.當(dāng)堂實(shí)錄顯示，課堂的散亂、浮鬧時(shí)有所見，安靜的思考機(jī)會(huì)偏少.授課前與授課后的測(cè)查統(tǒng)計(jì)呈現(xiàn)表1所述的情況.其中，課前已有84%的學(xué)生會(huì)用豎式計(jì)算，他們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)中（如不退位減法等）已完成了從學(xué)具、圈劃、數(shù)數(shù)等具體擺弄到形式化抽象的重要一步，問題僅在“20以內(nèi)減法出錯(cuò)”、“十位上沒有退一以后再減”，而課后在這些問題上有所改善的學(xué)生僅占三成左右.執(zhí)教老師覺得，要靠較多課后的作業(yè)去補(bǔ)救，足見實(shí)效并不明顯.問題出在哪里？經(jīng)教師和指導(dǎo)者的進(jìn)一步分析，他們認(rèn)為：

（1）這節(jié)課在減法情境的“漂亮”上花了不少功夫，如小動(dòng)物、卡通圖，等等，但在促進(jìn)兒童理解上考慮甚少.

（2）學(xué)具操作意在利于抽象為豎式運(yùn)算，在大多數(shù)學(xué)生已會(huì)列豎式的情況下，是否還要回到圈劃、小棒擺弄？繁復(fù)又費(fèi)時(shí)，反而淹沒了本課的主要問題.在這里，重溫一下兩位數(shù)計(jì)算器可能是個(gè)合適的選擇，比如用“懸珠”引出“退位點(diǎn)”.

（3）估算是一種重要的“毛估性思維”，但要分清它是計(jì)算課的教學(xué)環(huán)節(jié)還是一種意識(shí)？兩位數(shù)退位減法是否也先要估算？

（4）算法多樣化在何時(shí)何處出現(xiàn)為佳？此處過多糾纏是否會(huì)淡化“退1為10”的基本算理？課上有學(xué)生說12-8=4可以這樣算：2減8不夠可以倒過來8-2得6，但答案是4，再把6對(duì)應(yīng)為4，這實(shí)際上助長了死記硬套.總起來說，這樣的課，形式的理念似乎多了點(diǎn)，為學(xué)生理解而教的辦法似乎少了些.

表1　課堂前后測(cè)學(xué)生情況統(tǒng)計(jì)表（%）

看來，如何依據(jù)課前的扎實(shí)分析（前端分析）有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)任務(wù)，如何通過施教過程中的測(cè)評(píng)即時(shí)改進(jìn)教學(xué)行為，業(yè)已成為指導(dǎo)工作有待突破的要害所在.加涅（R. M. Gagne）等人所著《教學(xué)設(shè)計(jì)原理》一書就非常重視退位減法的教學(xué)設(shè)計(jì).他們所作的前端分析有如下幾種.例如層級(jí)分析（如圖4），從簡(jiǎn)單減法到任何整數(shù)的減法，共分為11個(gè)層級(jí)，從算理上說一步一步十分細(xì)膩，每個(gè)細(xì)節(jié)都注意到了，但每一個(gè)層級(jí)自有不同的難易度，關(guān)系又偏復(fù)雜，貫穿怎樣的邏輯主干，不甚明白，當(dāng)然較難記住.又如減法運(yùn)算流程分析（如圖5）.該項(xiàng)分析突出了個(gè)位上的借位與十位上的退1后再減，已將兩位數(shù)減法運(yùn)算作了信息加工的機(jī)械處理，但卻隱去了“退1為10”的算理理解，同樣不利于學(xué)生的學(xué)習(xí)，因?yàn)閷?duì)學(xué)生的教學(xué)不應(yīng)等同于給機(jī)器輸入一種預(yù)定的程序.在這里，專家教師卻采用了強(qiáng)調(diào)算理理解“不掉鏈子”的主干分析，把技能層級(jí)與認(rèn)知邏輯融合在一起，見圖6.他們指出，兩位數(shù)退位減法的教學(xué)應(yīng)當(dāng)站在兩個(gè)基礎(chǔ)上：一是掌握不退位的兩位數(shù)減法，數(shù)位對(duì)齊，逐位相減；二是20以內(nèi)退位減法，不僅理解其意義并且能自動(dòng)化運(yùn)算.然后進(jìn)入第二個(gè)臺(tái)階，就是兩位數(shù)退位減法的規(guī)范運(yùn)算，突出“個(gè)位上的借位相減”與“十位上退1后再減”.這里的基本算理是退1為10.第三個(gè)臺(tái)階是在加深理解此一原理的前提下倡導(dǎo)學(xué)生靈活與探索.在教過兩位數(shù)退位減法一課之后，用未教過的如100-47等隔位退位或靈活組合的試題作測(cè)查，專家教師突出主干的班正確率達(dá)70%，未采用這一設(shè)計(jì)的班正確率僅47%，可見算理理解的重要作用.

圖4　減法教學(xué)的層級(jí)分析

圖5　減法運(yùn)算的流程分析圖

圖6　減法教學(xué)的主干分析圖

2.2突出重要的概念類型（以“分?jǐn)?shù)的單位”為例）

對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來說，直觀、形象、管用是與學(xué)習(xí)興趣連在一起的，這毋庸置疑.但任何直觀都有缺陷，它無法代替數(shù)學(xué)意義的理解.有一節(jié)課，內(nèi)容是同分母分?jǐn)?shù)的加法.課上出示了如下的一幅“餅圖”（圖7），用以說明加的運(yùn)算道理.結(jié)果當(dāng)然是，但也有學(xué)生說結(jié)果是，因?yàn)榈忍?hào)左邊的餅明明分為10塊，兩人共吃了其中的6塊.錯(cuò)在哪里呢？老師說，分?jǐn)?shù)是部分，整體應(yīng)該是1個(gè)餅，這樣的理由學(xué)生聽不懂.老師又說，如果答案是，那就是，怎么比還小了呢？學(xué)生更糊涂了.仔細(xì)查閱了那位老師所用的新編教材，發(fā)覺教材采用“分餅”引進(jìn)分?jǐn)?shù)的意義，卻并未突出分?jǐn)?shù)概念的一個(gè)重點(diǎn)——分?jǐn)?shù)的單位.其實(shí)在上例中，單位是和同單位所以可以相加，結(jié)果的單位保持不變，還是，“4個(gè)加上2個(gè)，一共是6個(gè)”，也就是.查清了原因，研究者認(rèn)為，盡管對(duì)分?jǐn)?shù)的理解，可以是m除以n的商，也可以是m與n之比，但對(duì)小學(xué)生來說，理解這一概念類型的重要之點(diǎn)應(yīng)為m個(gè)度量單位為的數(shù).基于這樣的認(rèn)識(shí)，以分?jǐn)?shù)的單位為重點(diǎn)，適當(dāng)調(diào)整了分?jǐn)?shù)部分的教材：先直觀后用m個(gè)引入分?jǐn)?shù)的概念，學(xué)生容易接受；用同單位才能比較的道理，導(dǎo)出同分母分?jǐn)?shù)的大小比較；接著很自然地得出單位放大、縮小的分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)和通分、約分的技能；由此到了分?jǐn)?shù)的運(yùn)算規(guī)則就變得簡(jiǎn)易明了.其實(shí)，幼兒園的孩子都會(huì)說，3頭牛加5匹馬等于8個(gè)動(dòng)物，他們已經(jīng)有了同單位才能相加的認(rèn)識(shí).美國的學(xué)校，由于未講清分?jǐn)?shù)的單位，小學(xué)生常有這樣的疑問“，怎么會(huì)越除越大了？”后來老師解釋這除法的意義是4中間有幾個(gè)，學(xué)生終于明白.試驗(yàn)表明，突出此一概念的要點(diǎn)，組織好相關(guān)概念之間的關(guān)系，教學(xué)效果便事半功倍，反之則負(fù)擔(dān)沉重，不得要領(lǐng).至于試驗(yàn)的效果數(shù)據(jù)與錄像分析，因與前一節(jié)的方法相同，限于篇幅，這里就不再重復(fù)了.

圖7　餅圖

2.3遵循合理的認(rèn)知順序（以“周長與面積”為例）

先簡(jiǎn)單后復(fù)雜、先容易后繁難，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的常識(shí)性做法.至于改革，原先不合理的可以顛覆，原來合情合理的卻不可以“倒個(gè)”.例如，小學(xué)生通常都是先學(xué)周長再學(xué)面積，某省市正好來了個(gè)“倒個(gè)”，三年級(jí)上學(xué)期第四章學(xué)面積，三年級(jí)下學(xué)期第五章學(xué)周長.先學(xué)面積的理由據(jù)說有兩條：一是兒童往往先看到整體（長方體），再摸到面（長方形），之后才是線.二是長方形面積公式是“長×寬”，而周長公式“(長×寬)×2”，更復(fù)雜.這樣的理由站得住嗎？為此做了兩種順序的對(duì)比試驗(yàn).試驗(yàn)“先學(xué)面積”遇到的問題是：新教師教得費(fèi)時(shí)費(fèi)力，學(xué)生只是記住了長方形、正方形的面積或周長的計(jì)算公式，周長、面積概念混淆；有經(jīng)驗(yàn)教師試教，即便在技能上有所改進(jìn)，但學(xué)習(xí)實(shí)效仍不明顯.順過來，先學(xué)周長再學(xué)面積：在學(xué)習(xí)加法時(shí)，結(jié)合長方形、正方形的周長概念——四周一圈的長度，它是“一段一段加起來的”（加法法則），單位是厘米，師生合作計(jì)算，注重概念、運(yùn)算法則和度量單位3個(gè)要素.然后到學(xué)習(xí)乘法時(shí)，再出長方形、正方形的面積概念——整個(gè)塊面的大小，它是“一格一格數(shù)出來的”，總共幾個(gè)格可用幾行幾列相乘得到（乘法法則），單位是平方厘米，1平方厘米大約有“一片指甲那么大”，老師指導(dǎo)學(xué)生用學(xué)周長3個(gè)要素的方法自行學(xué)習(xí)面積這一新內(nèi)容，將乘法運(yùn)算與面積概念結(jié)合起來，既解決數(shù)形分章導(dǎo)致的兩者割裂，又將學(xué)周長的要素遷移到學(xué)面積的過程中來，這樣的改進(jìn)頗有實(shí)效.據(jù)此作了一次不對(duì)等的數(shù)據(jù)比較，讓僅有兩年教齡的新教師按“先學(xué)周長”的順序教，讓17年教齡的有經(jīng)驗(yàn)教師按“先學(xué)面積”的教材教，各自都上了不斷改進(jìn)的3次課，結(jié)果有經(jīng)驗(yàn)老師的課反而效果不理想.選取組合圖形周長、面積計(jì)算的正確率和綜合運(yùn)用單位出借人數(shù)百分比3組數(shù)據(jù)作比較，結(jié)果如圖8、9、10所示.由圖可知，到了第三次課，組合圖形周長計(jì)算正確率，先學(xué)周長的正確率接近100%，先學(xué)面積的至多近6成；組合圖形面積計(jì)算正確率，先學(xué)周長的至少有一成半（15.7%）全會(huì)，先學(xué)面積的幾乎都不會(huì)（0%）；至于周長與面積單位，概念混淆度，先學(xué)面積的明顯高于先學(xué)周長的安排.可見，兩種順序，對(duì)周長、面積概念的理解完全不一樣，即使是有經(jīng)驗(yàn)教師，也難免其中的概念混淆，這是很值得引起重視的.

再說周長與面積的關(guān)系，它是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)問題.很多教材都有以火柴棒為單位搭正方形和長方形的游戲，然后讓學(xué)生考察它們的周長和面積，并問你們“發(fā)現(xiàn)了什么”，這樣的問題對(duì)學(xué)生來說并不明確，雖可發(fā)散，但思考的指向不明.其實(shí)是要導(dǎo)向“周長相等，面積不一定相等”的結(jié)論.如果再進(jìn)一步，周長一定的長方形拉得越“扁”，面積變得越小，從而讓他們體驗(yàn)正方形的面積最大，這是一個(gè)較好的數(shù)學(xué)問題，到了中學(xué)還可引出這一問題的簡(jiǎn)要證明：設(shè)長方形長為a+x、寬為a-x，它的周長是l=4a（定長），面積是當(dāng)x=0時(shí)，面積最大，此時(shí)就是每邊為a的正方形.教材還有用火柴棒搭組合圖形的游戲，學(xué)生操作時(shí)會(huì)顯得雜亂、費(fèi)時(shí)，教師常改用畫格子圖的方法讓學(xué)生從中探索周長與面積的關(guān)系（如圖11）.其實(shí)無非是要說明：凹進(jìn)去的圖形，周長不變甚至增加，面積卻會(huì)變小.有老師要學(xué)生“探索”凹在角上有什么規(guī)律？凹在邊上有什么規(guī)律？再凹進(jìn)去怎么樣？這也許就不是一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題，節(jié)外生枝鉆牛角尖，學(xué)生反而犯糊涂.這樣的“深挖洞”究竟有多大的思維價(jià)值？

圖8　組合圖形周長計(jì)算正確率統(tǒng)計(jì)

圖9　組合圖形面積計(jì)算正確率統(tǒng)計(jì)

圖10　綜合運(yùn)用周長和面積單位出錯(cuò)率統(tǒng)計(jì)

圖11　“探索”周長與面積的關(guān)系

怎樣設(shè)計(jì)好的數(shù)學(xué)問題，是對(duì)專業(yè)知識(shí)的一種挑戰(zhàn).這里不妨讓教師了解一點(diǎn)“等周問題”.先是等周長的四邊形正方形面積最大，然后等周長的多邊形正多邊形面積最大，最終是個(gè)著名的數(shù)學(xué)問題：平面上等周長的封閉曲線中，圓圍成的面積最大.這可以用有趣的肥皂膜上的實(shí)驗(yàn)來演示.近世幾何學(xué)家施泰納有一種證明，共分3步：

（1）等周長面積最大的圖形一定是凸的.如果是凹的，如圖，一定可把翻成，此時(shí)周長不變，但面積比前者更大，出現(xiàn)矛盾.

（2）平分該圖形周長的弦一定平分它的面積.如果AC不平分該圖形ABCD的面積，上半部分大下半部分小，可把翻成，此時(shí)周長不變，但圖形ABCB’面積更大，出現(xiàn)矛盾.

（3）該圖形一定是圓.因?yàn)槠椒?，可只研究該圖形的一半，P為上任一點(diǎn)，如圖12，Ⅰ、Ⅱ兩塊圖形不變，第Ⅲ塊是三角形，只有當(dāng)∠P為直角時(shí)面積最大，因此P在半圓弧上.這個(gè)定理在數(shù)學(xué)史上占有重要地位，它對(duì)變分法的產(chǎn)生和發(fā)展起了重大作用.各種各樣的等周問題，不但有趣、而且管用，人們稱為是一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題.1984年蘇步青先生在上?？茖W(xué)會(huì)堂為中學(xué)數(shù)學(xué)教師辦講習(xí)班，蘇老專著《微分幾何五講》，第一講都是圓的等周問題，他是用高等數(shù)學(xué)方法證明的.

圖12　圓圍成的面積最大

2.4提供攀登式的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)（以“有余數(shù)的除法”為例）

這是一個(gè)根據(jù)測(cè)評(píng)反思然后改進(jìn)教學(xué)行為的生動(dòng)范例.早在1996年，弗賴登塔爾研究所的達(dá)朗其（Jan de Lange）在ICME-8的大會(huì)報(bào)告中介紹了荷蘭的一堂課：81名家長出席學(xué)校家長會(huì)，每張桌子可坐6人，需要布置多少張桌子？一類學(xué)生具體地?cái)[桌子；第二類學(xué)生經(jīng)歷了具體擺到抽象為算式運(yùn)算的過程；第三類學(xué)生只是套用現(xiàn)存的算式去做.他認(rèn)為，三類學(xué)生中只有第二類才真正體驗(yàn)到了“數(shù)學(xué)化”的含義.原先中國某校一位老師的課，第一個(gè)環(huán)節(jié)是復(fù)習(xí)，要學(xué)生區(qū)分除法有兩種，一種是等分除法，還有一種是包含除法，例如前面達(dá)朗其的問題，81中包含幾個(gè)6，屬于包含除法.第二個(gè)環(huán)節(jié)是程式化的訓(xùn)練，如3×()＜7，()里最大能填幾，為試商作鋪墊.第三個(gè)環(huán)節(jié)才進(jìn)入有余數(shù)的除法，學(xué)生并不清楚前兩個(gè)環(huán)節(jié)的用意是什么？跟著走，一頭霧水.到第三環(huán)節(jié)才點(diǎn)出今天這堂課的主題，單就計(jì)算（包括余數(shù)概念和試商技能）而言學(xué)生不覺得很難.第四個(gè)環(huán)節(jié)要跳一跳”，引導(dǎo)學(xué)生“攀登”，即自行尋找余數(shù)與除數(shù)之間有什么規(guī)律？學(xué)生都說不知道.老師具體列出

再問學(xué)生可以看出什么規(guī)律？學(xué)生還是不知道.老師說，余數(shù)分別是1、2、3、4，除數(shù)是5，它們之間有什么關(guān)系？學(xué)生說1+4=5、2+3=5，還是不著邊際.此時(shí)下課鈴響了，老師只好這樣問，1、2、3、4比5大還是??？學(xué)生恍然大悟齊聲說：1、2、3、4比5小.老師接著小結(jié)：我們通過師生共同探索，余數(shù)一定小于除數(shù).課后組織研討，大家一致認(rèn)為，在這堂課上學(xué)生沒有真正體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的過程，這是假的攀登式學(xué)習(xí).其中一位農(nóng)村教師說，在我們鄉(xiāng)下教除法，用的是一句話：“除法就是分豆子”.教師們由此得到啟發(fā)，試驗(yàn)了如圖13所示的改進(jìn)方法：7顆豆平均分放3個(gè)盤子.這樣一改，課上得順暢了，一邊是從實(shí)物到算式的形式化，另一邊是從算式到實(shí)物尋找意義，真的體驗(yàn)了數(shù)學(xué)化的全過程.

圖13　“除法就是分豆子”

可是，這樣的試驗(yàn)還碰到了問題：學(xué)生只會(huì)動(dòng)手做，除法要拿豆子來.雖然熱熱鬧鬧，卻陷入了教學(xué)的淺薄.老師們針對(duì)該問題作了進(jìn)一步的改進(jìn)，分了幾次豆子之后，要學(xué)生“放掉豆子和盤子，然后在腦中分豆子，這一改進(jìn)很見效，學(xué)生學(xué)會(huì)了動(dòng)腦想，看似靜悄悄，卻能拒絕思維的貧乏.到了需要“攀登”的環(huán)節(jié)，老師還是問：余數(shù)與除數(shù)有什么規(guī)律？以前是都說不知道，這次不少學(xué)生都說：余數(shù)要小于除數(shù).老師問為什么？學(xué)生則說：余數(shù)是余下的豆子數(shù)，除數(shù)是盤子數(shù)，如果余下的豆子數(shù)比盤子數(shù)大，那每個(gè)盤子至少還可以放一顆.由此足見，安排適合兒童的認(rèn)知情境和學(xué)習(xí)臺(tái)階，由此組織學(xué)生的探索和攀登，潛力無窮，這正是近年來中國教師的實(shí)踐創(chuàng)造.

為了對(duì)這類創(chuàng)造性改進(jìn)作量化的分析，研究者曾采用弗蘭德師生語言互動(dòng)作時(shí)間考量，以探討“余數(shù)小于除數(shù)”的環(huán)節(jié)為例，數(shù)據(jù)如表2.制成統(tǒng)計(jì)圖見圖14.由圖可見，改進(jìn)后與改進(jìn)前相比較：（1）課堂靜止或不理解的時(shí)間、教師指示或命令、批評(píng)或辯護(hù)權(quán)威行為，在改進(jìn)課中下降為零；教師演講、學(xué)生按老師要求表述，明顯減少.（2）教師的提問、學(xué)生主動(dòng)表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)的語言在改進(jìn)課中明顯增加；教師接納學(xué)生感覺的語言也有上升.這就清楚顯示了教學(xué)的理念與行為正在發(fā)生有益的改變.

圖14　改進(jìn)前后師生語言互動(dòng)狀況統(tǒng)計(jì)圖

3　結(jié)語與建議

前文用了4個(gè)課例，作散點(diǎn)式的典型考察，其意義不在具體內(nèi)容，而在4類普遍性問題的深化討論，那就是在小學(xué)數(shù)學(xué)的教改中，盡可能遵循數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯，突出原理和概念類型的重點(diǎn)，循序漸進(jìn)地安排認(rèn)知順序，將會(huì)在很大程度上提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效能.而且，學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)造性思維無法單獨(dú)授受，植根于好的數(shù)學(xué)情境和實(shí)施臺(tái)階式的攀登學(xué)習(xí)，才有望獲得提升.這是回歸樸素的教學(xué)改革的基本道理，所謂“素者不飾”，樸素的東西絕不靠外觀裝點(diǎn)得來，應(yīng)是一種內(nèi)涵的深化.值得一提的是，這正體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)，尤其是改革開放以來我國數(shù)學(xué)教改的新創(chuàng)造.由此看來，新中國數(shù)學(xué)教育工作者半個(gè)多世紀(jì)以來不斷變革的教學(xué)研究與完整的指導(dǎo)系統(tǒng)堪稱“國之瑰寶”，她堅(jiān)守的在工作實(shí)踐中歷練的正確思路值得進(jìn)一步的傳承與光大.

表2　師生語言互動(dòng)時(shí)間分布表

建議有下述3條.

（1）充分重視數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)理論知識(shí)的融合，以此推動(dòng)整個(gè)數(shù)學(xué)教研，可使當(dāng)前的改革具備更堅(jiān)實(shí)更可信的基礎(chǔ).

這本來是數(shù)學(xué)教研的題中應(yīng)有之義，似乎不必多說.可是，長期以來，前有純學(xué)科的結(jié)構(gòu)化偏向，丟掉了數(shù)學(xué)來源于生活，它有廣泛的實(shí)際應(yīng)用；忘記了兒童如何學(xué)數(shù)學(xué)有其獨(dú)特的認(rèn)知方式，成人化的材料和學(xué)法使數(shù)學(xué)變得艱澀難懂，無奈之下，數(shù)學(xué)教學(xué)淪落為死讀硬記、程式訓(xùn)練.之后，又出現(xiàn)了只講教育教學(xué)理念的“去數(shù)學(xué)化”改革傾向，例如逢課必談生活中的實(shí)用，把情境興趣僅作為一件漂亮的外衣，文中第一個(gè)課例中濫用“估算”與表面熱鬧的“算法多樣化”等，生硬套用各種理念，老師們有強(qiáng)烈反應(yīng)：是為形式理念而教，還是為理解掌握而教？看來，這里所說的兩類知識(shí)還處于割裂的狀態(tài)，課程教材有這樣的毛病，教學(xué)尤甚.到了教師的專業(yè)培訓(xùn)，兩方面的專家常各唱一調(diào)，講教學(xué)論的不牽入數(shù)學(xué)，講數(shù)學(xué)的忽視兒童認(rèn)知特點(diǎn).所以，這里建議特別提醒兩類知識(shí)的“融合”，它對(duì)數(shù)學(xué)教育工作者來說，是個(gè)特別重要的問題.

那是一類新的知識(shí)，早在1986年，美國的心理學(xué)家舒爾曼（L. Shulman）把它稱為學(xué)科教學(xué)法知識(shí)（PCK），引發(fā)了此后各種細(xì)化的分類研究和不同意見的爭(zhēng)論，但重要的卻是，他正確地指出，這種知識(shí)不是學(xué)科與教學(xué)論兩類知識(shí)的拼盤，而必須煉成一種“合金”.往后不少學(xué)者的研究指出，是否具備這種知識(shí)是專業(yè)教師與學(xué)科專家的分水嶺，它是所有各種教師專業(yè)知識(shí)的金字塔的塔頂.這里的研究則發(fā)現(xiàn)，盡管理論工作者正在對(duì)這種知識(shí)的分解與歸納做研究，使它形成一個(gè)可以“明言”的體系，而在廣大一線教師這一頭，已有大量可以“意會(huì)”的閃光碎片，它們常以真實(shí)的案例形態(tài)出現(xiàn).比如文中第一個(gè)課例中，曾提到的兩位數(shù)退位減法中，分11步走的層級(jí)分析很數(shù)學(xué)化，但并不切合于教學(xué)；減法流程的機(jī)械化分析，符合信息加工的認(rèn)知方式，但少了算理的理解.而一位專家教師把算理與認(rèn)知融合在一起，采用強(qiáng)調(diào)算理理解“不掉鏈子”的主干分析，在應(yīng)用中卻取得相當(dāng)?shù)某晒?這樣精彩的事例舉不勝舉，如能加以集中歸納，豈不是一樁有益的大事？

（2）堅(jiān)守先設(shè)計(jì)再改進(jìn)的循環(huán)、前分析后評(píng)估的往復(fù)，才能使數(shù)學(xué)教研成為可操作的專業(yè)實(shí)踐過程.

這看來又是一個(gè)需要回到常識(shí)的話題.前面說到數(shù)學(xué)教學(xué)的一類新的知識(shí)，其實(shí)是一種實(shí)踐性的知識(shí)，它無論對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)研究，還是實(shí)際指導(dǎo)，均為頭等重要.眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)專業(yè)領(lǐng)域.早在1996年，著名學(xué)者西蒙（H. Simon）就指出，專業(yè)與科學(xué)不同，科學(xué)的對(duì)象是自然物，專業(yè)的對(duì)象主要是人造物，比如建筑，又如教育，它們常常為了某個(gè)特定的目標(biāo)，通過不斷地設(shè)計(jì)與改進(jìn)去實(shí)現(xiàn)，為了建筑物的實(shí)用或美觀，設(shè)計(jì)、改進(jìn)循環(huán)往復(fù)沒有底.數(shù)學(xué)教學(xué)作為專業(yè)也是一樣，不斷地設(shè)計(jì)與改進(jìn)成了教師專業(yè)化的根本途徑.所謂前端分析是在學(xué)生現(xiàn)有基礎(chǔ)上確立數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與價(jià)值，過程評(píng)估重在考量目標(biāo)的達(dá)成度，有終結(jié)的、階段的也有即時(shí)的情況.明確了特定目標(biāo)，才有后面的任務(wù)設(shè)計(jì)與教學(xué)改進(jìn).文中第二個(gè)課例是單位分?jǐn)?shù)，從直觀解釋出現(xiàn)的問題，進(jìn)而分析分?jǐn)?shù)單位的價(jià)值意義，才有后來的新設(shè)計(jì)與教學(xué)改進(jìn).

從實(shí)際問題到學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo).這里以第四個(gè)課例為例談?wù)勂渲械脑O(shè)計(jì)與改進(jìn).有余數(shù)的除法用“分豆子”來引入，很直觀、容易理解什么是余數(shù)，試商是什么意思，而且一邊是“分豆子”的操作，另一邊是算式的運(yùn)算，正過去是數(shù)學(xué)抽象，反過來是尋找意義，比較好的體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)化”的一個(gè)過程.設(shè)計(jì)是好的，但在教學(xué)過程中碰到了問題：學(xué)生依賴于實(shí)物，不會(huì)動(dòng)腦想，于是試驗(yàn)了一種改進(jìn)：中間插入一個(gè)環(huán)節(jié)——“腦中分豆子”，幾次之后，很順利地進(jìn)入了有余數(shù)除法的算式運(yùn)算，而且學(xué)生還能得出“余數(shù)小于除數(shù)”的規(guī)律性認(rèn)識(shí).關(guān)于這個(gè)問題，指導(dǎo)者告訴老師，美國學(xué)者布魯納（J. S. Bruner）有個(gè)認(rèn)知三操作理論，學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)律總是循著“具象”操作到半具體、半抽象的“表象”操作，最后達(dá)到“抽象”操作的結(jié)果.老師則說，“原來如此，但過去學(xué)理論太高深我們不會(huì)用，結(jié)合例子我們才能理解.”可見，理論要化解為教學(xué)的情境知識(shí)，讓老師從課例中積累，這是一筆寶貴的財(cái)富，沿著這樣的路，教師的專業(yè)化方能成為可操作、可檢測(cè)的過程.

（3）基于分析的設(shè)計(jì)和基于證據(jù)的改進(jìn)，可以作為當(dāng)前改進(jìn)教研工作的兩個(gè)重要的突破口.

整個(gè)案例研究，研究者深切認(rèn)識(shí)到，一線教師與研究人員的親密合作實(shí)屬頭等重要.一線教師經(jīng)驗(yàn)豐富但缺少理性的觀照，研究人員理論深刻但缺乏對(duì)實(shí)情的細(xì)微了解.高水平的案例創(chuàng)造需要兩者的合作互補(bǔ).真正的合作并不容易，合作要有共同關(guān)注的課題作紐帶.多年的實(shí)踐表明，如下兩個(gè)方面是高水平案例制作較難破解的障礙.一是教學(xué)設(shè)計(jì)與改進(jìn)僅出于簡(jiǎn)單經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣做法，沒有鮮明的改革目標(biāo)指向和有特點(diǎn)的具體措施，許多課例大多同質(zhì)，甚至流于灌輸知識(shí)和機(jī)械訓(xùn)練的老路子，比如有余數(shù)除法中原先一位老師的課就是這樣.二是這種設(shè)計(jì)與改進(jìn)，沒有針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的新問題或偏離教學(xué)已定目標(biāo)的新現(xiàn)象，這樣的課例，即使有一定的變化，欠缺了為什么這樣改變的依據(jù).因此，設(shè)計(jì)源于科學(xué)分析、改進(jìn)基于過程測(cè)評(píng)，成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革兩個(gè)重要的突破口.

現(xiàn)以第三個(gè)課例即“周長與面積”為例.先教周長還是先教面積可以有多種不同的理由解釋，為此研究者作了兩種順序的教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅以過程實(shí)錄作描述性的記載，從中尋找各自的問題與優(yōu)勢(shì)，而且做了過程性測(cè)試和對(duì)比，以此兩條給出實(shí)證依據(jù).而且，還對(duì)加法與周長、乘法與面積作數(shù)形結(jié)合的思考，從教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的角度，先是講授為主讓學(xué)生學(xué)會(huì)周長運(yùn)算的3個(gè)要素，后是放手讓學(xué)生根據(jù)3個(gè)要素自行開展面積的學(xué)習(xí).這樣的設(shè)計(jì)與改進(jìn)，增強(qiáng)了改革目標(biāo)的導(dǎo)向性和現(xiàn)實(shí)問題的針對(duì)性，處處針對(duì)前分析做出有效設(shè)計(jì)，以實(shí)效評(píng)估為證據(jù)隨時(shí)改進(jìn)教學(xué).

說完了3點(diǎn)建議，就此再提一個(gè)問題：早在2005年，美國學(xué)者李希（R. Lesh）和斯里拉曼（B. Sriraman）等已從設(shè)計(jì)科學(xué)的角度，將數(shù)學(xué)教學(xué)比之于建筑事業(yè)，并說：建筑留下的不是理論，而是房子.那么數(shù)學(xué)教學(xué)改革給老師留下的該是什么？

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Data·Cases·Suggestions——Discussion on the Curriculum Revolution of Mathematics in Primary School

GU Fei-shi1, GU Ling-yuan2
(1. East China Normal University Mathematics Departments, Shanghai 200241, China;
2. Shanghai Academy of Educational Sciences, Shanghai 200032, China)

This article focuses on the requirement of teaching researches in elementary school. It used data analysis and narrative analysis to do empirical research in cases of teaching. The results shows that there are four significant important parts in teaching research which are the understanding of logical structure of the subject, highlighting the important concepts types, advancing gradually in cognition and providing challenges in study. The article suggests that the design based on analysis and improvements based on evidences are breakthrough points, the accumulations in these two parts could build up a solid foundation of practicing knowledge in math teaching.

logical main structure; important point of content; advance gradually; challenges in study; practicing knowledge

G420

A

1004–9894（2015）06–0073–07

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2015–08–10

顧非石（1980—），男，上海人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究．