李思農(nóng)

摘要：凡是提到相對論，都會只使用一種特殊的相對運動：相對運動方向沿x軸。這種情況最簡單，卻也容易引起歧義。所以本文將給出任意相對速度方向下的洛倫茲變換以供讀者參考、使用。

關鍵詞：相對論 任意相對速度 洛倫茲變換

一、引言

在許多文獻和參考書中，都提到了兩個做相對運動的慣性系，幾乎全部都選取了一個特殊的情況：相對速度v的方向與兩坐標系的x軸方相同（如圖1）。這種情況下的洛倫茲變換關系是最簡單的。盡管有簡單的好處，但是在一般情況下，或者在講到四維動量、四維力時，相對速度方向僅與x軸方向相同就顯得不太夠了，它展示出來的物理圖像過于“特殊情況”或者不完整，容易引起很多歧義。所以，本文將給出任意相對速度方向下的洛倫茲變換（如圖2），以供讀者參考、使用。

[z][y][x] [v] [z′][y′][x′]

圖1 兩個慣性系之間相對速度方向與x軸

方向相同，相對速度為v

[z][y][x] [v] [z′][y′][x′]

圖2 兩慣性系之間的相對速度方向

是任意方向

二、相對速度

如圖2顯示，相對速度方向是任意的，我們先分析一下相對速度。如圖3，藍色為相對速度矢量 。紅色為坐標軸上的相對分量v1、v2、v3。我們采用逆變矢量方式：符號的指標寫在上面，并不是表示次方的意思。綠色表示在 平面上的速度分量矢量和。

[y][x][v1] [] [v][v3][v2][v1][β][α]

圖3 藍色是相對速度矢量，紅色是其在坐標軸上的分量，綠色是xy平面上的速度分量矢量和

很明顯最終的轉換公式中，這些分量全部都會出現(xiàn)，我們約定凡是兩個相同量相乘的連續(xù)寫出兩次，例如：v2v2表示兩個v2相乘，并不是四個v相乘，我們不再使用指數(shù)。

根據(jù)很簡單的三角函數(shù)，我們可以得到關系：

三、坐標系的旋轉

對于任意相對運動速度方向的情況，我們先將坐標系進行旋轉，變成圖1的情況，然后利用簡單的洛倫茲變換推出一般情況下的洛倫茲變換。這種旋轉分兩步進行。會得到三個坐標系，我們分別用紅、綠、藍三種顏色來表示（如圖3）。

從紅色坐標系R（red）開始，先是繞z軸旋轉α角，得到綠色坐標系G（green）。再繞綠色坐標系的y軸旋轉β角，得到藍色坐標系B（blue）。這個藍色坐標系的x軸沿著相對運動速度的方向。

這里會有兩套這種坐標，我們約定第一套的R、G、B坐標分別為（ct，x，y，z）R、（ct，x，y，z）G、（ct，x，y，z）B。第二套的R′、G′、B′坐標分別為

紅色坐標系R與綠色坐標系G轉換關系為

綠色坐標系G與藍色坐標系B轉換關系為

四、任意相對速度方向下的洛倫茲轉換關系

通過上面的準備，現(xiàn)在可以進入轉換關系的求解。大致過程如下，先從紅色坐標系R開始，轉換成藍色坐標系B，通過簡單洛倫茲轉換變成藍色坐標系B′，再通過逆轉換變回紅色坐標系R′。

這兩個公式在研究四維力、四維動量、電磁場的描述中將非常有用。而且只需將速度的第二與第三分量設為零，很容易轉變?yōu)橄鄬λ俣妊豿軸的簡單情況。

至于加入虛指標的情形，

由于逐漸被人們所淘汰，建議讀者不必過多使用。

參考文獻：

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[2]Sean M. Carroll. Lecture notes on general relativity.

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[5]Tomohiro Harada. I： formulation and asymptotic analysis. Self-similar cosmological solutions with dark energy[J].

（責編 趙建榮）