王曉浩邢宗義蘇釗頤李兆新高旭東

（1.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，210094，南京；2.南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，210094，南京；

3.廣州市地下鐵道總公司，510308，廣州∥第一作者，碩士研究生）

基于拉格朗日乘數(shù)法的輪對(duì)外形輪廓擬合方法*

王曉浩1邢宗義2蘇釗頤3李兆新3高旭東1

（1.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，210094，南京；2.南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，210094，南京；

3.廣州市地下鐵道總公司，510308，廣州∥第一作者，碩士研究生）

為實(shí)現(xiàn)輪對(duì)外形輪廓線的準(zhǔn)確提取，提出了一種基于拉格朗日乘數(shù)法的輪對(duì)外形輪廓線擬合方法。首先將2D激光位移傳感器獲得的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行區(qū)段劃分，然后分別確定每個(gè)區(qū)段數(shù)據(jù)點(diǎn)的最小二乘擬合方程，最后根據(jù)擬合方程建立最小二乘回歸模型，以分段點(diǎn)存在三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)作為約束條件構(gòu)建拉格朗日函數(shù)，采用拉格朗日乘數(shù)法求解獲得擬合方程參數(shù)。采用現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了輪對(duì)外形輪廓線擬合，結(jié)果表明擬合的輪廓線在分段點(diǎn)處光滑連續(xù)，與實(shí)際數(shù)據(jù)點(diǎn)的最大偏移幅度小于0.1%，滿足了外形輪廓線擬合精度要求，可用于輪對(duì)磨耗及尺寸參數(shù)的精確計(jì)算。

軌道交通車輛；輪對(duì)外形輪廓；分段曲線擬合；拉格朗日乘數(shù)法

First-author's address School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，210094，Nanjing，China

列車在軌道上運(yùn)行時(shí)，列車輪對(duì)會(huì)逐漸產(chǎn)生磨耗，從而造成輪對(duì)尺寸參數(shù)的變化。這將影響列車運(yùn)行的平穩(wěn)性與安全性，也將對(duì)旅客乘坐舒適度造成影響。當(dāng)輪對(duì)磨耗率超過一定限度時(shí)，甚至?xí)鹈撥壍刃熊嚢踩鹿剩?-2］。磨耗量可以通過實(shí)際測(cè)量的輪對(duì)外形輪廓線與該型號(hào)標(biāo)準(zhǔn)外形輪廓線的差值進(jìn)行計(jì)算，因此準(zhǔn)確提取輪對(duì)外形輪廓線對(duì)輪對(duì)磨耗與尺寸參數(shù)獲取具有重要作用。

實(shí)際工程中可通過激光CCD（圖像傳感器）［3］或激光測(cè)距［4］獲取以離散數(shù)據(jù)點(diǎn)表達(dá)的輪對(duì)外形輪廓線。為了準(zhǔn)確描述輪對(duì)外形輪廓線，可將測(cè)得的輪對(duì)踏面及輪緣外形的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合成曲線。由于輪對(duì)外形輪廓的復(fù)雜性，難以用一種曲線來擬合，故一般采用分段曲線擬合的方法［5］。眾多學(xué)者針對(duì)分段曲線擬合做了大量的研究：文獻(xiàn)［6］采用一種基于插值模型的最小二乘曲線擬合方法，得到了實(shí)測(cè)變形數(shù)據(jù)無突變和波動(dòng)較小的分段擬合曲線；文獻(xiàn)［7］提出了一種基于全局多目標(biāo)規(guī)劃模型的最小二乘曲線擬合方法，得到了無限逼近實(shí)測(cè)點(diǎn)的多項(xiàng)式擬合曲線；文獻(xiàn)［8］采用一種基于最小二乘法的分段三次曲線擬合方法，得到了數(shù)據(jù)點(diǎn)自適應(yīng)分段的多項(xiàng)式擬合曲線；文獻(xiàn)［9］采用最小二乘迭代法，將離散數(shù)據(jù)擬合成圓弧和直線，所得結(jié)果能方便工程應(yīng)用。

傳統(tǒng)的全局曲線擬合沒有考慮由高次多項(xiàng)式帶來的附加振蕩和分段點(diǎn)處的平滑性，或只是簡(jiǎn)單的采用插值法進(jìn)行分段曲線擬合，降低了曲線擬合的精度，故本文提出一種基于拉格朗日乘數(shù)法的分段曲線擬合方法，實(shí)現(xiàn)了輪對(duì)外形輪廓線的精確擬合。首先，根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)提取出踏面內(nèi)端面橫坐標(biāo)，并對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行區(qū)段劃分；然后，分別確定每個(gè)區(qū)段數(shù)據(jù)點(diǎn)的最小二乘擬合方程；最后，根據(jù)擬合方程建立最小二乘回歸模型，以分段點(diǎn)存在三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)作為約束條件構(gòu)建拉格朗日函數(shù)，采用拉格朗日乘數(shù)法求解獲得擬合方程參數(shù)，從而獲得在全局上平滑連續(xù)的輪對(duì)外形輪廓線，為提高輪對(duì)磨耗及輪對(duì)尺寸參數(shù)的計(jì)算精度奠定基礎(chǔ)。

1　車輪外形探測(cè)原理及裝置

1.1車輪外形與踏面磨耗

列車車輪截面的示意圖如圖1所示。在檢修車輪時(shí)，主要通過測(cè)量車輪外形參數(shù)來判斷車輪的磨

耗程度。而車輪外形參數(shù)包括車輪直徑、輪緣厚度、踏面磨耗和垂直磨耗等，其中以輪緣厚度、踏面磨耗最為關(guān)鍵。為了及時(shí)掌握輪緣厚、踏面磨耗的變化情況，需對(duì)車輪外形輪廓進(jìn)行檢測(cè)并準(zhǔn)確擬合出車輪外形輪廓線。

圖1　車輪截面示意圖

1.2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

車輪外形輪廓檢測(cè)裝置包括四組2D激光位移傳感器、車號(hào)識(shí)別器、磁鋼、工控機(jī)等，其組成如圖2所示［11］。同側(cè)軌道的兩組2D激光位移傳感器以一定的幾何關(guān)系鏡面對(duì)稱安裝于軌道兩側(cè)，每個(gè)2D激光位移傳感器與軌道的相對(duì)距離L1=L2且均為100～450 mm，兩組傳感器的激光探測(cè)面處于同一平面并使得整體裝置低于軌面，每個(gè)傳感器與垂線的夾角β1=β2=45°。其安裝示意圖如圖3所示。

2　輪廓線擬合算法原理介紹

輪對(duì)外形輪廓線擬合算法流程圖如圖4所示。算法主要包括兩部分內(nèi)容：一是通過對(duì)傳感器輸出數(shù)據(jù)預(yù)處理，將有效數(shù)據(jù)點(diǎn)變換融合到同一直角坐標(biāo)系中；二是通過數(shù)據(jù)點(diǎn)分段和最小二乘擬合來構(gòu)建拉格朗日函數(shù)，并采用拉格朗日乘數(shù)法對(duì)函數(shù)進(jìn)行求解，得到擬合方程中系數(shù)的最小二乘解，從而獲取在全局上平滑連續(xù)的輪對(duì)外形輪廓線。

圖2　車輪外形檢測(cè)系統(tǒng)組成

圖3　2D激光位移傳感器安裝示意圖

圖4　輪對(duì)外形輪廓線擬合算法流程圖

2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

2.1.1數(shù)據(jù)的坐標(biāo)變換及融合

傳感器同時(shí)探測(cè)車輪得到探測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)，并通過坐標(biāo)變換和坐標(biāo)平移將兩組傳感器的輸出點(diǎn)融合到同一坐標(biāo)系上。對(duì)軌道外側(cè)2D激光位移傳感器輸出的二維坐標(biāo)值根據(jù)以下公式進(jìn)行坐標(biāo)變換：

u1，n=x1，ncosβ1+y1，nsinβ1ν1，n=y1，ncosβ1-x1，nsinβ1

對(duì)軌道內(nèi)側(cè)2D激光位移傳感器輸出的二維坐標(biāo)值根據(jù)以下公式進(jìn)行坐標(biāo)變換：u2，n=x2，ncosβ2-y2，nsinβ2ν2，n=y2，ncosβ2+x2，nsinβ2

式中：

（x1，n，y1，n），（x2，n，y2，n）——兩組傳感器探測(cè)得到原始坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)值；

β1、β2——傳感器與縱向豎直線的夾角；

（u1，n，ν1，n），（u2，n，ν2，n）——原始坐標(biāo)經(jīng)變換后得到的坐標(biāo)值。

如（a，b）為外側(cè)傳感器的原始坐標(biāo)原點(diǎn)在內(nèi)側(cè)傳感器變換后的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。則可根據(jù)以下公式，將坐標(biāo)變換后的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行融合：

u0，n=u1，n+a u0，n=u2，nν0，n=ν1，n+b ν0，n=ν2，n

2.1.2濾除數(shù)據(jù)干擾點(diǎn)

因傳感器自身因素或環(huán)境因素等，傳感器探測(cè)點(diǎn)中存在一定的干擾點(diǎn)，為了提高輪緣尺寸的計(jì)算精度應(yīng)進(jìn)行干擾點(diǎn)濾除處理。主要通過獲取踏面右端面的橫坐標(biāo)值，并以此建立濾窗對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行干擾點(diǎn)的去除處理。

在輸出點(diǎn)變換融合后的數(shù)據(jù)點(diǎn)中提取出滿足式（1）的點(diǎn)：

式（1）中xi為變換后坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，對(duì)滿足條件的橫坐標(biāo)值求平均作為踏面右端面的橫坐標(biāo)X。根據(jù)X的值建立（X-135，X+5）的一個(gè)濾窗，濾除橫坐標(biāo)不在該范圍內(nèi)的點(diǎn)，從而得到踏面有效數(shù)據(jù)點(diǎn)。

2.2曲線擬合

數(shù)據(jù)預(yù)處理之后的踏面有效數(shù)據(jù)是以離散點(diǎn)形式保存，為了提高輪緣高、輪緣厚的計(jì)算需對(duì)離散點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合，重構(gòu)出輪對(duì)外形輪廓線。

2.2.1數(shù)據(jù)分段

城軌列車輪對(duì)踏面的標(biāo)準(zhǔn)曲線的每一段曲線都是由直線和圓弧組成，也就是說可以把標(biāo)準(zhǔn)曲線分成幾段，每段曲線用指定函數(shù)進(jìn)行擬合［12］。

設(shè)數(shù)據(jù)預(yù)處理后得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)為（xi，yi），i=1，2，…，n，將數(shù)據(jù)點(diǎn)分為K組S1，S2，…，SK，即

（x11，y11），（x12，y12），…，（x1N1，y1N1）∈S1

（x21，y21），（x22，y22），…，（x2N2，y2N2）∈S2

?

（xK1，yK1），（xK2，yK2），…，（xKNK，yKNK）∈SK其中，Nk（k=1，2，…，K）是區(qū)間Sk的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，則：

設(shè)每個(gè)區(qū)間分段點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xo1，xo2，…，xo（K-1），則第k個(gè)區(qū)間的數(shù)據(jù)點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足關(guān)系式：

2.2.2確定分段擬合方程

根據(jù)每個(gè)分段區(qū)間上的數(shù)據(jù)點(diǎn)，確定K個(gè)數(shù)集上的擬合方程F（x），擬合方程一般可選為多項(xiàng)式形式，因?yàn)?，在一定范圍?nèi)，連續(xù)函數(shù)可用多項(xiàng)式任意逼近。則設(shè)F（x）的形式為：

式中：

a——待定系數(shù)；

f（x）——線性無關(guān)的基函數(shù)｛1，x，x2，…，xn｝；mk——該分段區(qū)間上基函數(shù)的個(gè)數(shù)。

2.2.3分段曲線全局連續(xù)化處理

應(yīng)用數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差最小二乘法進(jìn)行最佳擬合是一種常用方法。本文采用最小二乘模型擬合分段曲線。令S為最小二乘估計(jì)量，則使總體擬合誤差最小且在分段點(diǎn)處有三階導(dǎo)數(shù)的最小二乘回歸模型為：

為保證曲線在各分段點(diǎn)xok處，F(xiàn)k-1（x）過渡到Fk（x）時(shí)曲線連續(xù)，需要前后兩段曲線在xok處的函數(shù)值相等，即要加入端點(diǎn)約束條件：

Fk-1（xok）=Fk（xok）（4a）

同時(shí)，為保證曲線在xok處，F(xiàn)k-1（x）過渡到Fk（x）時(shí)曲線平滑，且考慮使擬合曲線有較好的幾何分析性能，要求前后兩段曲線在xok處的三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即加入端點(diǎn)約束條件：

F′k-1（xok）=F′k（xok）（4b）

F″k-1（xok）=F″k（xok）（4c）

F?k-1（xok）=F?k（xok）（4d）

2.2.4數(shù)學(xué)模型的求解

該數(shù)學(xué)模型是求帶有約束條件的最小二乘模型的極值問題，本文采用拉格朗日乘數(shù)法，將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題來求解［13］。

由上述的四個(gè)約束條件，設(shè)有如下方程：

Hk1=Fk-1（xok）-Fk（xok）=0（5a）

Hk2=F′k-1（xok）-F′k（xok）=0 （5b）

Hk3=F″k-1（xok）-F″k（xok）=0 （5c）

Hk4=F?k-1（xok）-F?k（xok）=0（5d）引入拉格朗日乘子λ，并根據(jù)（5）式構(gòu)建出拉格朗日函數(shù)為：Lk（a，λ）=L k（a k1，a k2，…，a km k，λk1，λk2，λk3，λk4）=

Fk+λk1Hk1+λk2Hk2+λk3Hk3+λk4Hk4（6）

由多元函數(shù)求極值的必要條件，Lk（a，λ）分別對(duì)擬合函數(shù)中的未知系數(shù)a和約束條件未知系數(shù)λ求偏導(dǎo)得：

解齊次方程組（7）即可得待定系數(shù)a的解。

3　實(shí)例分析

在某地鐵車輛段安裝實(shí)際檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行試驗(yàn)，列車以3 km/h的速度通過檢測(cè)系統(tǒng)，將傳感器的輸出數(shù)據(jù)根據(jù)上述的輪對(duì)外形輪廓線擬合算法進(jìn)行求解。

3.1初始數(shù)據(jù)的坐標(biāo)變換及融合

兩組2D激光位移傳感器與軌道成45°角安裝于軌道兩側(cè)，則β1、β2為45°，并對(duì)經(jīng)過車輪的踏面進(jìn)行探測(cè)，則探測(cè)得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)值按下式進(jìn)行坐標(biāo)變換：

u1，n=x1，ncos 45°+y1，nsin 45°

u2，n=x2，ncos 45°-y2，nsin 45°

ν1，n=y1，ncos 45°-x1，nsin 45°

ν2，n=y2，ncos 45°+x2，nsin 45°

3.2濾除干擾點(diǎn)

圖5　輪對(duì)外形輪廓線的有效數(shù)據(jù)點(diǎn)

3.3數(shù)據(jù)分段

根據(jù)濾除干擾點(diǎn)得到踏面右端面橫坐標(biāo)值X，將踏面有效數(shù)據(jù)點(diǎn)按（X-130，X-100），［X-100，X-60），［X-60，X-46），［X-46，X-25），［X-25，X-6），［X-6，X）這6個(gè)數(shù)集分段并將踏面有效數(shù)據(jù)點(diǎn)分配到相對(duì)應(yīng)的區(qū)間中，由此分段點(diǎn)xok的橫坐標(biāo)為100、60、46、25、6。

3.4求解擬合曲線方程

根據(jù)上述的分段情況，采用四階擬合曲線確定該6個(gè)數(shù)集上的擬合方程：

根據(jù)最小二乘原理，使得總體擬合誤差最小且在分段點(diǎn)上連續(xù)的6分段的最小二乘回歸模型為：

s.t.F1（xok）=F2（xok）（10a）

F′k-1（xok）=F′k（xok）（10b）

F″k-1（xok）=F″k（xok）（10c）

F?k-1（xok）=F?k（xok）（10d）

在式（10）中，k=2，3，…，6。最后，根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法要求建立拉格朗日函數(shù)L（a，λ），并由多元函數(shù)求極值的必要條件，令L（a，λ）分別對(duì)擬合函數(shù)中的未知系數(shù)a和約束條件未知系數(shù)λ求偏導(dǎo)，且令其結(jié)果為零建立方程組。利用MATLAB編程［14］求解該方程組，解得系數(shù)a如表1所示。

將系數(shù)a代入式（8），得到擬合的輪對(duì)外形輪廓線如圖6所示。

圖6　擬合的輪對(duì)外形輪廓線

由圖6可見，踏面與輪緣連接處的曲線平滑性較差，可能由以下兩種原因造成：一是輪對(duì)由于磨耗而造成外形實(shí)際輪廓如此；二是由于踏面與輪緣連接處的探測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)缺失而造成曲線不平滑?，F(xiàn)將曲線擬合值與實(shí)際測(cè)量值進(jìn)行比較，得到曲線擬合前后法向誤差如圖7所示。

由圖7可見，踏面段的擬合偏差較小，在±0.1 mm內(nèi)，輪緣處的擬合偏差較大，在±0.4mm內(nèi)，取輪緣處的擬合數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分析結(jié)果如表2所示?？梢?，原測(cè)量值點(diǎn)（x，y）與經(jīng)本文算法擬合后曲線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y′）比較，兩者之間最大誤差R值不超過±0.39mm，偏移幅度A（A=R/100%）［15］小于0.096%，車輪輪緣厚及輪緣高一般為30mm左右，則擬合的偏移幅度對(duì)輪緣尺寸的誤差影響為：30mm×0.096%=0.0288mm。

圖7　曲線擬合前后法向誤差

該誤差值對(duì)輪對(duì)尺寸的檢測(cè)精度無影響，表明該輪對(duì)外形輪廓線擬合方法能滿足現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際測(cè)量。

表2　原測(cè)量值與曲線擬合值比較

4　結(jié)語

本文提出了一種基于拉格朗日乘數(shù)法的輪對(duì)外形輪廓線擬合方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)外形輪廓線的準(zhǔn)確提取。通過現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際采集數(shù)據(jù)的求解分析，得出該方法能有效擬合出輪對(duì)外形輪廓線，且擬合輪廓線的值與實(shí)際數(shù)據(jù)點(diǎn)的最大偏移幅度不超過0.1%，證明了經(jīng)過連續(xù)和平滑處理后的曲線基本達(dá)到了整體的連續(xù)性和較高階的光滑性，為后續(xù)的幾何分析奠定了基礎(chǔ)。

［1］ 丁軍君，黃運(yùn)華，李芾.地鐵車輛車輪磨耗仿真研究［J］.城市軌道交通研究，2014（10）：73.

［2］ Rovira A，Roda A，Marshall M B，et al.Experimental and numerical modelling of wheel-rail contact and wear［J］. Wear，2011，271（5）：911.

［3］ 陳靜，禹建偉，譚志忠.地鐵車輛輪對(duì)動(dòng)態(tài)檢測(cè)系統(tǒng)研究［J］.城市軌道交通研究，2014（7）：82.

［4］ 官鑫.基于激光測(cè)距的車輪踏面外形測(cè)量儀的研究［D］.成都：西南交通大學(xué)，2010.

［5］ 夏富杰.輪軌型面實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的分段曲線擬合法［J］.鐵道學(xué)報(bào)，1998，20（1）：119.

［6］ 孫祥暢，欒元重，顏世英.曲線擬合與插值模型在礦區(qū)變形預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］.有色金屬：礦山部分，2012，64（1）：66.

［7］ Pourkarimi L，Yaghoobi M A，Mashinchi M.Efficient curve fitting：An application of multi-objective programming［J］. Applied Mathematical Modelling，2011，35（1）：346.

［8］ 蔡山，張浩，陳洪輝，等.基于最小二乘法的分段三次曲線擬合方法研究［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2007，7（3）：352.

［9］ 陳國鋒，王捷，鐘曉波，等.車輪踏面外形測(cè)量的數(shù)值處理［J］.城市軌道交通研究，2014（1）：78.

［10］ TB/T 449—2003機(jī)車車輛車輪輪緣踏面外形［S］.

［11］ 朱躍，俞秀蓮，邢宗義.城軌車輛輪對(duì)尺寸在線測(cè)量系統(tǒng)的研制［J］.機(jī)械制造與自動(dòng)化，2014（2）：36.

［12］ 田衛(wèi)平.激光測(cè)量輪廓中的數(shù)學(xué)方法應(yīng)用［J］.計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制，2006，14（9）：1233.

［13］ 張二艷，朱曉峰.拉格朗日乘數(shù)法求解約束線性回歸問題研究［J］.北京印刷學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，21（2）：76.

［14］ MATLAB7.0編程基礎(chǔ)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

［15］ 王可，唐忠輝，孫興偉.基于拉格朗日乘數(shù)法對(duì)曲線點(diǎn)云數(shù)據(jù)的光順處理［J］.沈陽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，35（3）：309.

Fitting Method for Wheel Contour Line Based on Lagrange Multiplier

Wang Xiaohao，Xing Zongyi，Su Zhaoyi，Li Zhaoxin，Gao Xudong

In order to achieve the accurate extraction of wheel contour line，Lagrange multiplier method is proposed to fit wheel contour line.Firstly，the data points measured by the 2D laser sensor are divided into several sections；then the least-squares fitting equations are established according to the data points of each section.Finally，a leastsquares regression model is built according to the fitting equation.By taking the break points of the third-order continuous derivative into account，the Lagrange multiplier method is applied to derive the least-squares solution.The model of actual data is soled and the result shows that the curve is smooth and continuous at the segmented points. The maximum offset amplitude compared with the actual data points is within 0.1%，which could meet the accuracy requirements.So the method proposed in this paper is significant for improving the detection accuracy of wheel wear and size.

rail transit vehicle；wheel contour line；piecewise curve fitting；Lagrange multiplier method

U 270.331+.1

10.16037/j.1007-869x.2015.07.009

2014-10-19）

*國家“八六三”高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（2011AA110506）；廣州市產(chǎn)學(xué)研協(xié)同創(chuàng)新重大專項(xiàng)資助項(xiàng)目（201508010010）