●江蘇省如東縣岔河中學(xué) 胡文建

淺析高中數(shù)學(xué)解三角形教學(xué)及應(yīng)用

●江蘇省如東縣岔河中學(xué) 胡文建

解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，它涉及三角形的邊、角、面積，以及三角函數(shù)、圓等知識，綜合性較強.在解三角形的教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)大綱的要求，重點講解如何運用正弦定理和余弦定理解三角形問題，以及判斷三角形的解.做好解三角形的教學(xué)，不但可以提高學(xué)生的解題能力，而且還對學(xué)生的數(shù)學(xué)思路的發(fā)展有幫助.因此，解三角形對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的意義之大.數(shù)學(xué)來自生活，這注定數(shù)學(xué)最后必須回歸到生活中，解決生活中的實際問題，為生活服務(wù).

一、利用正弦、余弦定理解三角形

利用正弦、余弦定理解三角形是最常用的方法.有些題目中要同時用到這兩個定理才能解三角形.但在某些題目中只需選擇正弦和余弦定理中的其中一個即可解三角形，既然有兩種解答方法，那如何得知一道解三角形的題目是用正弦定理還是余弦定理去求解比較好呢？教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)正弦定理和余弦定理的公式特點去進行總結(jié)，正弦定理公式中涉及的角度比較多，而余弦定理公式中邊較多.因此可以得出一個解題技巧：解三角形在選擇定理時，角多一般用正弦定理；邊多一般用余弦定理.正弦、余弦定理除了用來求三角形的邊、角、面積，也可以用于判斷三角形的形狀.

1.正確選擇正弦或余弦定理解三角形

利用正弦定理，可以解決以下兩類問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.利用余弦定理，可以解決以下三類問題：（1）已知三邊，求三角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角；（3）三角形的面積.例如：設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a=2，則b為？要判斷此題是用余弦定理還是正弦定理去解，首先要分析題目的已知條件.先從問題看起，這道題要求b的邊長，如果用正弦定理，則需要知道∠B的度數(shù)，題目中沒有直接給出∠B的度數(shù)，如果硬要求出∠B的度數(shù)，則需要繞一大圈，比較費時.因此，這道題用余弦定理解答會更加簡單直接，運用余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，解關(guān)于b的方程，結(jié)合b

2.用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀

在高中數(shù)學(xué)中，常用正弦定理、余弦定理來判斷三角形的形狀.要判斷三角形的形狀，一般都是把已知條件和正弦、余弦定理結(jié)合一起，進行轉(zhuǎn)變得出角度或不同角與邊之間的關(guān)系.例如：已知△ABC中，（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinB·cosC，試判斷△ABC的形狀.這道題中要懂得把sinA=2sinB·cosC轉(zhuǎn)化成a=2b·cosC，因為有角又有邊，可以把所有的角轉(zhuǎn)化成邊，比較三角形邊與邊之間的關(guān)系，再把a=2b·cosC構(gòu)成出現(xiàn)邊的平方的形式a2=2ab·cosC=a2+b2-c2，得出b=c，再把另外一個已知條件（a+b+c）（b+c-a）=3bc進行轉(zhuǎn)換，得到（2b+a）（2ba）=3b2，則a=b，由此可判斷△ABC為等邊三角形.

二、判斷三角形解的個數(shù)

在蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5“解三角形”這章中的“解三角形的進一步討論”提到了三角形解的個數(shù)的判斷.而這個知識點也是?？键c，在進行“解三角形”教學(xué)過程中，也要重點講解這部分的內(nèi)容.學(xué)了正弦、余弦定理后，不少同學(xué)為判斷三角形的解的個數(shù)而煩惱．知道三邊，兩角一邊，兩邊及其夾角時不會出現(xiàn)兩解；在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角（即“邊邊角”）的條件下解三角形時，解的個數(shù)有幾個呢？判斷三角形解的個數(shù)有以下三大招：

1.大角對大邊

在已知△ABC中的邊長a、b和角A，且已知a、b的大小關(guān)系，常用正弦定理結(jié)合“大邊對大角”來判斷三角形解的個數(shù)，先利用大邊對大角，判斷出角B與角A的大小關(guān)系，再求出角B的值，根據(jù)三角函數(shù)的有界性求解.例如：已知，b=1，B=60°，求A、C及c.由正弦定理可，則A=30°或150°，由于150°+60°>180°，且b>a（根據(jù)大角對大邊），可以判斷出A=30°，該三角形只有一個解.在這道題中，我們要學(xué)會挖掘題中隱含的條件：大角對大邊，很多時候，隱含條件是解題的關(guān)鍵，如果我們無法察覺，則會被困住.

2.二次方程的正根個數(shù)

一般地，若在△ABC中已知邊長a、b和角A，則可對角A應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程，再對該方程的解進行分析.若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解，可判斷出該三角形無解；若方程有一個正數(shù)解，可得出該三角形有一解；若方程有兩個不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解.例如：在△ABC中，BC=2，AB=2，A=30°，則AC=_______.這道題就是已知兩條邊的長度及其中一邊的對角，可以利用余弦定理構(gòu)造一元二次方程.設(shè)BC=a，AB=c，AC=x，則可表示為a2=c2+x2-2cxcosA，代入整理得x2-6x+8=0，解得x=2或x=4，方程有2個正根.

3.畫圖法

畫圖法是最基礎(chǔ)的用于求三角形的解的方法，它只適用于已知一角的度數(shù)、該角的一條邊長及該角所對的邊長.一般作圖步驟如下：先把已知角畫出，再以該角的頂點為起點，作一條已知的邊長，從而確定另外一個頂點，再以那個頂點為圓心，該角的對邊長度為半徑，進行畫圓，如果所畫的圓的軌跡和三角形的第三邊有幾個交點則該三角形就有幾個解，如圖1~圖4所示.

圖1

圖2

圖3

圖4

在判斷三角形解的個數(shù)時，需要學(xué)生懂得轉(zhuǎn)變思維，比如把余弦定理轉(zhuǎn)變成一元二次方程來判斷三角形的解.因為我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元二次方程的解個數(shù)的判斷，事實證明這個方法也可以應(yīng)用在幾何圖形的相關(guān)問題解答中.

三、解三角形的實際應(yīng)用

解三角形的實際應(yīng)用即把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解.解三角形主要用于測量距離問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等.而在生活中我們遇到更多的關(guān)于測量的問題，如：（1）怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？（2）怎樣測量底部不可到達的建筑物的高度？（3）怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨?？?）怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向等.當(dāng)然，以上所說的問題都能運用正弦、余弦定理來進行解決.

航海問題經(jīng)常需要用到解三角形知識來解決，例如：甲船以每小時302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行．如圖5，當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達A2處，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距102海里.問：乙船每小時航行多少海里？

在解題前，教師應(yīng)先提出啟發(fā)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生自己去思考該如何運用正弦、余弦定理來解決該問題，教師可以讓學(xué)生多讀幾遍題目，把題目中已知的條件一一列出，方便解題時一目了然，節(jié)約時間.一般來說，在學(xué)習(xí)完一個知識點之后，教師要及時轉(zhuǎn)換角色，這時自己應(yīng)該主要起到指導(dǎo)作用，而并非要把完整的解題過程直接呈現(xiàn).除了航海問題，同樣對于建筑物的測量問題，教師也是應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去思考“根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運用哪個定理比較適當(dāng)？”“運用該定理解題時還需要哪些邊和角呢？”

綜上所述，解三角形也是一門大學(xué)問，且它在生活中的應(yīng)用甚為廣泛，教師應(yīng)引起重視.歸根到底數(shù)學(xué)的教學(xué)還是體現(xiàn)在思維的轉(zhuǎn)變，只有思維方面得到提高，學(xué)生才能獲得更大的進步.學(xué)生只有知道思考的方法、方向，才能運用知識進行實踐操作，從而真正掌握它.

圖5

1.方久福.解三角形的應(yīng)用初探［J］.高中生學(xué)習(xí)（高一版），2012（2）.

2.王興.妙構(gòu)三角模型 巧用正、余弦定理處理應(yīng)用問題［J］.高中數(shù)理化，2013（12）.

3.朱兵.解析高中數(shù)學(xué)解三角形的授課技巧［J］.中學(xué)生導(dǎo)報（教學(xué)研究），2014（11）.

4.胡定華.正確選擇+事半功倍——用正弦定理和余弦定理解三角形［J］.新高考（高一數(shù)學(xué)），2015（3）.