●浙江省義烏市上溪中學(xué) 吳麗華

淺談函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用

●浙江省義烏市上溪中學(xué) 吳麗華

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，它的定義域只是正整數(shù)集（或它的有限子集），有限子集為{1，2，…，n}.當(dāng)自變量的取值按照正整數(shù)從小到大來(lái)取時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列函數(shù)值為f（1），f（2），…，f（n），對(duì)應(yīng)的函數(shù)通項(xiàng)公式為an=f（n）.［1］最近幾年，在高考命題的考查中，數(shù)列和函數(shù)的綜合題是其重點(diǎn)和熱點(diǎn)題型.所以函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用的教學(xué)中，教師要把函數(shù)相關(guān)的知識(shí)充分地利用起來(lái)，通過(guò)函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)，把函數(shù)和數(shù)列牽連起來(lái)，剖析它們之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從而使得學(xué)生深刻感悟到數(shù)列與函數(shù)之間特殊到一般再到特殊的規(guī)律，從而有效地去解答數(shù)列問(wèn)題.［2］本文將結(jié)合筆者多年的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)労瘮?shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用，希望能夠?qū)W(xué)生有所幫助.

一、借助函數(shù)有關(guān)概念，解答數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列的第n項(xiàng)an與項(xiàng)的序數(shù)n之間的關(guān)系，可以用一個(gè)通項(xiàng)公式an=（fn）來(lái)表示，也就是其通項(xiàng)公式是關(guān)于自變量n的表達(dá)式，所以我們?cè)诮鈹?shù)列題型的時(shí)候，可以把它們看作函數(shù)去解答，特別是在解答等差和等比這兩種類型的數(shù)列時(shí)更需如此，利用函數(shù)的本質(zhì)和特征來(lái)解答數(shù)列問(wèn)題［.2］對(duì)于等差數(shù)列，它的通項(xiàng)公式是an=a1+（n-1）×d（其中首項(xiàng)是a1，公差是d），寫成n的一次函數(shù)的格式是an=dn+（a1-d），在特殊情況下，公差d=0時(shí)，該函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，即an=An+B（A，B為常數(shù)）；對(duì)于等比數(shù)列，相似的，它的通項(xiàng)公式是an=a1*qn-（1其中首項(xiàng)是a1，公比是q），寫成n的函數(shù)的格式為a，在特殊情況下，公比q=1時(shí)，該函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，即an=A×q（nA為常數(shù)）.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式為，換成n的二次函數(shù)格式是當(dāng)缺少常數(shù)項(xiàng)時(shí)，其公式為S=n（fn）=An2+Bn（A，B為常數(shù)）.而等比數(shù)列的前n項(xiàng)和也是類似的

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的基本問(wèn)題，一般有三種類型：（1）已知數(shù)列是等差或等比數(shù)列，求通項(xiàng)，破解方法：公式法或待定系數(shù)法；（2）已知Sn，求通項(xiàng)，破解方法：利用Sn-Sn-1=an，但要注意分類討論，本例的求解中檢驗(yàn)必不可少，值得重視；（3）已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)，破解方法：猜想證明法或構(gòu)造法.

二、借助函數(shù)解析式，解答數(shù)列問(wèn)題

我們都知道，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列是一種已經(jīng)知道函數(shù)解析式，我們通過(guò)這個(gè)函數(shù)解析式解答數(shù)列問(wèn)題，這體現(xiàn)了函數(shù)與數(shù)列交織的基本形式.一般情況下，解答這類問(wèn)題，主要是在于理解和分析數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)列前n項(xiàng)和的公式這個(gè)特殊函數(shù)關(guān)系的概念，從而正確地得出解答數(shù)列問(wèn)題的思路和方法.

例2已知f（x）=ax+b（a≠0），且f（2），f（5），f（4）成等比數(shù)列，f（8）=15，求和Sn=f（1）+f（2）+…+f（n）的值.

分析：由f（2），f（5），f（4）成等比數(shù)列，可得f2（5）=f（2）·f（4），代入可得a、b之間的關(guān)系，結(jié)合f（8）=15，可求a，b，代入到f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）中，利用等差數(shù)列的求和公式可求.

解：由f（2），f（5），f（4）成等比數(shù)列，可得f2（5）=f（2）f（4），即（5a+b）2=（2a+b）（4a+b）①.

又f（8）=15，則8a+b=15②.

聯(lián)立①②，解得a=4，b=-17.

2010年7月，蔡振華接替退休的國(guó)家體育總局副局長(zhǎng)崔大林開(kāi)始分管足球工作。從那時(shí)起，蔡振華身上多了“足球”的標(biāo)簽。

所以f（x）=4x-17，

所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

三、借助函數(shù)的性質(zhì)，解答數(shù)列問(wèn)題

函數(shù)的性質(zhì)顯性地反映了函數(shù)的特征，我們?nèi)绻軌蛏羁痰亓私獠⑶依煤瘮?shù)的性質(zhì)，那么解答數(shù)列問(wèn)題就可以非常簡(jiǎn)便了，從而能起到事半功倍的效果.在數(shù)列中應(yīng)用得非常廣泛的函數(shù)性質(zhì)有函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性和函數(shù)圖像等.數(shù)列的通項(xiàng)公式本身就是一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，探究數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，找對(duì)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，便能求出數(shù)列的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)，或者還可以畫出函數(shù)圖像，觀察其最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，便是數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng).通過(guò)分析下面這些問(wèn)題，不僅能夠讓學(xué)生更深一步鞏固函數(shù)的性質(zhì)，還能夠培養(yǎng)學(xué)生解答數(shù)列問(wèn)題的能力，從而提高學(xué)生細(xì)致分析問(wèn)題，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解答問(wèn)題的能力.［3］

例3 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2+kn+2，且數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）.

A.k＞0 B.k＞-1 C.k＞-2 D.k＞-3

分析：若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則an+1-an＞0對(duì)于任意n∈N*都成立，得出2n+1+k＞0，采用分離參數(shù)法求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解：因?yàn)閍n=n2+kn+2 ①，

所以an+1=（n+1）2+k（n+1）+2 ②.

②-①得an+1-an=2n+1+k．

若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則an+1-an＞0對(duì)于任意n∈N*都成立，即2n+1+k＞0．

移項(xiàng)可得k＞-（2n+1），k只需大于-（2n+1）的最大值即可.

而易知當(dāng)n=1時(shí)，-（2n+1）的最大值為-3，

所以k＞-3.

故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力，分離參數(shù)法的應(yīng)用.

四、借助函數(shù)圖像，解答數(shù)列問(wèn)題

一般地，最能直接體現(xiàn)函數(shù)特征的是函數(shù)圖像，利用圖像來(lái)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就是數(shù)形結(jié)合，是我們經(jīng)常會(huì)利用到的方法.所以我們解答數(shù)列問(wèn)題的時(shí)候，也可以通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式中所反映的函數(shù)圖像，能夠解答數(shù)列問(wèn)題，通常都會(huì)得到良好的效果.［4］

例4 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-49，當(dāng)Sn達(dá)到最小時(shí)，n等于（ ）.

A.23 B.24 C.25 D.26

分析：由已知可判斷數(shù)列{an}為等差數(shù)列，由圖1可得等差數(shù)列{an}的前24項(xiàng)為負(fù)值，從第25項(xiàng)開(kāi)始為正值，由出現(xiàn)正項(xiàng)前的和最小可得答案．

解：由an=2n-49，可得an+1-an=2（n+1）-49-（2n-49）=2為常數(shù).

所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.令2n-49≥0，可得

圖1

故等差數(shù)列{an}的前24項(xiàng)為負(fù)值，從第25項(xiàng)開(kāi)始為正值，故前24項(xiàng)和最小.

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，由數(shù)列自身的變化，利用圖像得到答案是解決問(wèn)題的捷徑，屬于基礎(chǔ)題.

在解決數(shù)列的問(wèn)題中，靈活地利用函數(shù)思想能夠很大幅度降低題目的難度，特別是解答一些難度比較大的數(shù)列題.如果可以想到題目運(yùn)用了函數(shù)其中的一些性質(zhì)，那么解答就是非常容易的事了.經(jīng)常性地讓學(xué)生去研究和討論兩者的聯(lián)系，不但可以提高學(xué)生的解答速度，還可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.要讓學(xué)生知道不能為答題而答題，而是需要多去思考各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，要去挖掘每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的不同和共同之處，達(dá)到對(duì)所學(xué)知識(shí)的貫通，才是真正意義上把所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中.

1.曾惠云.函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（7）.

2.彭吳桃，金瑩.函數(shù)方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用［J］.理科考試研究，2012（3）.

3.劉蘇娟.數(shù)列中的函數(shù)思想［J］.中學(xué)生天地（C版）2012（2）.

4.李爽.在高中數(shù)學(xué)中函數(shù)思想的應(yīng)用案例研究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（1）.