●江蘇省沭陽高級中學 王永久

動態(tài)解析幾何問題的探索

●江蘇省沭陽高級中學 王永久

高考對解析問題的考查一般以一大一小兩種題型出現(xiàn)，其中解答題的考查對象主要以直線與橢圓的位置關(guān)系為背景，題目難度中等偏上，能有效考查考生的計算能力，以及分析問題、解決問題的能力.筆者通過分析2015年全國各省市高考試題發(fā)現(xiàn)，其中大部分試題以探索性問題為命題視角，如面積最值問題、定點問題、最值問題、特殊幾何圖形的存在問題等.本文將就其中所涉及的解題思想舉例分析，以期對考生備考有所幫助.

一、構(gòu)造函數(shù)求最值

對于三角形面積最值問題，通常利用弦長公式求出三角形的底邊長，再利用點到直線距離公式求出三角形的高，進而構(gòu)造出面積函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，再借助“二次函數(shù)配方法”、“基本不等式法”、“分離常數(shù)法”、“三角換元法”等解決.

評注：為了求解面積最值，常借助變量實現(xiàn)，變量之間的對應關(guān)系自然轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，因此函數(shù)便成為研究此類問題的重要工具．對于本題，通過選取恰當?shù)膮?shù)k為自變量來表示面積，然后通過求函數(shù)的最值求解，再通過換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題處理.

二、借助相關(guān)量探索幾何圖形的形狀

在幾何要素的運動變化過程中，由部分幾何要素所構(gòu)造的圖形形狀保持不變或者發(fā)生改變，為了探究幾何要素之間的位置關(guān)系及幾何圖形的形狀，需要構(gòu)建便于用坐標表示的相關(guān)量，如夾角問題可借助平面向量數(shù)量積來判斷，數(shù)量積大于0，則夾角為銳角；數(shù)量積小于0，則夾角為鈍角；數(shù)量積等于0，則夾角為直角.

例2（2015年湖南卷）已知拋物線C1：x2=4y的焦點F也是橢圓（a>b>0）的一個焦點，C與C的公12共弦的長為

（I）求C2的方程.

（II）過點F的直線l與C1相交于A、B兩點，與C2相交于C、D兩點，且同向.

（1）若|AC|=|BD|，求直線l的斜率；

（2）設C1在點A處的切線與x軸的交點為M，證明：直線l繞點F旋轉(zhuǎn)時，△MFD總是鈍角三角形.

評注：向量與解析幾何共同的特點是既具有代數(shù)性又具有幾何性，解題中利用“坐標法”引入坐標后為向量的出現(xiàn)奠定了基礎.其中所涉及的夾角問題常借助平面向量數(shù)量積公式，如本題中為了判斷“鈍角三角形”，利用平面向量數(shù)量積“等于0”、“大于0”、“小于0”，據(jù)此判斷圖形的形狀和幾何要素之間的位置關(guān)系．

三、借助圖形特征探索定點存在

處理解析幾何問題的常用方法是坐標法等代數(shù)方法，但解析幾何并沒有脫離平面幾何的本質(zhì)屬性，因此在幾何要素的運動變化過程中，某些幾何要素度量值之間保持特定的幾何關(guān)系，為了探究這些幾何關(guān)系，一般需要通過分析幾何圖形，將待判斷的數(shù)量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)建易于計算的等價關(guān)系．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同

所以，存在不同于點P的定點Q滿足條件，則點Q的坐標只能為（0，2）．

當直線l的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立．

當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+1，點A（x1，y1），B（x2，y2）．

評注：解析幾何適用代數(shù)方法來研究幾何問題，當將幾何條件或目標問題直接化為代數(shù)形式比較困難的時候，往往需要先將其轉(zhuǎn)化為與其等價的其他幾何關(guān)系，然后再轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，在本例中，將目標關(guān)系借由對稱、共線，轉(zhuǎn)化為坐標比值形式．

總之，對解析幾何中探索性問題的解答，除了掌握相關(guān)的通性通法外，要善于把握平面幾何的圖像特征，準確構(gòu)造目標函數(shù)、恰當借助相關(guān)量，尋找動態(tài)問題中的變與不變，方可順利求解問題.