●安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭 良

●安徽省靈璧縣教育體育局教研室 張桂海

教材創(chuàng)新務(wù)必謹(jǐn)慎 能力目標(biāo)力求適切

●安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭 良

●安徽省靈璧縣教育體育局教研室 張桂海

一、問(wèn)題提出

近日拜讀文1、文2等，文章均認(rèn)為教材的設(shè)計(jì)學(xué)生不易想到，為順應(yīng)學(xué)生的思維最近發(fā)展區(qū)，作者提出對(duì)教材加工整合的教學(xué)設(shè)計(jì)，從而創(chuàng)造性地使用教材.“教師用教材教而不是教教材”、“作教材的開(kāi)發(fā)者，不作教材知識(shí)的搬運(yùn)工”、“以人為本創(chuàng)造性地使用教材”等新課標(biāo)理念深入人心并被積極實(shí)踐.與之俱來(lái)的是，教師對(duì)教材的敬畏之心不斷衰減，缺乏對(duì)學(xué)生困惑原因的深層分析，不能切實(shí)領(lǐng)會(huì)、貫徹教材意圖，無(wú)法實(shí)現(xiàn)學(xué)生能力目標(biāo)的達(dá)成.為防止教材使用異化，下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)，談?wù)剬?duì)相關(guān)問(wèn)題的思考與理解，不足之處，敬請(qǐng)同仁批評(píng)指正.

二、案例分析

案例1 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式.

文1中的案例3（人教A版《數(shù)學(xué)4》（必修）第99頁(yè)例8）：設(shè)點(diǎn)P是線(xiàn)段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是（x1，y1）、（x2，y2）.

圖1

（1）當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：（1）略.

文1認(rèn)為“……，但這樣的解題過(guò)程學(xué)生不容易想到，他們較難想到與原點(diǎn)聯(lián)系起來(lái).經(jīng)過(guò)教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為利用向量相等的坐標(biāo)形式的充要條件來(lái)求解，比較自然.”

人教A版教材沒(méi)有出現(xiàn)“定比分點(diǎn)”的概念，僅在第2.3.4節(jié)的例題中以“探究”的方式出現(xiàn)：“時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么”，并且是用平面向量基本定理選擇作為基底的方式推導(dǎo)的，凸顯平面向量基本定理這一“主干”內(nèi)容，淡化了“定比分點(diǎn)公式”的記憶.另解僅能熟練“平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算”，注重結(jié)論形式化、機(jī)械性操作，思維含量低、出錯(cuò)機(jī)會(huì)大（定必分點(diǎn)向量式利用整體，將坐標(biāo)關(guān)系一鍋出爐，避免瑣碎的四則運(yùn)算），崇尚簡(jiǎn)易本身就是對(duì)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔美的追求，但要注意與學(xué)生的認(rèn)知能力相適應(yīng)，避免“天外來(lái)物”.為什么想不到以原點(diǎn)為起點(diǎn)構(gòu)造向量呢？先看教材第95頁(yè)：“在直角坐標(biāo)平面中，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作，則點(diǎn)A的位置由向量a唯一確定.設(shè)=xi+yj，則向量的坐標(biāo)（x，y）就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，終點(diǎn)A的坐標(biāo)（x，y）也就是向量

案例2 集合間的基本關(guān)系.

文2通過(guò)對(duì)“集合間的基本關(guān)系”的觀(guān)課思考：“參賽教師在教學(xué)中的呈現(xiàn)順序：子集（包含關(guān)系）—集合相等（互為包含關(guān)系）—真子集（真包含關(guān)系），與現(xiàn)行教材中呈現(xiàn)順序是完全一致的.”“為了引導(dǎo)學(xué)生順利地抽象、概括出‘子集’的本質(zhì)屬性，進(jìn)而獲得‘子集’的定義，教師往往先給出幾組具體的集合，每組兩個(gè)集合之間都具有包含關(guān)系，例如：（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；（2）A=N，B=R；（3）A={x|x是兩條邊相等的三角形}，B={x|x是等腰三角形}；（4）A={-2，-3}，B={x|x2+5x+6=0}；（5）A={x|-1

人教A版給出三個(gè)特例，先利用兩個(gè)特例（A芴B）給出子集的概念，然后由第三個(gè)特例給出集合相等（A哿B且B哿A）的概念，接著給出真子集的概念；人教B版先利用三個(gè)特例（A芴B）給出子集的概念，然后給出A埭B，接著給出真子集的概念，最后給出集合相等（A哿B且B哿A）的概念.蘇教版、北師大版均先利用三個(gè)特例（A芴B）給出子集的概念，然后給出集合相等（A哿B與B哿A能否同時(shí)成立，蘇教版以問(wèn)題思考形式呈現(xiàn)），接著給出真子集的概念；湘教版通過(guò)“白馬非馬”的故事說(shuō)明了使用集合的思想和一詞一義的數(shù)學(xué)概念的重要性，接著引進(jìn)子集、集合相等、真子集的概念.當(dāng)前五個(gè)版本教材安排順序與參賽教師大同小異，均為先總后分，而陸學(xué)政老師建議先分后總.

集合是由其元素唯一確定的，故考查兩個(gè)集合之間的關(guān)系必然過(guò)渡到它們所含元素之間的關(guān)系，無(wú)需單獨(dú)搭建臺(tái)階.為了方便對(duì)元素進(jìn)行對(duì)比，首先將其元素“有序化”排列，（自然的）初步印象是兩個(gè)集合是否相等，否則要考慮集合的“質(zhì)量”（元素是誰(shuí)，數(shù)目多寡）；對(duì)于無(wú)限集（A={x|x=4m+1，m∈Z}，B={x|x=4n-3，n∈Z}），列舉法是最直觀(guān)、本質(zhì)的方法，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)集合有公共元素，且元素行走的步調(diào)一致，進(jìn)而判斷兩個(gè)集合相等.可意會(huì)而不能言傳的想法不夠嚴(yán)謹(jǐn)，進(jìn)而探求更加嚴(yán)謹(jǐn)且易操作的方式來(lái)取代這種一一對(duì)比的羅列.需要借助“任意”，利用元素與集合的關(guān)系實(shí)現(xiàn)化歸.

特例可能導(dǎo)致“見(jiàn)花亂欲迷人眼”，特性甚至?xí)杀稳说碾p眼，通過(guò)分析梳理可發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，兩個(gè)集合若不相等？自然地想到集合A與集合B所包含的元素之間的關(guān)系，即集合A的所有（部分）元素是否屬于集合B，集合B的所有（部分）元素是否屬于集合A？滲透著“二分法”分類(lèi)討論思想，共有四種情況：（1）集合A的所有元素屬于集合B，集合B的所有元素屬于集合A；（2）集合A的所有元素屬于集合B，集合B的部分元素屬于集合A；（3）集合A的部分元素屬于集合B，集合B的所有元素屬于集合A；（4）集合A的部分（含0個(gè)）元素屬于集合B，集合B的部分（含0個(gè)）元素屬于集合A.筆者建議讓學(xué)生觀(guān)察前文（教師可多給出）5個(gè)特例，讓其發(fā)現(xiàn)每組兩個(gè)集合之間關(guān)系的共同特征.學(xué)生通過(guò)分析甄別，能夠得出：集合A的所有元素屬于集合B（集合B的所有元素未必屬于集合A），進(jìn)而給出子集的概念；子集定義注重了整體（抽象出真子集和集合相等的共同屬性），考慮到“內(nèi)容”差異，自然想到精細(xì)化處理，利用“交叉屬于”判斷包含關(guān)系，得到真子集、集合相等、不包含定義水到渠成.處理方式為由直觀(guān)（粗）到微觀(guān)（細(xì)），層層遞進(jìn)，完全符合學(xué)生的認(rèn)知和操作.如此處理豐富了真子集的判斷方式（A哿B，B埭A或A哿B，A≠B），深化了對(duì)“任意、存在”等量詞（邏輯意義）的理解，促進(jìn)了學(xué)生分析、解決問(wèn)題能力的提高.大處著眼，小處著手，既實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)，又兼顧了長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.學(xué)生感悟了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，領(lǐng)略了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)與規(guī)范（在后續(xù)的集合運(yùn)算、函數(shù)定義與性質(zhì)、含參數(shù)的方程（不等式）等都要反復(fù)應(yīng)用），實(shí)現(xiàn)了“做中學(xué)”的初步操作等，提高了學(xué)生歸納分析問(wèn)題的能力，發(fā)展了學(xué)生的批判性思維.

文2中的教學(xué)設(shè)計(jì)，起點(diǎn)過(guò)低，規(guī)律一覽無(wú)余；坡度較大，沒(méi)有真子集特例的鋪墊，學(xué)生很難想到利用“交叉屬于”進(jìn)行集合關(guān)系判定，即學(xué)生發(fā)現(xiàn)“交叉屬于”的方法判定兩個(gè)集合相等的難度陡增.而筆者設(shè)計(jì)（教材設(shè)計(jì)的適度改造）要求學(xué)生具備一定的觀(guān)察、分析、歸納、概括的能力，即透過(guò)繁雜的現(xiàn)象思辨、提煉問(wèn)題的共性，有利于學(xué)生利用聯(lián)系與差異進(jìn)行模式識(shí)別.

三、教學(xué)思考

1.樹(shù)立準(zhǔn)確數(shù)學(xué)觀(guān)

數(shù)學(xué)教師如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)是什么，有什么特性，有什么作用等），決定了其教學(xué)的方式與對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要求，即教師的數(shù)學(xué)觀(guān)決定教學(xué)觀(guān).如很多數(shù)學(xué)教師認(rèn)為上課一定要用有真實(shí)背景的數(shù)學(xué)情境引入新課，很難完全做到.因?yàn)樵S多數(shù)學(xué)知識(shí)不是從生產(chǎn)、生活實(shí)際中產(chǎn)生的，而是源于數(shù)學(xué)本身發(fā)展而產(chǎn)生的.如負(fù)數(shù)的產(chǎn)生，就是人們?cè)谧鰷p法時(shí)，發(fā)現(xiàn)不夠減，數(shù)學(xué)家就規(guī)定了用負(fù)數(shù)來(lái)表示差.又如“基本思想主要是指演繹和歸納，這應(yīng)當(dāng)是整個(gè)教學(xué)的主線(xiàn)，是最上位的知識(shí)”（史寧中語(yǔ)）.但在教學(xué)中，很多教師認(rèn)為歸納一定比演繹更接近學(xué)生認(rèn)知，從而凡事皆歸納.任何數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)要根據(jù)內(nèi)容、學(xué)生認(rèn)知等來(lái)確定教學(xué)法，而不能從一個(gè)極端走向另一個(gè)極端.數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)源自教師良好的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，多讀些科普作品、研究數(shù)學(xué)史料、文學(xué)作品等有利于提高對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，居高才能臨下.

2.樹(shù)立正確教材觀(guān)

教材是國(guó)家課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)的主要載體，是學(xué)生在校學(xué)習(xí)的主要資源，是教師進(jìn)行課堂教學(xué)的重要依據(jù)，是教學(xué)的工具和抓手.教材是學(xué)科課程專(zhuān)家和編者集體智慧的結(jié)晶，其科學(xué)性、權(quán)威性毋庸置疑，可謂字字珠璣，言之鑿鑿.作為最基本的課程資源，理應(yīng)在教學(xué)中發(fā)揮中流砥柱的作用.［3］隨著教學(xué)時(shí)間和進(jìn)度的推移，教材在教學(xué)中的作用似乎越來(lái)越小，甚至要承受較多的責(zé)難.如很多教師將學(xué)生想不到、學(xué)不好的原因直接歸咎于教材設(shè)計(jì).學(xué)生為什么想不到？可能是學(xué)生知識(shí)的深度、廣度與學(xué)生的認(rèn)知水平之間存在差異，也與教師給出的時(shí)間、空間不足，啟發(fā)方式不當(dāng)息息相關(guān).

對(duì)待教材的正確態(tài)度是：（1）要深刻理解教材的設(shè)計(jì)意圖.建議教師通過(guò)整套教材弄清楚（整套）教材的邏輯編排體系和編者的編寫(xiě)意圖，然后以章節(jié)為單位進(jìn)行備課，逐步樹(shù)立教師的整體觀(guān)念，最后具體到每一節(jié)的備課.即宏觀(guān)上理清思路，微觀(guān)上推敲細(xì)節(jié).（2）在尊重教材的前提下對(duì)教材進(jìn)行“再加工”.現(xiàn)在是一個(gè)以人為本、彰顯特性的時(shí)代.教材不再神圣，教師也不甘做教材的“仆人”，學(xué)生也樂(lè)于對(duì)教材提出質(zhì)疑與挑戰(zhàn).但教材是要被尊重的，因?yàn)榻滩牡幕竟δ堋⑺N(yùn)藏的本質(zhì)內(nèi)涵及其所折射出的深遠(yuǎn)意義等靈魂性的東西，是其他文本資料無(wú)法比擬的.限于篇幅和受眾的廣泛性，教材編寫(xiě)遵循著“少而精”的原則.教材內(nèi)容的簡(jiǎn)約性和學(xué)生思維的差異性表明教師對(duì)教材進(jìn)行加工創(chuàng)造是必要（需）的.“創(chuàng)造性地使用教材”是教師深刻理解教材，改造和重組教材不能改變?cè)滩牡囊鈭D和所承載的目標(biāo).如案例1的調(diào)整降低了教學(xué)要求，淡化了問(wèn)題本質(zhì)，將知識(shí)（邏輯）的整體連貫異化為單純的運(yùn)算操練；案例2的調(diào)整，漠視了學(xué)生的觀(guān)察能力、分析能力、抽象概括能力的培養(yǎng)，肆意拔高了“交叉屬于”.整合教材、活用教材、發(fā)展教材、完善教材，必先做到尊重教材，做好執(zhí)行教材的工作，不可主觀(guān)臆斷，深思熟慮后方可謹(jǐn)慎踐行.在理解教材前提下，圍繞目標(biāo)教學(xué)中，要善于捕捉生成，開(kāi)拓創(chuàng)新，優(yōu)化課堂教學(xué).

3.樹(shù)立全新教學(xué)觀(guān)

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，課堂教學(xué)要民主，核心內(nèi)容為培養(yǎng)學(xué)生思維，注重差異分類(lèi)指導(dǎo)等觀(guān)點(diǎn)已經(jīng)形成共識(shí)，知識(shí)是一個(gè)整體，和諧統(tǒng)一.教育成功的智慧在于找到教育的支點(diǎn)，去撬起學(xué)生的能力發(fā)展和生命成長(zhǎng).教育支點(diǎn)的影響因素很多，教材是其重要的因素，教材的準(zhǔn)確理解是高效教學(xué)的前提.解讀教材要“入乎其內(nèi)”，更要“出乎其外”.［4］學(xué)生是教師服務(wù)的對(duì)象，學(xué)生能更好的學(xué)是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn).案例1中，教師可駐足常留，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)“定比分點(diǎn)公式”，讓學(xué)有余力的同學(xué)認(rèn)識(shí)到點(diǎn)P的“軌跡”為直線(xiàn)AB（即定比分點(diǎn)公式可視為直線(xiàn)的參數(shù)方程之一）；案例2中，學(xué)生已經(jīng)自然地將上述材料分成兩類(lèi)：“材料（3）與（4）中，兩個(gè)集合是相等的，因?yàn)樗鼈兊臉?gòu)成元素完全相同；材料（1）、（2）、（5）中，集合A中的每一個(gè)元素集合B都有，但集合B中有的元素集合A沒(méi)有.”［2］學(xué)生自覺(jué)利用差異分析，大腦在飛速轉(zhuǎn)動(dòng)，思維在不斷轉(zhuǎn)換，含苞未放的“花骨朵”即將綻開(kāi).令人遺憾的是，聚焦課堂教學(xué)密度、強(qiáng)度、進(jìn)度的參賽教師行色匆匆，忘記了（教學(xué)）出發(fā)的目的.教學(xué)是有起點(diǎn)而沒(méi)有終點(diǎn)的旅程，以“學(xué)為中心”展開(kāi)的教學(xué)，多給學(xué)生思考的時(shí)間、交流的空間、表達(dá)的機(jī)會(huì)，慢等花開(kāi)時(shí)處處是迷人的風(fēng)景.

4.樹(shù)立自主學(xué)習(xí)觀(guān)

自主學(xué)習(xí)觀(guān)是指學(xué)習(xí)者要把自己當(dāng)成學(xué)習(xí)活動(dòng)的主人，掌握學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)，從而積極、主動(dòng)且創(chuàng)造性地進(jìn)行學(xué)習(xí).其要義是學(xué)習(xí)主體對(duì)學(xué)習(xí)客體主動(dòng)探索、不斷創(chuàng)新，從而不斷發(fā)現(xiàn)客體新質(zhì)、不斷改進(jìn)已有認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程.自主學(xué)習(xí)意識(shí)的強(qiáng)弱與落實(shí)的程度決定著學(xué)生學(xué)習(xí)的好壞.教學(xué)就是教學(xué)生學(xué)習(xí).在教學(xué)中要充分發(fā)揮教師的示范作用，教師要強(qiáng)化自主學(xué)習(xí)觀(guān)，以教材為載體，抓住契機(jī)，指導(dǎo)學(xué)生如何對(duì)教材（各個(gè)欄目）進(jìn)行解讀、探究、反思等.數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性就是該類(lèi)事物變化當(dāng)中保持不變的屬性.數(shù)學(xué)概念教與學(xué)一直困擾著師生，如何讓學(xué)生從繁雜的現(xiàn)象中辨認(rèn)出問(wèn)題的本質(zhì)？需要學(xué)生有較強(qiáng)的觀(guān)察、分解、整合等能力，在此過(guò)程中，學(xué)生的非智力因素（決心和情緒等）也起著重要的作用.貝弗里奇在《科學(xué)研究的藝術(shù)》中指出：“必須懂得所謂觀(guān)察不止是看見(jiàn)事物，還包括思維過(guò)程在內(nèi).一切觀(guān)察都含有兩個(gè)因素；（1）感官直覺(jué)因素（通常是視覺(jué)）；（2）思維因素.”經(jīng)過(guò)訓(xùn)練的觀(guān)察者總是有意識(shí)地搜尋根據(jù)所受教育認(rèn)為有價(jià)值的具體事物，這也是解題審題的關(guān)鍵之所在.教師幫助解決教材的例、習(xí)題時(shí)，要讓學(xué)生領(lǐng)悟觀(guān)察的原則（觀(guān)察的選擇性、靈活性、準(zhǔn)確性、目的性、完備性），熟悉常見(jiàn)的觀(guān)察方法（如解剖觀(guān)察、對(duì)比觀(guān)察、聯(lián)系觀(guān)察、改變思維定勢(shì)觀(guān)察、聯(lián)想觀(guān)察等）等，［5］使學(xué)生遇到陌生問(wèn)題時(shí)，能通過(guò)自己的辨別能力進(jìn)行科學(xué)性的判斷，進(jìn)而選擇合適的解決方案.兩個(gè)案例設(shè)計(jì)者均沒(méi)有示范觀(guān)察、思考、提煉的過(guò)程，學(xué)生的思維沒(méi)能得到錘煉與強(qiáng)化，相應(yīng)地，能力也不可能得到提高，“懂而不會(huì)”想象就此產(chǎn)生.

“越是基礎(chǔ)性的概念，其統(tǒng)攝性就越強(qiáng)，應(yīng)用范圍就越廣，學(xué)生從中領(lǐng)悟到的數(shù)學(xué)就越本質(zhì)，所形成的思維方式、養(yǎng)成的思維習(xí)慣對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展也就越有根本性的影響.”［6］教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)應(yīng)該是鉆研教材，了解知識(shí)背景及其蘊(yùn)含的學(xué)科思想，分析學(xué)生思維發(fā)展水平，把握思維觸動(dòng)點(diǎn)；教學(xué)設(shè)計(jì)的歸宿點(diǎn)應(yīng)該是設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程中的核心問(wèn)題，充分挖掘概念的本質(zhì)內(nèi)涵，為學(xué)生構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程.［7］在充分理解教材的基礎(chǔ)上，結(jié)合自己對(duì)教學(xué)、學(xué)生的理解與掌握，實(shí)施并優(yōu)化“個(gè)性化”教學(xué).

1.楊旭燕.認(rèn)識(shí)實(shí)踐創(chuàng)新——“平面向量”一章的教學(xué)分析與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2015（5）.

2.陸學(xué)政.“集合間的基本關(guān)系”觀(guān)課思考與教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2015（5）.

3.鄭良.奇思妙想始于自然 一脈相承源于教材［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2014（8）.

4.王峰.解讀教材要“入乎其內(nèi)”，更要“出乎其外”——“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程”教學(xué)之隨想［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（上），2015（3）.

5.傅世球，孟華.觀(guān)察的教學(xué)藝術(shù)［J］.河北理解教學(xué)研究，2002（1）.

6.章建躍，陶維林.注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（6）.

7.祝敏芝.為構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程而設(shè)計(jì)——課例“平面向量基本定理”評(píng)析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2015（5）.

8.方厚良.對(duì)新課改下高中數(shù)學(xué)教材研究的一些思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（3）.