●湖北省武漢市華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 周龍虎

對習(xí)題講解過程中滲透數(shù)學(xué)思想與方法的思考

●湖北省武漢市華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 周龍虎

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的制高點(diǎn)，奪取它則需靠數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法總寄居在數(shù)學(xué)知識內(nèi)部.因而，解數(shù)學(xué)題不能只停留在“會解”、“優(yōu)解”等層面，要深挖其背后的數(shù)學(xué)思想方法，做到真正的“既懂又會”.

習(xí)題課是實(shí)施有效滲透數(shù)學(xué)思想與方法的一大主陣地，好的習(xí)題課至少都有以下幾個(gè)共同的標(biāo)準(zhǔn)：（1）優(yōu)質(zhì)的習(xí)題，有代表性，內(nèi)蘊(yùn)多種數(shù)學(xué)思想方法；（2）習(xí)題的講解順其自然，不急不慢，數(shù)學(xué)思想的提煉合乎情理，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)；（3）數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)不囿于所講的特定題型，具有可遷移性.筆者對習(xí)題講解過程中數(shù)學(xué)思想與方法的滲透有一些淺見，整理出來，以期與同行分享.

一、突顯核心數(shù)學(xué)思想方法

文1中闡述到數(shù)學(xué)學(xué)院的幾位師范生都依次講解了以下三個(gè)問題.

筆者也贊同這種想法，不加鋪墊地貿(mào)用某種數(shù)學(xué)思想方法無異于“從帽子里變兔子”，是很要不得的.為何師范生和更多學(xué)生看到條件“sinα=-（或“tanα=1”或“tanα=m”）”會條件反射似地想到分類討論呢？函數(shù)思想在作怪！已知三角函數(shù)值，自然會想到探求自變量，但基于三角函數(shù)是多對一的對應(yīng)關(guān)系的考慮，分類討論可能

問題2：已知tanα=1，求cosα，sinα.

問題3：已知tanα=m，求cosα，sinα.

其普遍做法是對α的終邊位置進(jìn)行討論，再逐一求得其他的不同名三角函數(shù)值.文1認(rèn)為對于角的分類討論不是必須的，同角三角函數(shù)基本關(guān)系體現(xiàn)的應(yīng)是“知一求二”的方程思想.會麻煩些，因而我們使用同名三角函數(shù)基本關(guān)系這一普適性結(jié)論會更簡潔些，通過對這個(gè)問題背后的兩種主導(dǎo)的數(shù)學(xué)思想的明晰和對比，發(fā)現(xiàn)方程思想的運(yùn)用優(yōu)于函數(shù)思想（方程思想是核心思想），師范生和學(xué)生才可能真正“知其所以然”.但使用分類討論也并非沒有好處，至少在研究角（弧度）與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系時(shí)有效鞏固了每個(gè)象限內(nèi)角的三角函數(shù)值的正負(fù)這一知識點(diǎn)，入微才能悟真.學(xué)生不親歷分類討論這一過程，即使內(nèi)心上認(rèn)可了方程思想的精確性，保不定下一次又會“邁進(jìn)分類討論這條河流”.因而，習(xí)題課中學(xué)生的觀念和想法要先行，教師才能進(jìn)行干預(yù)并引導(dǎo).這也側(cè)面闡明了“為什么習(xí)題課難上”的原因，習(xí)題課好比開放式作文，教學(xué)目標(biāo)不必由本章或本節(jié)內(nèi)容設(shè)定.不同的例習(xí)題有不同的教學(xué)用途，甚至相同的例習(xí)題也能發(fā)揮不同的功效，關(guān)鍵是對背后數(shù)學(xué)思想的挖掘，只要教師能說得通，學(xué)生能理解得了且會簡單運(yùn)用，由知識上升到思想與方法的意圖就達(dá)成了.

下面試舉一例說明突顯核心數(shù)學(xué)思想的重要性.

例1 如圖1，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，M為CC1的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：A1O⊥平面MBD.

在“直線與平面垂直的判定”習(xí)題課中，選用該例題的目的是它從多個(gè)方面可以判定線

面垂直，或通過位置關(guān)系（線面垂直與線線垂直）的轉(zhuǎn)化，或通過度量關(guān)系的說明來證明.

可以說是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，但絕不能成為該節(jié)習(xí)題課的主打數(shù)學(xué)思想.本節(jié)課的核心數(shù)學(xué)思想還應(yīng)是轉(zhuǎn)化思想，因而不能“劍走偏鋒”.值得注意的是，其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想還是要顯現(xiàn)出來，不然學(xué)生容易產(chǎn)生“某些特定的數(shù)學(xué)知識對應(yīng)某些數(shù)學(xué)思想方法”的刻板印象，不利于知識間的遷移，不利于數(shù)學(xué)能力的形成與提升，如2014年江西高考理科卷第10題正是對數(shù)形結(jié)合思想的巧妙考查.

圖1

二、滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法要講究循序漸進(jìn)原則

再成功的一節(jié)習(xí)題課，都不敢篤定學(xué)生在40~45分鐘內(nèi)對課堂所學(xué)知識達(dá)成靈活運(yùn)用的地步了，課堂教學(xué)是一門“慢”的藝術(shù).知識間關(guān)系需要理順，背后的思想需要揭示，同類型問題需要鞏固練習(xí)，每一個(gè)環(huán)節(jié)都需要消化，才好吸收.敢說學(xué)生如果真正掌握了如何在問題中提煉數(shù)學(xué)思想方法，必然要經(jīng)歷“悟”→“練”→“悟”→“練”的過程，要知道把思想轉(zhuǎn)進(jìn)腦袋形成新思想并加以運(yùn)用是多么困難的事情.文1中從問題1、2到問題3的跨度，不僅僅只是把具體數(shù)字改成不定參數(shù)了，是常量向變量的飛越.彭翕成老師甚至談到一個(gè)現(xiàn)象“連很多教師都不能接受對方程x2-2xsin=0使用判別式這一做法，理由就是該方程不是一元二次方程”，何況我們的學(xué)生呢？

下面從兩個(gè)方面加以說明滲透與提煉數(shù)學(xué)思想方法的循序漸進(jìn)原則.

1.“圓錐曲線”章節(jié)習(xí)題課的問題串設(shè)計(jì)方案

例2 如圖2，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于M點(diǎn)，且它們的斜率之積是求點(diǎn)M的軌跡方程.（選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版數(shù)學(xué)（以下簡稱教材）《數(shù)學(xué)2-1》第41頁例3）

圖2

教師引導(dǎo)學(xué)生思考，猜想橢圓的另一生成方式（一般規(guī)律）并加以證明：

結(jié)論1：平面中動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的斜率之積為負(fù)定值的點(diǎn)的軌跡的集合為橢圓，其中定點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn).

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的探究，順理成章地提出下面的例題：

變式1：兩定點(diǎn)如果換成長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，結(jié)論還成立嗎？

變式2：兩定點(diǎn)如果換成短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，結(jié)論還成立嗎？

由特殊到一般，猜想并證明.

圖3

得到結(jié)論2后，不急于推進(jìn)課程，而是展示出學(xué)生練習(xí)中的相關(guān)結(jié)論3，請學(xué)生回過頭再思考，試圖運(yùn)用結(jié)論2給出結(jié)論3的幾何解釋，如圖3.結(jié)論3：設(shè)AB是橢圓的不垂直于對稱軸的

結(jié)論4：已知雙曲線a>0，b>0）上任一點(diǎn)

P（x，y） 到雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的任兩點(diǎn)（x0，y0），（-x0，-y0）連線的斜率之積為定值

同類型曲線進(jìn)行類比探究，提出問題：類似的結(jié)論在雙曲線中還成立嗎？

為鞏固習(xí)題練習(xí)中的探究發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的由特殊到一般（或一般到特殊）的數(shù)學(xué)思想、逆向思維及類比思想，選用2009年遼寧高考數(shù)學(xué)文科卷第22題及2011年江蘇高考數(shù)學(xué)卷第18題作為練習(xí)反饋.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.

例5 （2011年江蘇）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓1的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k.

圖4

（1）若直線PA平分線段MN，求k的值；

（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；

（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB．

當(dāng)然，也有讀者會質(zhì)疑：“猜想得到核心結(jié)論2有必要如此大費(fèi)周章嗎？已知圓中直徑AB（不垂直于坐標(biāo)軸）及圓上任一點(diǎn)C，則有kAC·kAB=-1，即直徑所對的圓周角總是直角.利用橢圓與圓的性質(zhì)類比不就可以輕松得到嗎？”但若離開了教師的引導(dǎo)，又有多少學(xué)生能自發(fā)地類比圓和橢圓的性質(zhì)了，這絕對比類比橢圓與雙曲線的性質(zhì)或者等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)要難得多.因而，在知識的發(fā)生發(fā)展階段，在多種數(shù)學(xué)思想的碰撞下，這個(gè)周期稍長點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想方法的滲透也會更深入些.

2.“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”章節(jié)復(fù)習(xí)課某例題的講解實(shí)錄

例6 如圖5，已知在三棱錐P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC.求證：PC⊥AB.

圖5

圖6

師：既然大家已經(jīng)對線面關(guān)系中的轉(zhuǎn)化思想掌握得不錯(cuò)了，并且對兩平面的交線又有了獨(dú)到的認(rèn)識，我們一起來看應(yīng)該怎樣解決.

師：我們的證明目標(biāo)是線線垂直，屬于垂直關(guān)系的“底層”，我們應(yīng)該怎樣轉(zhuǎn)化？

生：轉(zhuǎn)化為用線面垂直或面面垂直證明.

師：怎么構(gòu)造線面垂直？已知PA⊥BC，不妨選擇BC作為線面垂直中的直線，PA作為平面內(nèi)的直線，還需要什么？

生：此平面內(nèi)的另一條相交直線與已知直線垂直？

師：怎么作？

生：過A點(diǎn)作AD垂直BC于點(diǎn)D，連接PD，則BC⊥面PAD.

師：同樣地，根據(jù)PB⊥AC，我們也可以過B點(diǎn)作BE垂直AC于點(diǎn)E，連接PE，則AC⊥面PBE.得到這兩個(gè)結(jié)論，有什么用嗎？我們把BE與AD的交點(diǎn)記為O，如圖6.

生：面PBE與面PAD的交線是PO，則PO⊥BC且PO⊥AC，那么PO⊥面ABC.

師：很好.那么聯(lián)系我們的目標(biāo)PC⊥AB，我們可以得到什么結(jié)論？

生：PO⊥AB.

師：而PO與PC確定了平面POC，我們現(xiàn)在就只需要證明AB⊥平面POC，而OC與AB有什么關(guān)系？

生：垂直！

師：根據(jù)什么？

生：三角形的三條高交于一點(diǎn).

師：所以AB⊥平面POC.具體證明過程如下：

證明：過A點(diǎn)作AD垂直BC于點(diǎn)D，連接PD.

因?yàn)锽C⊥PA，BC⊥AD，PA∩AD=A，PA奐面PAD，AD奐面PAD，

所以BC⊥面PAD.

過B點(diǎn)作BE垂直AC于點(diǎn)E，連接PE.

因?yàn)锳C⊥PB，AC⊥BE，PB∩BE=B，PB奐面PBE，BE奐面PBE，

所以AC⊥面PBE.

記AD與BE的交點(diǎn)為O點(diǎn)，

則PO=面PBE∩面PAD.

所以PO⊥BC且PO⊥AC.

易得PO⊥面ABC.

所以PO⊥AB.

由三角形的三條高交于一點(diǎn)，

可知OC⊥AB.

所以AB⊥面POC.

又PC奐面POC，

所以AB⊥PC.

選用該例題是為了強(qiáng)化線面垂直關(guān)系中的轉(zhuǎn)化思想，從問題結(jié)論出發(fā)，一步步由定理轉(zhuǎn)化得到另一個(gè)問題，內(nèi)蘊(yùn)分析法的證明思路.但很多老師對這個(gè)題的講解不是按照上面的探究思路展開的，而是直接作PO⊥底面ABC交底面于O點(diǎn)，再證明其是△ABC的垂心，不是容易多了嗎？何必要反其道而行之，庸人自擾呢？其實(shí)不然，筆者對部分學(xué)生做過訪談?wù){(diào)查，很多學(xué)生根本說不清為什么要直接先找頂點(diǎn)在底面上的射影，但感覺這樣做會使問題顯得簡單不少.不難揣測，研究錐體的外接球半徑時(shí)，學(xué)生有過找頂點(diǎn)在底面上射影的經(jīng)驗(yàn)；求直線與平面所成的角時(shí)有過作平面的垂線的經(jīng)驗(yàn)，因而產(chǎn)生了模糊的類比遷移.

但問題中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想是我們要一步一個(gè)腳印詮釋清楚并自我解讀清楚的，否則離真正的理解還是很遙遠(yuǎn)的.

1.童楊平，徐章韜.在習(xí)題的講解過程中滲透數(shù)學(xué)的思想與方法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（4）.