●廣東省興寧市第一中學(xué) 藍(lán)云波

對(duì)2015年湖北高考立體幾何試題的探究

●廣東省興寧市第一中學(xué) 藍(lán)云波

自2004年自主命題以來(lái)，湖北省高考數(shù)學(xué)試題都頗具特色，十多年來(lái)已形成了自己特有的風(fēng)格.特別是立體幾何試題，注重?cái)?shù)學(xué)文化，特別是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化；注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的考查；注重空間想象能力的考查.2015年湖北理科數(shù)學(xué)的立體幾何解答題延續(xù)了這一風(fēng)格，頗具特色.

2015年高考湖北卷理科數(shù)學(xué)第19題為：

《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

如圖1，在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過(guò)棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE、DF、BD、BE.

（1）證明：PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑.若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由.

圖1

一、試題賞析

此題具有濃郁的數(shù)學(xué)文化氣息，由中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》出發(fā)，引出其中的兩個(gè)重要幾何概念——陽(yáng)馬和鱉臑，然后圍繞這兩個(gè)概念進(jìn)行試題的建構(gòu)，令人耳目一新，別具一格.長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中處于弱勢(shì)地位，認(rèn)為無(wú)足輕重，可有可無(wú)，這其實(shí)是值得商榷的，因?yàn)樾抡n程標(biāo)準(zhǔn)明確把“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”作為數(shù)學(xué)課程的基本理念.不注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透，這在一定程度上影響了數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育.所幸近年來(lái)各地試題在這方面有所重視和體現(xiàn)，如此題就很好地體現(xiàn)了這一點(diǎn).

此題考查了立體幾何中的主干知識(shí)與基本思想方法.以錐體為載體，考查了直線與平面垂直的判定、二面角的求法等核心考點(diǎn)，體現(xiàn)出高考重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考查的原則.對(duì)學(xué)生空間想象能力的考查比較深入，是一道能較好甄別出學(xué)生知識(shí)能力水平的一道好題，并具有一定的區(qū)分度.

二、解法探究

在近年的高考試題中，立體幾何常常以錐體或柱體為載體，命題呈現(xiàn)一題兩法的新格局.一直以來(lái)，立體幾何解答題都是讓廣大學(xué)生又喜又憂.為之而喜是因?yàn)橹灰芙⒖臻g直角坐標(biāo)系，基本上可以處理立體幾何絕大多數(shù)的問(wèn)題；為之而憂是因?yàn)閷?duì)于不規(guī)則圖形來(lái)講，建系的難度較大，問(wèn)題不能得到很好的解決，而運(yùn)用傳統(tǒng)方法，要作學(xué)生較為畏懼的多條輔助線.

1.傳統(tǒng)法

第一問(wèn)考查直線與平面垂直的判定，此題思路清晰，利用逆向思維不難獲得證明，逆向思維是解決立體幾何命題的證明的利器.第二問(wèn)是無(wú)棱二面角的余弦值的求解，傳統(tǒng)方法是先作出棱，然后利用定義法、垂面法、三垂線定理法、間接法、等體積法等解決，結(jié)合本題，運(yùn)用定義即可快速求解，如解法1.另外一種做法是通過(guò)平面平移，求出等價(jià)的二面角的大小，如解法2.還可以用射影面積法，如解法3.

（1）解法1：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.

由底面ABCD為長(zhǎng)方形，得BC⊥CD.又PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD.又DE奐平面PCD，所以BC⊥DE.因?yàn)镻D=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC.而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC.而PB奐平面PBC，所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩EF=E，所以PB⊥平面DEF.

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB、∠DEF、∠EFB、∠DFB.

（2）解法1：如圖2，在面PBC內(nèi)，延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線.

由（1）知PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD.故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角.

圖2

解法2：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CM∥EF，CM交PB于點(diǎn)M，再過(guò)點(diǎn)M作MN∥FD，MN交DB于點(diǎn)N，連接CN.

因?yàn)镃M∥EF，CM埭平面DEF，EF奐平面DEF，所以CM∥平面DEF.同理MN∥平面DEF.又CM∩MN=M，CM、MN奐平面MNC，所以平面DEF∥平面MNC.由（1）知PB⊥平面DEF，所以PB⊥平面MNC.所以PB⊥NC.由PD⊥平面ABCD，得PD⊥NC，而PB∩PD=P，所以CN⊥平面PDB.故∠MNB是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角.在Rt△PDB中，由MN⊥PB，得∠DPF=∠MNB=，下同（2）的解法1.

圖3

解法3：如圖4，分別過(guò)點(diǎn)F、E作FM⊥DB于點(diǎn)M，EN⊥DC于點(diǎn)N，連接MN.所以FM∥PD，EN∥PD.又PD⊥平面ABCD，所以FM⊥平面ABCD，EN⊥平面ABCD.故

圖4

此題用射影面積法似乎較為煩瑣，但有時(shí)候用起來(lái)卻游刃有余.如2015年高考福建理科數(shù)學(xué)第17題.

變式：如圖5，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G、F分別是線段BE、DC的中點(diǎn).

（1）求證：GF∥平面ADE；

（2）求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.

注：除了運(yùn)用射影面積法，此題當(dāng)然還可以運(yùn)用上述的解法1、解法2解決.

2.空間向量法

建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量是解決立體幾何問(wèn)題的另一利器.此題顯然建系容易，適合此法.

（1）解法2：如圖6，以D為原點(diǎn)，射線DA、DC、DP分別為x、y、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=DC=1，BC=λ，則D（0，0，0）、P（0，0，1）、

圖5

圖6

PB⊥DE.又已知EF⊥PB，而DE∩EF=E，所以PB⊥平面則DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB、∠DEF、∠EFB、∠DFB.

三、題源分析

做完此題后，筆者總是感覺(jué)此題似曾相識(shí)，通過(guò)查閱相關(guān)資料，確實(shí)如此.2015年湖北高考立體幾何解答題顯然改編自2004年天津市理科數(shù)學(xué)第19題.

題源1 （2004年天津市高考理科第19題）如圖7，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

（1）證明PA∥平面EDB；

（2）證明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C-PB-D的大小.

圖7

此題第二問(wèn)考查了無(wú)棱二面角，事實(shí)上，教材上也有此種類型的習(xí)題.

題源2 （人教A版選修2-2教材第119頁(yè)）如圖8，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=0.5.

（1）求四棱錐S-ABCD的體積；（2）求面SCD與面SAB所成二面角的大小.

圖8

四、教學(xué)反思與建議

通過(guò)對(duì)2015年湖北高考立體幾何解答題的分析，筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)做到以下三點(diǎn).

1.注重?cái)?shù)學(xué)文化的傳播

教師切不可認(rèn)為數(shù)學(xué)文化的教學(xué)與教學(xué)成績(jī)的提高沒(méi)有必然聯(lián)系.事實(shí)上，數(shù)學(xué)文化能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，起到不可估量的作用.教材中有大量的數(shù)學(xué)文化知識(shí)可以利用，可以在提高學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的同時(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和技能.

2.教師要注重學(xué)生一題多解、一解多題能力的訓(xùn)練

這對(duì)學(xué)生的思維能力的提高具有不可替代的作用.這樣能發(fā)散學(xué)生的思維，防止思維定勢(shì)，對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)大有裨益.

3.教師要注重典型例題的分析和變式訓(xùn)練

筆者通過(guò)對(duì)近年的高考試題的分析，發(fā)現(xiàn)近年有大量源于課本、源于經(jīng)典高考試題的改編試題，除了本文分析的試題源于天津高考試題，如今年廣東高考解析幾何試題只是在課本習(xí)題的基礎(chǔ)上，加了第三問(wèn)，再如2013年遼寧省高考立體幾何試題也是如此.高考之所以會(huì)這樣改編，是因?yàn)榈湫蛦?wèn)題在培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力方面具有重要作用.典型問(wèn)題實(shí)際上就是題根，而題根具有舉一反三的功效.A