●甘肅天水市第一中學(xué) 宮前長

善思廣學(xué)解讀教材，深究求通提升效率
——人教A版高中數(shù)學(xué)“幾何概型”教材研讀與教學(xué)思考

●甘肅天水市第一中學(xué) 宮前長

“幾何概型”是人教A版數(shù)學(xué)必修3第三章第三節(jié)，新課標(biāo)要求了解幾何概型的定義，初步體會幾何概型及其基本特點；會運用幾何概型的概率計算公式求解簡單的幾何概型的概率問題；能夠正確區(qū)分幾何概型及古典概型.要求在教學(xué)中抓住概念進(jìn)行識別、模仿，把握會求、會解等行為動詞的教學(xué)作用和教育價值.因此，“幾何概型”的教學(xué)如何準(zhǔn)確定位、把握就顯得尤為重要了.如何讓學(xué)生學(xué)習(xí)幾何概型時激起學(xué)習(xí)“激情”和“熱情”，產(chǎn)生“動力”呢？

一、善思：整體把握

1.教材編寫思路的把握

幾何概型是在古典概型基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展研究的結(jié)果，是等可能事件的概念從“有限”向“無限”延伸的一種數(shù)學(xué)模型.本章利用隨機(jī)事件的頻率給出概率的定義與性質(zhì)，給出兩個概率模型（古典概型和幾何概型）下概率的計算公式與兩種產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法（試驗產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)和計算器或計算機(jī)產(chǎn)生的“偽”隨機(jī)數(shù)），同時通過閱讀和思考欄目加深對隨機(jī)現(xiàn)象的理解，進(jìn)而逐步深入認(rèn)識隨機(jī)現(xiàn)象，有利于兩種概率模型的應(yīng)用.幾何概型不同于古典概型，其區(qū)別在于試驗的結(jié)果是“有限個”還是“無限個”.利用幾何概型很容易舉例說明概率為0的事件不是不可能事件，概率為1的事件不是必然事件.

2.幾何概型難點的把握

根據(jù)新課標(biāo)理念和教材編寫特征，重點要理解幾何概型的定義、特點，會求解其概率，注意如何把握難點，即如何處理由古典概型的概率計算公式類比推導(dǎo)出幾何概型的概率計算公式，以及如何將實際問題幾何化，進(jìn)行建模.教學(xué)中要思考如何從幾何概型的知識呈現(xiàn)、識記、闡述、理解和計算等層面上升到數(shù)學(xué)學(xué)科高度和數(shù)學(xué)探究層面的思考，發(fā)揮其教育、教學(xué)價值.

3.幾何概型難度的把握

概率研究隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小問題，既有隨機(jī)性，又有規(guī)律性，是學(xué)生學(xué)習(xí)、理解概念的難點.新課標(biāo)要求“了解幾何概型的意義”，就是要求對幾何概型的含義有初步的、感性的認(rèn)識，知道幾何概型這一知識內(nèi)容是什么，按照一定的程序和步驟照樣模仿，并能（或會）在有關(guān)的計算問題中識別和認(rèn)識它.

4.例題、習(xí)題的把握

本節(jié)教材中配備的例題和習(xí)題中，有固定轉(zhuǎn)盤問題、打開收音機(jī)報時問題、兩人約會問題等，充分體現(xiàn)了概率問題源于現(xiàn)實生活情境，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化價值.教學(xué)時要多聯(lián)系實際生活，同時激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何概型的積極性，采用模擬的方法得到概率的估計值.

例題1強(qiáng)調(diào)能夠把生活實際問題抽象為幾何概型，在0～60分鐘之間的任何一點，打開收音機(jī)都是等可能的，在哪個時間段打開收音機(jī)的概率只與該時間段的長度有關(guān)，而與該時間段的位置無關(guān)，符合幾何概型的特征，容易求得概率值.

5.結(jié)合學(xué)情，把握目標(biāo)指向

前面學(xué)習(xí)了概率及古典概型的概念，對概率有了一定的了解，并掌握了對概率的求法.讓學(xué)生經(jīng)歷將一些實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的過程（建模），探求正確應(yīng)用幾何概型的概率計算公式解決問題的方法（解模），體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系（等可能基本事件個數(shù)從有限到無限的過渡），增強(qiáng)幾何概型在解決實際問題中的應(yīng)用意識，體會、分辨幾何概型與古典概型的區(qū)別與聯(lián)系，感受幾何概型的重要性和必要性，感知生活中的數(shù)學(xué)，體會數(shù)學(xué)文化，達(dá)到學(xué)習(xí)幾何概型的目的，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、廣學(xué)：解讀教材

1.教材地位與作用

幾何概型是人教A版數(shù)學(xué)必修3第三章第二節(jié)，它前承接古典概型，后延續(xù)了概率的應(yīng)用，在概率部分起到承上啟下的作用，進(jìn)一步加深了概率概念的理解（一次試驗中出現(xiàn)的基本事件的個數(shù)的有限與無限所對應(yīng)的不同的概率模型）.讓學(xué)生在幾何概型的學(xué)習(xí)中，能夠提煉出均勻分布（一種常用的連續(xù)型分布，教材必修3中沒有給出隨機(jī)變量的定義），深刻體會為什么要新增幾何概型內(nèi)容的意義和重要作用.

2.理解教材的定義

理解幾何概型定義時要抓住其特征：無限性（即一次試驗中，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果“基本事件”有無限多個）和等可能性（即每個基本事件發(fā)生的可能性均相等）．掌握幾何概型的計算公式：概率P（A）=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）與試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）的比值，注意：用幾何概型的計算公式計算概率時，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件所對應(yīng)的幾何圖形，并對幾何圖形進(jìn)行度量.

同時要多關(guān)注、多體會古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系.聯(lián)系：每個基本事件的發(fā)生都是等可能的.區(qū)別：①古典概型的基本事件是有限的，幾何概型的基本事件是無限的；②兩種概型的概率計算公式的含義不同；③幾何概型的特點是試驗結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布，隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀、位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān).

3.理解教師用書中幾何概型定義的“溫馨揭示”

教師用書第116頁給出高度的概括“均勻分布是一種常用的連續(xù)性分布，它來源于幾何概型”，揭示了幾何概型所研究的問題是屬于連續(xù)型隨機(jī)變量的均勻分布.還給出“值得注意的是，由計算器不能直接產(chǎn)生［a，b］區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)，只能通過線性變換得到，如果x是［0，1］區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)，則（a+（b-a）x）就是［a，b］區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù).”詮釋了均勻隨機(jī)變量只有通過線性變換才可以得到新的均勻分布區(qū)間，才能夠保持均勻分布不變性，如［0，1］區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)，是服從［0，1］區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)變量的一個樣本.

教材中沒有給出隨機(jī)變量的定義，只在教材第136頁這樣給出“打開收音機(jī)的時刻x是隨機(jī)的，可以是0~60之間的任何時刻，并且是等可能的.我們稱x服從［0，60］的均勻分布，x為［0，60］上的均勻隨機(jī)數(shù).”即均勻分布是采用描述性的手法給出的，讓學(xué)生有初步的感性認(rèn)識即可，為后續(xù)的“均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生”提供了理解的平臺和初步的理性基礎(chǔ).通過添加典型例題來說明“均勻分布”的本質(zhì)，抓住對“均勻”一詞的理解及在實際問題中的涵義表述等.

4.追溯幾何概型的本源

幾何概型是在測度論的基礎(chǔ)上建立的公理體系的一種數(shù)學(xué)模型.此源于對1889年法國數(shù)學(xué)家貝特朗提出的數(shù)學(xué)怪論（即貝特朗怪論）的研究結(jié)果，促使許多數(shù)學(xué)家重新反思前面的概率論的一些理論基礎(chǔ)，最終由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫（1903-1987）在1933年解決，并在測度論思想的基礎(chǔ)上著作《概率論基礎(chǔ)》，書中解決了貝特朗怪論，從而把概率論建立在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)之上，強(qiáng)調(diào)選取測度下的樣本空間是否是等可能的特征.

5.對教材幾何概型建模過程的破解

從課程標(biāo)準(zhǔn)的建模過程框圖可知：幾何概型建模屬于數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)調(diào)了從實際問題情境中提出數(shù)學(xué)問題的過程，要求比較高，真正落實數(shù)學(xué)建模的實質(zhì)，即能夠把實際問題理想化和簡單化，完成問題的解決.這一建模思想、方法在人教A版教材中多處提供了難度適中、內(nèi)容豐富的案例和有操作性的資源，其基本解決思路是：“實際問題—數(shù)學(xué)化—建立數(shù)學(xué)模型（幾何概型）—數(shù)學(xué)方法處理—解得數(shù)學(xué)結(jié)果—返回指導(dǎo)—完成實際問題的解決”，最關(guān)鍵的是如何建模（幾何概型）.下面給出幾何概型解題“建模+解?！眻D式.

數(shù)學(xué)王國

生活真實情境轉(zhuǎn)化為生活真實模型，再數(shù)學(xué)化處理（化歸）為數(shù)學(xué)模型（幾何概型）時，必須保證問題“化歸”的等價性.

6.對教材例題的解讀

教材第138頁的例1、第139頁的例2的設(shè)計意圖主要是讓學(xué)生通過實際生活事例，真正弄清幾何概型的本質(zhì)，采用測度論的思想方法計算事件發(fā)生的概率，給出兩種幾何概型的類型題目.例1是涉及一個均勻隨機(jī)變量的直線型，例2是涉及兩個均勻隨機(jī)變量的面積型，最主要的是用模擬的方法得到概率的估計值.教學(xué)時要站在學(xué)生認(rèn)知的水平、角度進(jìn)行深刻地剖析，啟發(fā)學(xué)生仔細(xì)分析問題、點撥學(xué)生形成較完整的處理策略、幫助學(xué)生看透幾何概型問題的實質(zhì).

三、深究：踐行理念

1.概念認(rèn)知的意義

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，一定要深入進(jìn)去，才能更好地理解概念的涵義.利用幾何概型產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是取值在一個區(qū)間的隨機(jī)數(shù)，是連續(xù)型隨機(jī)變量的一個樣本.遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，弄清幾何概型問題的計算所形成的特殊的思維方式，特別是區(qū)分試驗過程中事件發(fā)生的可能性是否屬于均勻分布，有意識地滲透解題思想、方法，不斷地在概念形成、公式推導(dǎo)及解題教學(xué)的過程中加強(qiáng)對易錯點的新認(rèn)識，借助形式，加大概率運算能力，提升課堂學(xué)習(xí)效果.

2.概念內(nèi)涵的剖析

根據(jù)幾何概型的特征，對隨機(jī)變量是否具有等可能性一定要注意“隨機(jī)選取”，不能理解為是“勻速地選取”“某一點或某一數(shù)”.同時弄清楚幾何概型問題的隨機(jī)性是指“什么”，而且要明確“直接表述試驗隨機(jī)結(jié)果的某一變量”，不能自己主觀臆斷、妄意添加，導(dǎo)致理解題意出現(xiàn)錯誤.抓住直接表述均勻變化的連續(xù)型隨機(jī)變量，或在試驗過程中，對是哪一個均勻隨機(jī)變量引發(fā)試驗結(jié)果的變化量進(jìn)行仔細(xì)分析，確定其屬于均勻分布，都可以作為解決幾何概型問題的根據(jù).

3.教學(xué)疑點的突破

幾何概型的教學(xué)疑點主要是對教材的理解不到位，或高考導(dǎo)向所涉及的試題很少，引起大家不太重視或照本講解即可，不再深究幾何概型.學(xué)生做題時往往出現(xiàn)一題多種答案的現(xiàn)象.教師講完教材中的例1后，可以補(bǔ)充一道例題，從審題、解題方面進(jìn)行細(xì)致地剖析，破解學(xué)生的疑惑，使學(xué)生明白錯解的原因，深化幾何概型的概念理解.

在習(xí)題解答中，學(xué)生對幾何概型的涵義理解不到位，只是將實際問題依照幾何概型的特征進(jìn)行粗略的對比，歸屬于幾何概型便解題.教學(xué)時從數(shù)學(xué)建模活動的視角來處理，會更好地消除上述現(xiàn)象.

4.解決幾何概型的原則與方法

挖掘幾何概型的內(nèi)涵要經(jīng)歷：直觀感知生活實例——借用不同的測度（長度、面積、體積），體驗生活中的真實問題——實例數(shù)學(xué)化，抽象為數(shù)學(xué)問題（建模）——發(fā)現(xiàn)幾何概型的本質(zhì)特征（基本事件無限性、等可能性和幾何化）——依照公式計算.

解決幾何概型問題，必須遵守的原則和方法：首先，確定事件發(fā)生的“條件”，即明確任何一個隨機(jī)事件的發(fā)生都是要滿足一定的“條件”的，或者對確定的試驗方案進(jìn)行數(shù)學(xué)分析形成相應(yīng)的“概率空間”；其次，查看問題涉及的幾何化范疇（一維直線、二維平面、三維空間）；再次，通過數(shù)學(xué)化，轉(zhuǎn)化為等價的數(shù)學(xué)模型（幾何概型），生成相應(yīng)的概率空間，即通過數(shù)學(xué)化處理，確定試驗方案，對應(yīng)建構(gòu)成數(shù)學(xué)模型，生成概率空間，在相應(yīng)的概率空間中求出幾何概型問題所涉及的事件發(fā)生的概率.

5.教學(xué)片斷展示

師：前面學(xué)習(xí)了幾何概型的定義和特征，并且學(xué)習(xí)了例1和例2，解決這一類問題的關(guān)鍵是什么？

生1：將試驗的結(jié)果進(jìn)行分析，看看試驗的結(jié)果是否是等可能的，還有考慮試驗結(jié)果的個數(shù)是有限還是無限的，將概率問題歸屬為古典概型或幾何概型問題.

師：根據(jù)前面學(xué)習(xí)的知識，解決下面補(bǔ)充的一道典型概率題.

題目：在直角三角形ABC中，C=90°，AB=2AC=4，在斜邊AB上任取一點D，求滿足條件AD＜AC的概率.

生2：根據(jù)題意，畫圖可知：在斜邊AB上任取一點D，滿足條件AD＜AC的點D恰好在斜邊AB的中點M和A點連接而成的線段上（包括點A但不包括點M），根據(jù)幾何概型的概率計算公式，容易求得P（AD＜AC）=

圖1

生3：我的解答與生2不同，請老師看看.（展示解答過程）根據(jù)題意，畫出圖形可知：在斜邊AB上任取一點D，點D可以看成是∠ACB內(nèi)從頂點C引出的射線與斜邊的交點，形成一一對應(yīng)的關(guān)系，設(shè)斜邊AB的中點為M，則滿足條件AD＜AC的點D恰好是在∠ACM內(nèi)從頂點C引出的射線與斜邊的交點，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，容易求得P（AD＜AC）=

圖2

師：生2和生3給出了不同的解答過程和結(jié)果，為什么會出現(xiàn)兩種答案呢？哪一種解答正確？

生4：生2的解答正確.兩位同學(xué)都說明了符合幾何概型的特征，只不過生2是直接取涉及問題的點，而生3是將問題轉(zhuǎn)化為角度的方式計算，可能轉(zhuǎn)化得不夠“均勻”.

師：生4的判斷正確，只是原因沒有說清楚，大家知道課本中說得清楚，在某區(qū)域內(nèi)（線段、平面上的封閉圖形或某空間幾何體）是隨機(jī)取點，而且每個點取到的可能性相等，表明點的選取是均勻分布的即可.解題時必須依照題目條件進(jìn)行，不可做不等價的轉(zhuǎn)換使問題發(fā)生變化，否則就會出現(xiàn)錯誤解答.

解題要時刻把握“均勻分布的連續(xù)性隨機(jī)變量”的特征，簡單地說就是“選取點是均勻分布”和“問題轉(zhuǎn)化必須要求對應(yīng)的數(shù)保持線性變換”才能確保等可能性（均勻分布）.如生3的解答，就是將問題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，但出現(xiàn)問題的真正原因是破壞了“等可能性（均勻分布）”的特點，如圖3，點D在斜邊AB上的選取是滿足均勻分布的，但將選取點D轉(zhuǎn)化為“從頂點C引出的射線與斜邊的交點”就不是均勻分布了，若轉(zhuǎn)化為“從頂點C引出的射線與以點C為圓心、以AC長為半徑的弧的交點”記為點Q，則選取的點Q在弧AMN上才算是滿足均勻分布的，從而說明點D與點Q之間不存在“線性變換”關(guān)系.

圖3

因此，解決幾何概型問題時注意：不僅要關(guān)注隨機(jī)試驗過程，而且要關(guān)注隨機(jī)試驗的結(jié)果.如果不考慮隨機(jī)試驗的過程，只是關(guān)注結(jié)果，往往會出現(xiàn)多種不同結(jié)果，幾何概型問題的語言敘述要嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確，才能更好地理解幾何概型概念的內(nèi)涵.

四、求通：解惑

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是玩概念，推敲概念中的關(guān)鍵詞、句或段，舉反例辨析容易混淆的數(shù)學(xué)概念、分清概念中的區(qū)別與聯(lián)系，目的就是要在玩概念中理解數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性、感悟數(shù)學(xué)的博大精深、深化數(shù)學(xué)概念正反兩方面的學(xué)習(xí)，升華數(shù)學(xué)源于生活高于生活的價值取向.

1.整體“抓”教學(xué)關(guān)鍵，細(xì)化“破”疑難問題

數(shù)學(xué)教育心理學(xué)指出，只有將幾何概型問題放置在數(shù)學(xué)學(xué)科的整體知識體系之中，強(qiáng)化對知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法等進(jìn)行科學(xué)的理解，并內(nèi)化為教師自己的數(shù)學(xué)教育理念，才能在教學(xué)中深刻地細(xì)化剖析所產(chǎn)生的各種疑難問題及學(xué)習(xí)上的矛盾.

教學(xué)中極力展示數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)過程：幾何概型的知識結(jié)構(gòu)建立、發(fā)展，以及概念的生成和解決幾何概型所涉及的思路與方法.能夠準(zhǔn)確地提煉、概括出問題的本質(zhì)屬性，如面積、長度等，將相關(guān)的實際問題幾何化，建立幾何概型，再借助數(shù)學(xué)思維方式解決，感悟數(shù)學(xué)的研究方法、積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，破解各種幾何概型的疑難問題.

2.時刻“滲”概率思想，處處“透”統(tǒng)計意識

概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義.統(tǒng)計概型、古典概型、幾何概型是概率的基本概念，概率是對隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的度量.幾何概型的隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀、位置和方向等非本質(zhì)屬性無關(guān)，只與該區(qū)域的測度大?。ㄩL度、面積和體積等本質(zhì)屬性）有關(guān).隨機(jī)事件所在區(qū)域是單點，由于單點的長度、面積和體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，此時它可不是不可能事件.

3.等可能點“化”概型，數(shù)學(xué)理解“歸”宗旨

在精講幾何概型概念的基礎(chǔ)上，深挖幾何概型的本質(zhì)，注重幾何概型的內(nèi)涵和外延，抓住不同概型的內(nèi)在聯(lián)系，從系統(tǒng)、聯(lián)系和整體的視角理解幾何概型的本質(zhì)，理解解題功能.教師站在“數(shù)學(xué)育人”的高度上進(jìn)行教學(xué)，全面地、深刻地理解數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，以數(shù)學(xué)思維的啟發(fā)是數(shù)學(xué)育人為根本，讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考才是真正數(shù)學(xué)育人的目標(biāo)和方向.

總之，幾何概型的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要組成部分，充分解讀教材內(nèi)容，確定新課標(biāo)目標(biāo)指向，準(zhǔn)確定位教學(xué)方式、方法，踐行課標(biāo)理念，精心設(shè)計和細(xì)化教學(xué)環(huán)節(jié)，梳理知識間的邏輯關(guān)系，盡可能地讓學(xué)生親歷幾何概型的形成過程，讓學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)概念，教師才能夠真正做到“教懂”、“教會”和“教活”.

1.宮前長.“e”樣的背景異樣的精彩——記一次源于教材函數(shù)習(xí)題的模擬題命制歷程與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（9）.

2.宮前長.關(guān)注幾何性質(zhì)喚出簡捷解法——例談解析幾何題的幾何剖析與教學(xué)啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2010（10）.

3.宮前長.新教材中“探究”的思維歷程及教學(xué)取向［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2011（10）.A