●四川師范大學(xué) 劉 銘 張 紅

HPM視角下的一元二次方程求根公式教學(xué)設(shè)計

●四川師范大學(xué) 劉 銘 張 紅

一、背景

HPM源于第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上成立的一個工作組的簡稱，其全名為International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics.［1］顧名思義，該小組專門研究的正是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系，至此，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系作為一個新的研究領(lǐng)域誕生，并且我們通常把HPM作為這個數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域的名稱．

一元二次方程的求根公式起著承上啟下的作用，是后期學(xué)習(xí)分式方程和二次函數(shù)的基礎(chǔ)．并且“降次”作為公式推導(dǎo)的核心思想，有效習(xí)得這種思想方法對高中階段三角函數(shù)部分的學(xué)習(xí)及解題都是很有幫助的．

二、一元二次方程求根的歷史

顯而易見，在方程的發(fā)展史上，一元二次方程求根公式的出現(xiàn)是一個重要節(jié)點．

早在公元前1894-前1595年的古巴比倫時期，就出現(xiàn)了一元二次方程的求根公式．在當(dāng)時，一類常見的題目是“兩數(shù)之積是a，兩數(shù)之和（或差）是b，求兩數(shù)．”［2］用現(xiàn)今的符號可表示為一元二次方程：x2-bx+a=0，解方程

古希臘歐幾里得的《幾何原本》（約公元前300年前后）與丟番圖的《算術(shù)》（約第三世紀(jì)）中對公式①也有所記載.［2］

此后，一元二次方程求根公式的發(fā)展主要在中國、印度和中亞等國完成.［3］

中國古代，數(shù)學(xué)家趙爽在其《周髀算經(jīng)》注文的《勾股圓方圖注》一文中，用幾何方法找到了形如x2-bx+c=0的方程的求根公式，用現(xiàn)今的符號表示為：

我國最早的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》（公元一世紀(jì)）中，對于解一元二次方程也有所提及．此后，約公元五世紀(jì)張丘建所著的《張丘建算經(jīng)》，八世紀(jì)的天文學(xué)家僧一行，十三世紀(jì)楊輝所著的《田畝比類乘除捷法》等，都對一元二次方程的解法繼續(xù)做著研究．雖然我國在一元二次方程求根公式的研究上取得了不小的成就，卻始終沒有給出一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)求根公式．

在印度和中亞，阿耶波多、婆羅摩笈多、斯里特哈勒等古印度數(shù)學(xué)家，先后得到形如方程ax2+bx=c（a≠0）的求根公

十二世紀(jì)數(shù)學(xué)家巴斯卡拉用配方法導(dǎo)出了此公式．但是，最終一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)求根公式是由阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在其著作《代數(shù)學(xué)》中給出．花拉子米將所有的一元二次方程歸納為一類，即ax2+bx+c=0，由于已知方程ax2+bx=c的求根公式為，對方程ax2+bx+c=0的等號兩邊同除以a，仿上即得標(biāo)準(zhǔn)求根公式

縱觀一元二次方程求根公式的歷史，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家們都是以首項系數(shù)為1的一元二次方程作為起點，再逐漸開始研究系數(shù)不為1的情況．由于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知過程和歷史上該知識的發(fā)展過程存在一定的相似性，［4］即歷史相似性原理，以一元二次方程求根公式的這一發(fā)展過程作為學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識的線索，將會更加符合他們的認(rèn)知規(guī)律．

三、將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方法

怎樣將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，許多學(xué)者都提出了自己的看法．

英國數(shù)學(xué)史家John Fauvel給出了10種數(shù)學(xué)史的具體用法.［5］而后，Tzanakis C和Arcavi A又將這10種方法歸納為3種.［6］2009年，Jankvist UT在其論文中又提出了另外的3種方式.［7］綜合上述幾位研究者的方法，華東師范大學(xué)的汪曉勤教授對其進(jìn)行了整合與改進(jìn)，整理出了數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史的方法，見表1．

表1 數(shù)學(xué)教育中運用數(shù)學(xué)史的方法［4］

本文就將靈活運用這4種方法做出教學(xué)設(shè)計．

四、教學(xué)設(shè)計

1.課程結(jié)構(gòu)

課程結(jié)構(gòu)略圖如圖1所示.

圖1

2.問題引入

在這之前，學(xué)生僅有配方法的相關(guān)知識，解此方程會非常吃力，此時教師可順勢提問：那么有沒有一個一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的一般表達(dá)式，來幫助我們更加方便快捷地解決這類問題呢？從而引導(dǎo)學(xué)生去探索一元二次方程的求根公式．

設(shè)計意圖：教材對于為什么要找到一元二次方程的求根公式一筆帶過，并且直接運用配方法得出求根公式顯得相當(dāng)突兀．本設(shè)計用一個相對復(fù)雜的一元二次方程引入，學(xué)生要使用上節(jié)課所學(xué)的配方法解題難度較大，從而達(dá)到讓其認(rèn)知失衡的目的，也能深刻地體會到求根公式的重要性．

3.系數(shù)化1，公式初探

設(shè)計意圖：弗賴登塔爾曾認(rèn)為，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，“從某種意義上說，兒童應(yīng)該重蹈歷史，盡管不是實際發(fā)生的歷史，而是倘若我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會發(fā)生的歷史．”［8］因此，本設(shè)計采用重構(gòu)式，借鑒一元二次方程求根公式的歷史，即先探索a=1的情況，再研究一般情況，同時結(jié)合學(xué)生已有的配方法的知識重構(gòu)了兒童應(yīng)該重蹈的歷史——倘若我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會發(fā)生的歷史．

4.不化為1，探究妙法

如果不把二次項系數(shù)化為1，還能用配方法處理嗎？偉大的印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅也遇到過這樣的問題，他的想法是：我們可不可以在方程兩邊乘以什么數(shù)呢？

學(xué)生在思考過程中教師巡視，選擇采用以下兩種方法的學(xué)生上臺展示．（如未有學(xué)生使用，則由教師展示）

教師可在解法2后補(bǔ)充說明，該方法與12世紀(jì)印度著名數(shù)學(xué)家巴斯卡拉的思想不謀而合，其優(yōu)勢在于避免了計算過程中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，降低計算難度，但也不容易想到．

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生探索出更多的求根公式的推導(dǎo)方法，鍛煉和拓展了學(xué)生的思維.采用順應(yīng)式，根據(jù)婆什迦羅在其著作《麗羅娃蒂》中表達(dá)的解一元二次方程的思想：在一元二次方程兩邊乘以某數(shù)，再在兩邊加上某數(shù)，使得方程一邊為完全平方，另一邊為常數(shù)，從而開方得方程的根，［9］編制問題串，引導(dǎo)學(xué)生思考新方法．

5.幾何證法

我國數(shù)學(xué)家趙爽在其《周髀算經(jīng)》注文的《勾股圓方圖注》一文中提到：“其倍弦（2c）為廣袤合（x1+x2），而令勾股見者自乘（x1x2=a2或x1x2=b2）為實，四實以減之（（2c）2-4a2）開其余，所得為差．以差減合，半其余為廣”［.3］

根據(jù)趙爽的描述，我們能畫出這樣兩個圖形，如圖2、圖3所示.

圖2

圖3

設(shè)計意圖：根據(jù)歷史發(fā)生原理，即學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知過程與概念的歷史發(fā)展過程具有相似性，［4］在一元二次方程求根公式的歷史中，有不少數(shù)學(xué)家選擇了幾何法，雖然筆者認(rèn)為這與當(dāng)時還沒有負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的概念不無聯(lián)系，但是也不可否定從歷史上看，幾何法是較為符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的．于是筆者根據(jù)初中學(xué)生已有的基礎(chǔ)，重構(gòu)了我國數(shù)學(xué)家趙爽的一個一元二次方程的幾何解法，但是筆者給出的這個例子有一定的難度，要讓所有學(xué)生掌握還談不上，只是重在欣賞與感受代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，同時訓(xùn)練學(xué)生的思維與理解能力．

6.課堂練習(xí)

利用求根公式解方程②．

設(shè)計意圖：課堂練習(xí)題的作用，是為了讓學(xué)生體會學(xué)有所用．

五、結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師采用HPM視角下的教學(xué)，其目標(biāo)不應(yīng)該只是教師的教，而更應(yīng)該是學(xué)生的學(xué)，即讓學(xué)生深入理解某一知識后，能夠以該知識為核心，甚至借鑒該知識的習(xí)得過程來自主學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識．筆者在參考課程標(biāo)準(zhǔn)后，利用相關(guān)數(shù)學(xué)史資料，完成此教學(xué)設(shè)計，力求通過這個過程，讓學(xué)生能深刻理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)方法，從而真正達(dá)到提高他們探索與學(xué)習(xí)能力的目標(biāo)．

1.汪曉勤.HPM的歷史淵源 ［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2003（3）．

2.張紅．?dāng)?shù)學(xué)簡史［M］．北京：科學(xué)出版社，2007．

3.李迪．二次方程求根公式的歷史［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，1962（9）．

4.趙瑤瑤，張小明．關(guān)于歷史相似性理論的討論［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2008（4）．

5.汪曉勤．HPM與初中數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展——一個上海的案例［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2013（1）．

6.Tzanakis C，Arcavi A．Integrating History of Mathematics in the Classroom：An Analytic Aurvey ［A］．In： Fauvel J， van Maanen J．History in Mathematics Education ［C］．Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，2000．

7.Jankvist U T．A Categorization of the “Whys” and“Hows”of Using History in Mathematics Education ［J］．Educational Studies in Mathematics，2009（3）．

8.Freudenthal H．Major Problems of Mathematics Education［J］．Educational Studies in Mathematics，1981（2）．

9.D.E.Smith．History of Mathematics（Vol.Ⅱ）［J］.Boston：Ginn&Company，1923．

10.汪曉勤，王苗，鄒佳晨．HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計：以橢圓為例［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011（5）．