潘繼環(huán)，張元文

(河池學(xué)院 物理與機電工程學(xué)院，廣西 宜州 546300)

0 引言

矩形波導(dǎo)是條形波導(dǎo)中最常見的也是最基本的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，通常是由金屬材料(銅、鋁等)制成矩形截面、內(nèi)部填充空氣介質(zhì)的金屬波導(dǎo)[1－3]。而矩形波導(dǎo)在傳導(dǎo)電磁波的過程中具有損耗低、電磁屏蔽性能好等優(yōu)點，在微波通信設(shè)備領(lǐng)域有著非常廣泛而巨大的應(yīng)用價值，如在通信傳輸線平面集成化、小型化等方面具有重要的應(yīng)用[1－12]，近年來有關(guān)波導(dǎo)的研究一直是各國物理學(xué)者研究的熱點之一。

通過查詢相關(guān)文獻資料發(fā)現(xiàn)，對于一維結(jié)構(gòu)的條形平板波導(dǎo)已經(jīng)有很多的研究報道[4－12]，而有關(guān)矩形波導(dǎo)的研究還比較少見，雖然矩形波導(dǎo)也屬于一維平板結(jié)構(gòu)，但研究其芯層導(dǎo)波特性時需要考慮兩個方向在其橫截面上對光場的限制作用，這就涉及到一維結(jié)構(gòu)的二維問題，這類問題的處理比條形平板波導(dǎo)更為復(fù)雜。

基于此，本文主要采用馬卡梯里假設(shè)[7]，對波導(dǎo)進行近似處理的方法，并通過Matlab編程模擬繪制芯層寬度對有效折射率的影響，找出波導(dǎo)孔徑對矩形波導(dǎo)模式特性影響的規(guī)律，使矩形波導(dǎo)具有更廣泛的應(yīng)用前景。

1 模型及計算方法

1.1 矩形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)

矩形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)模型[4－10]的橫截面，如圖1所示，將截面分成九個區(qū)，中間為波導(dǎo)芯層，緊鄰芯層的四個白色區(qū)域為波導(dǎo)包層，四個陰影區(qū)域為角區(qū)。其中波導(dǎo)芯層的x方向和y方向的寬度分別為a、b，選取芯層的中心為原點建立直角坐標(biāo)系，z軸垂直于紙面向里，并定義電磁波沿著z軸方向傳播。其中參數(shù)λ0=1.55 μm，折射率 n1=1.5，n2=n3=n4=n5=1.2。

研究方法使用馬卡梯里法。因為馬卡梯里法考慮到如果離截止點比較遠，則光能量高度集中在芯區(qū)，透入到2、3、4、5四個區(qū)的光能就很少，而四個陰影的角區(qū)中光能忽略不計，這樣可以使問題大大簡化。利用這一條合理而又巧妙的假設(shè)，很容易利用已解三層平板波導(dǎo)的結(jié)果來求解傳播常數(shù)和模場函數(shù)。

圖1 矩形波導(dǎo)橫截面圖

1.2 特征方程的計算

從麥克斯韋電磁波方程組可以推出，矩形波導(dǎo)Eymn導(dǎo)模的磁場分量Hx0(x，y)的波動方程為

則φx(x)、φy(y)滿足橫向亥姆霍茲方程，即

方程(2)，(3)中的kix，kiy分別表示5個區(qū)域的傳播系數(shù)。而方程(2)，(3)的通解分別為

式中 A、A3、A5、B、B2、B4、ζ、η 為積分常數(shù)，為各自區(qū)域的振幅因子，ζ與 η 是相位因子。

在Eymn導(dǎo)模x軸方向中，在處，利用 φx(x)連續(xù)和連續(xù)的邊界條件以及在處，利用φx(x)連續(xù)和連續(xù)的邊界條件，即可求解特征方程。

方程(6)、(7)中m、n為x軸和y軸方向的模階數(shù)。將式分別代入方程(6)和方程(7)，得到有效折射率與芯層寬度的關(guān)系為

2 計算結(jié)果和分析

2.1 芯層寬度a對有效折射率Nx的影響

圖2 導(dǎo)模x軸向的傳輸曲線

矩形波導(dǎo)各層介質(zhì)的參數(shù)見1.1小節(jié)，取模階數(shù)為m=0～5時，對方程(8)利用Matlab編程模擬，繪制出各模式有效折射率Nx與芯層寬度a的關(guān)系，如圖2所示。

從圖2中不難看出，隨著芯層寬度的增大各模式有效折射率均出現(xiàn)衰減現(xiàn)象，寬度a＞0.4 μm時，波導(dǎo)支持m1≥1的多模傳輸，且各模式折射率隨著芯層寬度的增大而下降，而有效折射率Nx曲線向大孔徑方向移動。即當(dāng)a=0～8 μm增大時，零階模對應(yīng)的有效折射率由0.9衰減到0.0907左右，一階模式的有效折射率從2衰減到0.1813，二階模從2衰減至0.2718，三階模從 2衰減至 0.3620，四階模從 2衰減至0.4520，五階模從2衰減至0.5415。這些衰減現(xiàn)象主要是隨著波導(dǎo)孔徑的增大，模式出現(xiàn)襯底輻射，從而使其能量損耗所致。值得注意的是，芯層寬度a在0～8 μm范圍內(nèi)，零階模的有效折射率均小于0.9，因此該結(jié)構(gòu)波導(dǎo)在x軸向上不支持零階模的傳輸，所以零階模的波導(dǎo)中主要以襯底輻射的方式逐漸損耗能量。

電磁波能在芯層中傳導(dǎo)的條件是在有效折射率1.2＜Nx＜1.5之間，因此芯層寬度無論小到什么程度，零階模(基模)均不滿足傳導(dǎo)的條件，因此該矩形波導(dǎo)不支持基模的傳輸。高階模式中，隨著模階數(shù)的增大，導(dǎo)模的區(qū)域也會增大。

從圖2中還可以看到，每一條傳輸曲線中都存在一個凹點，這些凹點對應(yīng)的有效折射率值相同，該處為導(dǎo)模的截止點，也稱作導(dǎo)模和空間輻射模的交界點。

2.2 芯層寬度b對有效折射率Ny的影響

同樣，矩形波導(dǎo)各層介質(zhì)的參數(shù)見1.1小節(jié)，當(dāng)模階數(shù)為n=0～5時，對方程(9)利用Matlab編程模擬，繪制得到芯層寬度b和有效折射率Ny的關(guān)系，如圖3所示。

從圖3中可知，芯層寬度b＞0.4 μm時，波導(dǎo)也支持n1≥1的多模傳輸，且各模式折射率隨著芯層寬度的增大而下降，有效折射率Ny曲線同樣也向大孔徑方向移動。即當(dāng)b=0～8 μm增大時，零階模對應(yīng)的有效折射率由2衰減到1.2處后中斷、再從0.9衰減到0.0928左右，一階模式的有效折射率從2衰減到0.1813，二階模從2衰減至0.2780，三階模從2衰減至0.3702，四階模從 2衰減至 0.4619，五階模從 2衰減至0.5528。

在有效折射率1.2＜Ny＜1.5之間的區(qū)域，波導(dǎo)同樣不支持基模的傳輸。而在同一模式階數(shù)中，y軸向的有效折射率Ny呈衰減的趨勢，并且隨著模階數(shù)的增大，導(dǎo)模的區(qū)域也會隨著增大。

圖3 導(dǎo)模y軸向的傳輸曲線

在圖3中同樣也存在凹點，即導(dǎo)模和空間輻射模的交界點。并且還發(fā)現(xiàn)，每條傳輸曲線的導(dǎo)模區(qū)域存在一個折彎處，該處的有效折射率接近包層折射率，這說明該點很可能為導(dǎo)模的截止點。而有效折射率大于對應(yīng)的截止點的區(qū)域為該模式的截止區(qū)域，該模式的截止區(qū)域會由低一級階模式的截止區(qū)域進行補償，形成一條完整的模式傳輸曲線。如五階模由四階模的截止區(qū)域“補償”組成新的傳輸曲線;四階模由三階模的截止區(qū)域“補償”組成新的傳輸曲線，以此類推。而零階模由于沒有更低一階模式的截止區(qū)域“補償”，即零階模只存在空間輻射模，且零階模不可導(dǎo)。

3 結(jié)論

上述是采用馬卡梯里近似法，并利用電磁波動理論，求解矩形波導(dǎo)模式特征方程，研究了芯層寬度對矩形波導(dǎo)有效折射率的影響規(guī)律，得出以下結(jié)論:當(dāng)矩形波芯層寬度足夠大時，矩形波導(dǎo)支持多個導(dǎo)波模式的傳輸，且隨著模階數(shù)的增大，兩個獨立分量有效折射率Nx和Ny的曲線均向大孔徑方向移動;且兩個分量所有模式的有效折射率均隨芯層寬度a或b的增大而下降，這些影響規(guī)律對矩形波導(dǎo)的實際應(yīng)用具有一定的理論指導(dǎo)意義。

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