?！〗?，　張連軍，　薛　迪（佳木斯大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007）

一種輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制方法研究①

常江，張連軍，薛迪
（佳木斯大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007）

建立了局部坐標(biāo)系下用直角坐標(biāo)表示的非完整輪式移動(dòng)服務(wù)機(jī)器人的位姿誤差模型，提出了一種新的非線性狀態(tài)反饋軌跡跟蹤控制律，使機(jī)器人閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程具有原點(diǎn)孤立平衡狀態(tài).通過(guò)分析在該控制律作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的原點(diǎn)局部一致漸近穩(wěn)定性和在非原點(diǎn)孤立邊界平衡狀態(tài)的不穩(wěn)定性，確定了控制器參數(shù)的取值范圍.用李雅普諾夫候選函數(shù)方法，得出了在該控制律作用下的閉環(huán)系統(tǒng)在原點(diǎn)具有全局一致漸近穩(wěn)定性的結(jié)論.仿真結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性.

非完整；輪式移動(dòng)機(jī)器人；軌跡跟蹤控制；非線性狀態(tài)反饋

0　引言

輪式移動(dòng)機(jī)器人（wheeled mobile robot-WMR）具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景.由于這類系統(tǒng)的輪子與地面間的滾動(dòng)接觸必須滿足純滾動(dòng)無(wú)滑動(dòng)這一非完整約束的條件，因此它是典型的非完整動(dòng)力學(xué)系統(tǒng).跟蹤控制器的設(shè)計(jì)就是控制WMR的線速度和角速度（或加速度），使WMR跟蹤參考軌跡.控制目標(biāo)就是使參考軌跡和真實(shí)軌跡之間的誤差最小.由于滑動(dòng)、干擾、傳感器誤差等的存在，跟蹤誤差不可避免.近一二十年來(lái)，WMR的軌跡跟蹤控制得到了廣泛的研究，大體而言，控制的方法可以分為四類：線性方法、非線性方法［1］、幾何（geometrical）方法以及智能方法［2］.

針對(duì)一種將在醫(yī)院投入使用的具有兩輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)的三輪式護(hù)士助手服務(wù)機(jī)器人，首先基于其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，提出了一種新的非線性狀態(tài)反饋軌跡跟蹤控制律，然后分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，最后進(jìn)行了控制律仿真.

1　輪式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

圖1為輪式移動(dòng)護(hù)士助手服務(wù)機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱WMR）的示意圖，其采用兩后輪差動(dòng)驅(qū)動(dòng)前輪輔助支撐的結(jié)構(gòu).設(shè)WMR當(dāng)前位姿q=［x，y，，其中（x，y）為WMR的兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪軸中點(diǎn)M的坐標(biāo)，θ為WMR前進(jìn)方向與X軸的夾角，v和w分別為WMR的線速度和角速度. WMR的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

圖1　

根據(jù)文獻(xiàn)［1］進(jìn)一步可得WMR的位姿誤差微分方程為

2　控制律設(shè)計(jì)

本文基于非完整輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的軌跡跟蹤控制問(wèn)題可以描述為：對(duì)方程（3）所示的系統(tǒng)，在任意的初始誤差的條件下，尋找控制輸入，即設(shè)計(jì)控制律ur，k），使有界，且并且，其中為控制參數(shù)向量.基于位姿誤差微分方程（3），為軌跡跟蹤控制設(shè)計(jì)非線性狀態(tài)反饋控制律如公式（4）所示.

3　軌跡跟蹤控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

將公式（4）代入公式（3）中可得到完全用狀態(tài)變量表示的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，即如公式（5）所示的非線性定常系統(tǒng). .令f（eq） =0，求解公式（5）所代表的閉環(huán)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，則有eq=0使f（0）=0成立.但eq=［0，0，π］T也是系統(tǒng)（5）的一個(gè)孤立平衡狀態(tài)，這種情況在軌跡跟蹤問(wèn)題中是普遍存在的.根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論在機(jī)器人學(xué)中的推廣［3］，非完整移動(dòng)機(jī)器人

3.1局部穩(wěn)定性分析

對(duì)如公式（5）所示的非線性定常系統(tǒng)，分別求其在原點(diǎn)平衡狀態(tài)和eq=［0，0，π］T的線性化矩陣A1和A2，可分別得到如公式（6）和公式（7）所示的線性化系統(tǒng).

引理1： 對(duì)于形如˙x=f（x）的非線性定常系統(tǒng)，在某個(gè)孤立平衡狀態(tài)的線性化系統(tǒng)為 ˙x=Ax，特征方程為|sI-A|=ansn+an-1sn-1+…+a1s+ a0=0，設(shè)an＞0，根據(jù)勞斯—赫爾維茨判據(jù)，如果特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，并且勞斯陣列表的第一列系數(shù)均為正數(shù)，則非線性定常系統(tǒng)在該孤立平衡狀態(tài)是局部一致漸近穩(wěn)定的；如果特征方程中有任何系數(shù)為負(fù)數(shù)或等于零，則非線性定常系統(tǒng)在該孤立平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的［4］.

定理1：如果控制器參數(shù)kx，ky和kθ的取值滿足公式（8）所示的關(guān)系，那么形如公式（5）所示的非線性定常系統(tǒng)，在原點(diǎn)是局部一致漸近穩(wěn)定的，而在eq=［0，0，π］T是不穩(wěn)定的.

kx＞0，ky＞0，kθ＞0（8）

證明： 根據(jù)公式（6）得公式（5）所示的非線性定常系統(tǒng)在原點(diǎn)孤立平衡狀態(tài)的線性化系統(tǒng)的特征方程為

對(duì)應(yīng)于可得特征方程系數(shù)向量為

勞斯陣列表的第一列只有兩項(xiàng)，第一項(xiàng)a3=1＞0，第二項(xiàng)的表達(dá)式為

如果公式成立已知r和r≥0，則有和成立，即特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，并且勞斯陣列表的第一列系數(shù)均為正數(shù).根據(jù)引理1，可知公式（5）所示的非線性定常系統(tǒng)在原點(diǎn)是局部一致漸近穩(wěn)定的.

根據(jù)公式（7），可得形如公式（5）所示的非線性定常系統(tǒng)在非原點(diǎn)孤立平衡狀態(tài)的線性化系統(tǒng)的特征方程為，對(duì)應(yīng)于|sI-A2|=可得特征方程系數(shù)向量為

如果公式（8）成立，則有a0＜0成立，即特征方程中有系數(shù)為負(fù)數(shù).根據(jù)引理1可知如公式（5）所示的非線性定常系統(tǒng)在eq=［0，0，π］T是不穩(wěn)定的.綜上所述，定理1得證.

3.2全局穩(wěn)定性分析

根據(jù)定理1，可知公式（5）所示的非線性定常系統(tǒng)在eq=［0，0，π］T是不穩(wěn)定的.并且eq=［0，0，π］T處在系統(tǒng)狀態(tài)空間的邊界上，下面探討如公式（5）所示的非線性定常系統(tǒng)在原點(diǎn)的全局一致漸近穩(wěn)定性.

引理2： 對(duì)于形如˙x=f（x）的非線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)空間為X，x∈X.如果存在李雅普諾夫候選函數(shù)V（x），滿足下列條件，則系統(tǒng)在原點(diǎn)是全局一致漸近穩(wěn)定的［6］.

（1）V（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)V（x）=0；

（2）˙V（x）≤0；

（3）在M=｛x|˙V（x）=0｝的超曲面m（x）= 0上，˙m（x）不恒為零；（4）當(dāng)‖x‖→∞時(shí)，有V（x）→∞.

定理2：如果選取如公式（9）所示的李雅普諾夫候選函數(shù)，并且控制器參數(shù)kx，ky和kθ的取值滿足如公式（8）所示的關(guān)系，那么形如公式（5）所示的非線性定常系統(tǒng)在原點(diǎn)是全局一致漸近穩(wěn)定的.

證明： 依次證明公式（9）所示的李雅普諾夫候選函數(shù)滿足引理2所列出的四個(gè)條件.

（2）對(duì)公式（9）兩端求導(dǎo)，并將公式（5）代入˙V（eq）中可得

綜上所述，公式（9）所示的李雅普諾夫候選函數(shù)滿足引理2的全部四個(gè)條件，定理2得證.

4　仿真實(shí)例

由仿真結(jié)果可以看出，WMR能對(duì)參考軌跡做出快速有效的跟蹤逼近；且位姿誤差的組成元素xe，ye和θe均能快速趨于0，即qe=有界并且所以，在所設(shè)計(jì)的控制方式（4）的作用下，可以實(shí)現(xiàn)服務(wù)機(jī)器人軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的快速收斂.

圖2　

5　結(jié)語(yǔ)

本文首先建立了局部坐標(biāo)系下用直角坐標(biāo)表示的非完整輪式移動(dòng)服務(wù)機(jī)器人的位姿誤差模型，然后提出了一種新的非線性狀態(tài)反饋軌跡跟蹤控制律，使機(jī)器人閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程具有原點(diǎn)孤立平衡狀態(tài).通過(guò)分析在該控制律作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的原點(diǎn)局部一致漸近穩(wěn)定性和在非原點(diǎn)孤立邊界平衡狀態(tài)的不穩(wěn)定性，確定了控制器參數(shù)的取值范圍.用李雅普諾夫候選函數(shù)方法，得出了在該控制律作用下的閉環(huán)系統(tǒng)在原點(diǎn)具有全局一致漸近穩(wěn)定性的結(jié)論.最后通過(guò)對(duì)圓形軌跡的跟蹤仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性.

［1］Fierro R and Lewis F L.Control of a Nonholonomic Mobile Robot：Backstepping Kinematics into Dynamics［C］.Proceedings of the 34th Conference on Decision&Control，New Orleans，December，1995.

［2］Simon X Yang，Anmin Zhu and Max Q H Meng.Biologically Inspired Tracking Control of Mobile Robotswith Bounded Accelerations［C］.Proceedings of the 2004 IEEE International Conference on Robotics&Automation，New Orleans，LA，April 2004.

［3］Yuna G F.Tacrking control of a Mobile Robot Usnig Neuarl Dynamics Based Approaches［D］.Guelph：Univ.of Guelph，2001.

［4］高為炳.運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，1987.

Research on Trajectory Tracking Control of a Kind of Wheeled Mobile Robots

CHANG Jiang， ZHANG Lian-jun， XUE Di
（College of Mechanical Engineering，Jiamusi University，Jiamusi 154007，China）

A posture error model of nonholonomic wheeled mobile service robot denoted by cartesian coordinates in local coordinates was established.A novel nonlinear state feedback trajectory tracking control law was proposed，which causes closed-loop system state space equation of robot to isolate equilibrium state at origin. Through analyzing the local uniform asymptotical stability at origin and the instability of isolated boundary equilibrium state at non-origin under the proposed trajectory tracking control law，the scale of control parameters was confirmed.By Lyapunov candidate function method，this paper concluded that the closed-loop system is globally uniformly asymptotically stable at origin.Simulation results show the effectiveness of the proposed control law.

nonholonomic；wheeled mobile robots；trajectory tracking control；nonlinear state feedback

TP24

A

1008-1402（2015）06-0844-04

2015-10-19

黑龍江省教育廳科研項(xiàng)目（12531680）.

常江（1975-），男，黑龍江佳木斯人，佳木斯大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授，工學(xué)博士，從事機(jī)器人技術(shù)的研究.