趙紅玲

英國(guó)數(shù)學(xué)教育專家帕梅拉·利貝克于1984年寫了《兒童怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)：父母和教師指南》一書。她認(rèn)為數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)的一種抽象，數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程一般分為四個(gè)階段：體驗(yàn)—語(yǔ)言—圖畫—符號(hào)。這四個(gè)基本環(huán)節(jié)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本過(guò)程，也是兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本認(rèn)知程序。其中，體驗(yàn)是對(duì)有形物體的體驗(yàn)，通過(guò)自己的活動(dòng)或接觸客觀事物產(chǎn)生的綜合感覺；語(yǔ)言是表達(dá)這種體驗(yàn)的口頭描述，是兒童用語(yǔ)言對(duì)體驗(yàn)的刻畫；圖畫是體驗(yàn)表象在人腦中的反映，是體驗(yàn)的形象表達(dá)，它能幫助兒童理解數(shù)學(xué)概念，為進(jìn)一步概括做準(zhǔn)備；符號(hào)是經(jīng)過(guò)一定的抽象概括使兒童認(rèn)識(shí)并寫出代表概念的書面符號(hào)，是更加抽象的表達(dá)。

例如，“球”概念的形成過(guò)程：

體驗(yàn)——看到球，感受顏色，摸球，把球放在手里，拍球，滾球，踢球等活動(dòng)體驗(yàn)了球的許多屬性。

語(yǔ)言——球的發(fā)音與“球”聯(lián)系起來(lái)，紅球、白球、黑球等。

圖畫——首先認(rèn)出球的圖畫，圖畫雖然不能滾動(dòng)，摸著也不一樣，但是圖畫和自己體驗(yàn)的球有共同點(diǎn)，然后畫出球的圖畫（需要有球的直觀來(lái)幫助理解）。

符號(hào)——認(rèn)識(shí)并寫出“球”的文字（完全脫離球的實(shí)體進(jìn)行抽象表達(dá)）。

這四個(gè)過(guò)程是學(xué)生從實(shí)物直觀到抽象表達(dá)的必經(jīng)階段，其中體驗(yàn)是對(duì)概念的初始感知階段，語(yǔ)言是概念形成的發(fā)生階段，圖畫是概念形成的發(fā)展階段，符號(hào)是概念形成的穩(wěn)定階段。兒童在體驗(yàn)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)事物的共同或不同屬性，挑選一些共同屬性自發(fā)形成概念。合適的體驗(yàn)?zāi)芗铀賹W(xué)生對(duì)事物的感知，然后用合適的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)。反復(fù)活動(dòng)能澄清一些感知中的亂象，保留有效信息特征，如對(duì)物體長(zhǎng)度、形狀大小的認(rèn)識(shí)，以及從二維的平面圖形到三維的立體圖形的認(rèn)識(shí)都需要足夠的實(shí)踐活動(dòng)。

語(yǔ)言是對(duì)體驗(yàn)結(jié)果的抽象表達(dá)，在活動(dòng)中對(duì)實(shí)物的描述是客觀對(duì)象在內(nèi)心的具體反映，如用數(shù)詞和幾個(gè)物體相對(duì)應(yīng)并用語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)是認(rèn)識(shí)事物的心智活動(dòng)體現(xiàn)。實(shí)際上，在兒童沒有對(duì)數(shù)字意義的理解之前一般都會(huì)先進(jìn)行數(shù)數(shù)練習(xí)。比如從1數(shù)到100，然后再進(jìn)行個(gè)數(shù)與數(shù)字的對(duì)照理解，通過(guò)做游戲或其他方式強(qiáng)化小數(shù)字的練習(xí)，達(dá)到兒童一眼就能說(shuō)出物體個(gè)數(shù)的情形，這樣就完全理解了數(shù)字的實(shí)際意義。

圖畫是活動(dòng)對(duì)象在人腦中的再現(xiàn)，是離開實(shí)物本身來(lái)表達(dá)實(shí)物的一種方法。用圖畫來(lái)表示活動(dòng)過(guò)程、內(nèi)容，或用圖畫表達(dá)抽象的數(shù)目，同樣能起到感受直觀的效果，從圖像中直接感受事物的大小關(guān)系、顏色差別、數(shù)量不同，甚至對(duì)圖形間的關(guān)系進(jìn)行直觀推理或用不同的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)實(shí)物圖形進(jìn)行鑒別。同時(shí)，兒童繪畫也訓(xùn)練了兒童識(shí)記圖畫及動(dòng)手畫圖能力，有時(shí)用語(yǔ)言文字表達(dá)事物間的關(guān)系后再用圖畫來(lái)表示一些信息更為直觀。

符號(hào)是熟悉客觀對(duì)象后的一種高度綜合的抽象概括表示，是一種約定的記號(hào)形式。數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)一個(gè)很重要的組成部分，它把一個(gè)“概念”濃縮成“便于處理”的形式，如十進(jìn)制計(jì)數(shù)法、加減法算式等，總之，數(shù)學(xué)從某種意義上說(shuō)是一種符號(hào)運(yùn)算的學(xué)科。

下面通過(guò)幾個(gè)例子說(shuō)明兒童數(shù)學(xué)概念形成的基本過(guò)程。

“長(zhǎng)度”概念。在學(xué)習(xí)長(zhǎng)度概念時(shí)，首先讓兒童理解長(zhǎng)度單位的意義，然后用直尺去測(cè)量一下身邊物體的長(zhǎng)度，如書桌的長(zhǎng)、寬、高，這些直邊的測(cè)量有助于兒童形成尺度常識(shí)，如半米有多長(zhǎng)，一米有多長(zhǎng)，一公分有多長(zhǎng)，十公分是多長(zhǎng)，甚至可以目測(cè)小數(shù)字長(zhǎng)度（當(dāng)然不能是太小的尺寸）。對(duì)長(zhǎng)度單位概念的理解，可采用不同的長(zhǎng)度單位去度量同一個(gè)物體的長(zhǎng)度，如可用兒童自己張開的手指寬度作為長(zhǎng)度單位去度量桌子的寬度，要是兒童理解單位長(zhǎng)度只是一個(gè)度量長(zhǎng)度的參照標(biāo)準(zhǔn)，單位長(zhǎng)度不同，同一個(gè)長(zhǎng)度會(huì)有不同的數(shù)值，并及時(shí)告訴兒童大家公認(rèn)的、經(jīng)常使用的長(zhǎng)度單位是什么。然后引導(dǎo)兒童對(duì)長(zhǎng)度概念進(jìn)行更廣泛的理解，由測(cè)量直邊的尺寸，逐漸過(guò)渡到彎曲物體“彎的”長(zhǎng)度，可先用細(xì)繩子貼著彎曲的邊，然后將細(xì)繩在直尺上去比對(duì)，就得出彎曲的邊的尺寸。除此之外還要拓展一下兒童的視野，如測(cè)量特別長(zhǎng)和特別短的長(zhǎng)度時(shí)，單位長(zhǎng)度的選擇特別重要，像測(cè)量宇宙中的空間距離時(shí)，常用光年作為長(zhǎng)度單位去度量，而測(cè)量很小的空間距離時(shí)，常用納米作為長(zhǎng)度單位去度量。

因?yàn)閮和乃季S不能完全擺脫具體的活動(dòng)情境，所以測(cè)量長(zhǎng)度可以幫助兒童對(duì)物體的形狀有更細(xì)致的理解。如物體的大小、長(zhǎng)度和高低以及物體間的相互關(guān)系（如全等），以及物體內(nèi)部各要素之間的關(guān)系（如長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，正方形各邊關(guān)系，三角形各邊之間的關(guān)系）。同時(shí)還要要求兒童能用直尺畫出簡(jiǎn)單的圖形，動(dòng)手去做一做、剪一剪，在具體的學(xué)習(xí)方法下認(rèn)識(shí)幾何圖形的幾何特點(diǎn)。

“基數(shù)、序數(shù)”概念。當(dāng)兒童對(duì)一堆東西進(jìn)行數(shù)數(shù)活動(dòng)時(shí)，容易出的問題是多算或少算，那就要提醒兒童物體排列的順序或按照某種特征進(jìn)行分類排序才不會(huì)出錯(cuò)。另外，讓學(xué)生理解基數(shù)與序數(shù)的意義差別，序數(shù)相當(dāng)于給物體一一編號(hào)，帶上標(biāo)簽，便于區(qū)分，而基數(shù)則相當(dāng)于考慮一堆東西的整體數(shù)目，兩者意義絕不相同。

“比多少”“加減法”與“分開”的概念?！氨榷嗌佟笔且粋€(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念，兒童在開始比較時(shí)，一般是依賴圖畫、情境比較兩類物體的多少。也可以讓學(xué)生根據(jù)兩類物體的多少畫出兩類不同數(shù)目的圖形，這樣就自然形成了“比多少”的概念，但這必須在兒童形成穩(wěn)定的小數(shù)目概念之后才有效。加減法是在“比多少，多多少，少多少”的基礎(chǔ)上進(jìn)行思維角度的改變，在書寫算式時(shí)，有數(shù)字與抽象符號(hào)“+”“-”“=”的共同組合，所以烘托某種情境氛圍，使學(xué)生增加關(guān)注的力度去理解加減法的運(yùn)算很重要。如：“樹上有3只鳥，又飛來(lái)2只，問樹上有幾只鳥”或“樹上有5只鳥，飛走了3只，問樹上有幾只鳥”，最后讓兒童大聲閱讀自己列出來(lái)的數(shù)學(xué)式子。

把一堆物體分成幾個(gè)小組，分法有好多，例如5=3+2，5=4+1，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+3，反過(guò)來(lái)進(jìn)行逆向思維，讓分的幾組再進(jìn)行“合成一組”，這樣有收有放，可開發(fā)兒童的逆向思維，讓兒童有更多的思維成分在活動(dòng)中。這樣最終使兒童明白，其實(shí)加法、比多少，減法、分開這幾種算式在數(shù)學(xué)上只是同一件事的不同表達(dá)形式而已。

“圖形”概念。兒童在觀察、觸摸、拼接、折疊、組合、拆分等擺弄各種玩具時(shí)就對(duì)空間物體進(jìn)行著了解，甚至很感興趣。在這種活動(dòng)中，對(duì)平面圖形的平的、直的、彎的、邊、角、面以及長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓等基本平面圖形的概念以及長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、球體等立體圖形概念有了明確的區(qū)分，而且在成人的引導(dǎo)下能用語(yǔ)言表達(dá)。兒童能從一堆幾何圖形中找出某一個(gè)或者一類圖形，用不同形狀的圖形拼接成一個(gè)機(jī)器人或鳥之類的圖畫，說(shuō)明兒童對(duì)于一些圖形的形狀和性質(zhì)是有一定感知的。

幾何圖形中的“比多少”是要訓(xùn)練兒童的眼睛識(shí)別能力及直覺思維能力的活動(dòng)體驗(yàn)，如“這個(gè)三角形比那個(gè)三角形要大一些”，“這根小棍是四根中最長(zhǎng)的”，并可以通過(guò)實(shí)物比照去驗(yàn)證自己的感覺是否正確。

“容積”“質(zhì)量”“時(shí)間”概念。長(zhǎng)度不同的物體，可用眼睛去觀察其長(zhǎng)短的不同，或直接去比對(duì)，看到底哪個(gè)更長(zhǎng)一點(diǎn)，但不同容器內(nèi)所裝液體的多少則不容易用眼睛直接去目測(cè)出正確的結(jié)果。因?yàn)楫?dāng)容器的形狀不同時(shí)，液體形狀會(huì)隨著容器形狀的改變而變化，所以比較容積時(shí)就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)覺。這種錯(cuò)覺來(lái)源于兒童對(duì)容積形狀的大小附加在容器的大小上面。解決的辦法只能是讓兒童親自在活動(dòng)中體驗(yàn)，去獲得一定的生活經(jīng)驗(yàn)。首先讓兒童體驗(yàn)一樣多的溶液倒進(jìn)相同的杯子中，其容積是相同的，然后將幾個(gè)小杯子里的液體倒進(jìn)大杯子中，體會(huì)大杯子裝的液體比小杯子多的事實(shí)，最后是確定容積的單位（比如一個(gè)小杯子），可以去度量大杯子的容量，或者不規(guī)則容器的容量是多少（大杯子的容量盡量是小杯子的整數(shù)倍），甚至可以將實(shí)驗(yàn)作為訓(xùn)練加減法的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

兒童對(duì)質(zhì)量的感覺來(lái)自于自身的體驗(yàn)，起初可讓兒童兩只手同時(shí)拿起兩個(gè)小物體，感覺一下誰(shuí)重誰(shuí)輕，然后在天平上檢驗(yàn)。讓兒童理解質(zhì)量的實(shí)物單位也是必不可少的，可以選擇已知重量的小物體作為實(shí)物單位，然后在天平上度量其他物體的質(zhì)量。在比較物體輕重時(shí)仍會(huì)受到視覺上的干擾，正如一個(gè)兒童會(huì)感覺“一團(tuán)棉花比一小塊石頭要重一些”，體驗(yàn)活動(dòng)須使兒童認(rèn)識(shí)到物體的質(zhì)量與其形狀大小無(wú)關(guān)，區(qū)分物體的大小和其輕重不是一個(gè)概念，這很重要。

時(shí)間不同于長(zhǎng)度、容積及質(zhì)量概念，因?yàn)樗床灰娒恢?，所以要讓一個(gè)兒童知道時(shí)間是如何逝去的，或者說(shuō)做一件事需要多長(zhǎng)時(shí)間是可以測(cè)量的。首先選擇測(cè)量時(shí)間的工具必須是看得見的摸得著的，測(cè)量很短時(shí)間的工具可以是節(jié)拍器或是搖晃的單擺，能聽到秒針走動(dòng)聲音的鐘表更好。根據(jù)滴答聲來(lái)數(shù)一下做一件事用的時(shí)間，比較做兩件事用的時(shí)間的長(zhǎng)短不同，體會(huì)用秒去度量時(shí)間，然后理解用更大的時(shí)間單位去測(cè)量時(shí)間，如分鐘、小時(shí)、星期、月、年、世紀(jì)等。

總之，在兒童的數(shù)學(xué)概念形成發(fā)展階段，大量的體驗(yàn)活動(dòng)起著十分關(guān)鍵的作用。在活動(dòng)中配合語(yǔ)言、圖畫以及抽象的符號(hào)，最后能使兒童對(duì)數(shù)學(xué)概念有一個(gè)自然過(guò)渡的認(rèn)識(shí)過(guò)程，這樣形成的概念將成為兒童認(rèn)識(shí)世界的一種常識(shí)，而不是強(qiáng)加于他們心靈上的那些死記硬背的任務(wù)的完成，在整個(gè)過(guò)程中盡可能地避免較難的邏輯推理和抽象思維，否則會(huì)使兒童失去能一直接受下去的興趣，如果那樣，對(duì)兒童的后期學(xué)習(xí)將是百害而無(wú)一利。