薛建彪

筆者參加了2015年蘇州市中考閱卷工作，所在的閱卷組批閱第24題，題目是一道較簡單的幾何題.學生對第1問的解法五彩紛呈，現(xiàn)對幾種典型的解法作評價分析.通過此題，筆者談談對教學的思考和啟發(fā)，與同行交流.

1.原題呈現(xiàn)

如圖，在△ABC中，AB=AC.分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫弧，設兩弧交于點D，與AB、AC的延長線分別交于點E、F，連接AD、BD、CD.

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的長度之和（結果保留）.

第1問標準答案提供的解法：由作圖可知BD=CD.

在△ABD和△ACD中，

AB=AC，BD=CD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）.

∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.

筆者本以為大多數(shù)學生能夠輕松地解答出第1問，但沒想到蘇州大市此題的平均分為5.15分（滿分為8分），得分較低.再看看學生的幾種典型解法：

學生1的解法：由作圖可知：BD=CD，又∵AB=AC，∴D點、A點都在BC的垂直平分線上，即AD為BC的垂直平分線，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD（三線合一），即AD平分∠BAC.

學生2的解法：由作圖可知：BD=CD，∴∠DBC=ACD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACD，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.

學生3的解法：過點D作DH⊥AE，DG⊥AF，由作圖可得：BE=BD=DC=CF=BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBH=∠DGC，在△DHB和△DGC中，∠DHB=∠DGC，∠DBE=∠DCF，BD=DC，∴△DHB≌△DGC，∴DH=DG，又∵DH⊥AE，DG⊥AF，∴AD為∠EAF的角平分線，∴AD平分∠BAC.

學生4的解法：連接DE、DF，由作圖可得：BE=BD=DC=CF=BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBE=∠DCF，∴△BED≌△CFD，∴DE=DF，在△AED和△AFD中，AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC.

學生5的解法：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBE=∠DCF，∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC.

2.分析與評價

2.1本題特點

筆者查閱了近4年來蘇州市基礎解答題中對三角形全等判定的考察，無一例外地都放在了四邊形中，學生似乎習慣了“直來直去”的圖形，處理起來游刃有余.然而，2015年出卷老師在四邊形的基礎上增添了圓的元素——弧，兩個基本圖形（四邊形、?。耙恢币粡潯狈旁谝黄饡r，一部分學生就懵了，得出“BD=BA=BE”的結論，從而導致錯誤.

2.2學生的解法

學生1的解法中，抓住了特征條件：AB=AC，BD=CD，利用線段的垂直平分線的逆定理進行證明，方法另辟蹊徑，簡潔明了；學生2的解法運用三角形全等的判定條件邊角邊，雖然與標準答案中邊邊邊的解法相比，略顯繁瑣，但基本還在“通性通法”的范疇；學生3是通過構造到角的兩邊的垂線段，證明一次三角形全等得到垂線段長度相等，利用角平分線定理的逆定理得證；從學生4的解法中可以看出，此類學生雖然學會了三角形全等的證法，但不能靈活地篩選提取、組織有利條件，形成最佳方案解決問題；學生5的問題在于對圓的概念的理解不夠深刻，想當然地認為∠EAD和∠EBD是同圓或等圓中的圓周角與圓心角，缺乏學習幾何應該具備的“言之有據(jù)”的數(shù)學思維品質(zhì).

3.幾點思考與教學啟示

3.1在“通性通法”的基礎上培養(yǎng)學生發(fā)散性思維

章建躍博士指出：“‘通性’就是概念所反映的數(shù)學基本性質(zhì)；‘通法’就是概念所蘊含的思想方法。教學中，注重基礎知識及其蘊含的數(shù)學思想方法，才是追求數(shù)學教學的‘長期利益’.”第1問要證明AD平分∠BAC，實質(zhì)上是要證明∠BAD=∠CAD，學生最容易想到證明兩個角相等的“通法”就是證明兩個三角形全等，共有五種方法，結合圖形與條件，最簡便的方法就是利用三邊對應相等證明.然而，筆者欣喜地看到，學生1和學生3能夠抓住“角被平分”這一基本圖形，聯(lián)想到等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，運用線段的垂直平分線逆定理和角平分線逆定理證明，無不彰顯出這兩類學生優(yōu)秀的發(fā)散性思維品質(zhì).因此，在日常課堂上，教師應該培養(yǎng)學生基本的“通性通法”意識，在此基礎上鼓勵學生采用多種方法解決問題，逐步發(fā)展學生的發(fā)散性思維.

3.2在預設基礎上關注生成，強化對比辨析，促進認知

教師除了要精心預設以外，更要關注教學生成.在日常教學中，伴隨教學進程的推進，一定會出現(xiàn)豐富的教學生成.這些生成是寶貴的教學資源，教師應密切關注及時收集、整理.通過實物投影、圖片上傳等方式將一些可用的對比素材及時呈現(xiàn)，并讓學生仔細觀察這些資源，通過自主探究、合作交流等方式充分辨析.比如，在上述案例中，教師可以將5種解法“對比呈現(xiàn)”，引導學生經(jīng)歷觀察、辨析各種解法優(yōu)劣（包括錯誤）的過程，讓學生感知不同解法的繁簡，促進學生對4種證明解法的認知，提升學生問題解決的有效性與合理性，完善學生的認知網(wǎng)絡.

3.3引導學生自主建構幾何概念，體會數(shù)學本質(zhì)

一般而言，概念是同類事物本質(zhì)特征的概括.讓學生經(jīng)歷概念本質(zhì)特征的概括過程，使學生有機會通過自己的觀察與思考，從具體事例中抽象出概念的本質(zhì)特征進而獲得概念.幾何概念的獲得亦是如此.

案例：《圓》的集合定義教學片斷

教師：同學們小學里就學過了圓，能畫出圓的圖形嗎？動手畫一畫.

學生：（用圓規(guī)在紙上紛紛畫起來……）

（兩分鐘后）

教師：（從學生作圖中選取兩張）這兩個圓為什么一大一??？

學生1：因為它們的半徑大小不一樣.

教師：說明半徑?jīng)Q定圓的——

學生：大小.

教師：（拿出其中一張放在不同位置上）圓的位置由什么決定？

學生2：圓心.

教師：如何確定一個圓？

學生3：只要確定圓心（定點）和半徑（定長）.

教師出示問題：4個同學正在做投圈游戲，呈“一”字型排開，同時投圈，這樣的隊形對每個人公平嗎？你認為他們應該怎樣站，投圈才公平？說說理由.

學生4：他們可以按圓形站.

教師：想法很好?。ǔ鍪緢D1）為什么這樣站公平？

學生4：因為這4名同學到玩具（圓心）的距離都相等，都等于半徑長.

教師：如果換成100名同學游戲呢？

眾生：情況是一樣的.

教師：假設這4個同學到玩具的距離是1米，后來又來了兩個同學，他們到玩具的距離也是1米（如圖2），那么這兩個同學站在哪里公平？

學生5：還是圓上.

教師：如果來了100名同學呢？

眾生：圓上.

教師：類比這個游戲，誰來說說圓是由怎樣的一些點構成的？

學生6：到圓心（定點）的距離都等于半徑（定長）的一些點構成的.

教師：這樣的點有多少個？

眾生：無數(shù)個.

點評：學生在小學時已經(jīng)對圓有了一定的認識，基本能夠運用圓規(guī)畫出圓的圖形，但要讓學生理解圓的集合定義則存在較大困難.因此，教師首先讓學生通過作圖經(jīng)歷圓的形成過程及明確確定圓的兩個要素（圓心、半徑），然后設計了一個學生頗為熟悉、具體形象的“套圈”游戲，讓學生類比感知，自主建構出圓的集合定義“圓是到圓心的距離都等于半徑的點的集合”，體會圓概念的本質(zhì)屬性，學生深刻理解了圓的概念，解法5的錯誤就會少很多.

對于中考題，人們常常關注的是它的考試功能，事實上，筆者認為，更應該關注的是學生解答中考題所反映出的問題，以及給教師日常教學帶來的反思和啟示.此外，從教師自身專業(yè)發(fā)展來看，這些也是教師專業(yè)成長的寶貴資源.

參考文獻：

[1]章建躍.如何實現(xiàn)“思維的教學”.中學數(shù)學教學參考：中旬，2015（4）：10-12.

[2]萬劍波.注重通性通法，促進學生的可持續(xù)發(fā)展.中學數(shù)學教學參考：中旬，2014（9）：67-69.