劉佳 嚴(yán)育洪

【“望”：病例觀察】

蘇教版五年級下冊新教材中，圓的單元新增加了“扇形的初步認(rèn)識”。為了使學(xué)生認(rèn)識到“在同一個(gè)圓上，圓心角的大小決定扇形的大小”，執(zhí)教教師設(shè)計(jì)了這樣的活動環(huán)節(jié)——

教師在黑板上畫了一個(gè)圓，以兩條軟磁鐵為半徑，一條固定，轉(zhuǎn)動另一條。演示后提問：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：隨著圓心角的變化，扇形的大小也發(fā)生了變化。

生2：扇形的圓心角變大，扇形的面積也變大。

教師獲得預(yù)設(shè)答案，正要說下去，誰知又有學(xué)生接口——

生3：扇形是圓的一部分，它們是部分與整體的關(guān)系。

生4：圓是特殊的扇形，我感覺它們還是特殊與一般的關(guān)系。

教師聽了生4的回答，有點(diǎn)意外：“你為什么說圓是特殊的扇形？”

生4：圓可以看成圓心角是360°的扇形。

教師一聽，感覺有理。

……

【“問”：病歷記錄】

課后，筆者做了一個(gè)測試：首先讓學(xué)生畫一個(gè)圓，除了畫有直徑的圓，還有許多學(xué)生的作品如圖1；然后讓學(xué)生接著畫一個(gè)圓心角是360°的扇形，許多學(xué)生的作品如圖2。

在評課時(shí)，教師們在“扇形是不是圓的一部分”“圓是不是特殊的扇形”這兩個(gè)問題上爭得面紅耳赤——

師1：我認(rèn)為，“扇形是圓的一部分”這一說法是對的，因?yàn)榻滩睦}（如圖3）就是從圓中截取一部分引出扇形的。

師2：我認(rèn)為，“扇形是圓的一部分”這一說法不對，因?yàn)樯刃问怯蓤A周的一部分與它所對應(yīng)的圓心角圍成的圖形，它不包括內(nèi)部的涂色部分。

師1（不服）：那教材例題的要求不是寫了“觀察各圓中的涂色部分”嗎？

師2（解釋）：這可以從教材例題下面的小卡（如圖4）的提示知道，扇形只指外部的輪廓。

師3（依然不服）：照你這么說，教材小卡下面（如圖5）寫的“上面各圓中的涂色部分都是扇形”這句話作何解釋？

師2（語塞）：是啊，我也被弄糊涂了。“涂色部分”似乎又包括內(nèi)部的面積了。

……

師4：我感覺“圓是特殊的扇形”這種說法也不對，正如“平行四邊形不是特殊的梯形”一樣。

師5（質(zhì)疑）：如果它們不是包含關(guān)系，那為何扇形面積計(jì)算公式可以適用于圓面積計(jì)算公式，同樣，為何梯形面積計(jì)算公式可以適用于平行四邊形面積計(jì)算公式。

師4（思考許久）：這個(gè)……我也說不清。

……

【“切”：病理診治】

在《數(shù)學(xué)辭海（第1卷）》中對“圓”是這樣敘述的：圓（circle），平面幾何中最基本、最重要的圖形之一。圓的定義方式很多，常見的有以下三種：①平面上到定點(diǎn)O的距離等于定長r的全體點(diǎn)組成一條曲線稱為以點(diǎn)O為圓心、以r為半徑的圓周，簡稱圓。②到定點(diǎn)的距離等于定長的動點(diǎn)的軌跡稱為圓，該定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為圓的半徑。③給定一條線段，使其繞著它的一個(gè)固定的端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，其另一個(gè)端點(diǎn)所經(jīng)過的封閉曲線稱為圓，線段的固定端點(diǎn)稱為圓心，線段長稱為圓的半徑。

根據(jù)以上圓的定義，我們不難發(fā)現(xiàn)，圓是一條線，而不是一個(gè)面，它是“圓周”的簡稱。也就是張奠宙教授在《小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）》2014年第4期《更多地關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)與細(xì)節(jié)處理——以圓的定義為例》一文中的觀點(diǎn)：“一般認(rèn)為，圓是一維封閉曲線，具有周長。”

由此觀察上述課例，執(zhí)教教師“在黑板上畫了一個(gè)圓，以兩條軟磁鐵為半徑，一條固定，轉(zhuǎn)動另一條”這一做法，轉(zhuǎn)到最后留下的是這樣一個(gè)圖形（如圖6），它是圓心角是360°的扇形。我們把它與圓（如圖7）進(jìn)行比對，不難發(fā)現(xiàn)它們“外貌”不同：扇形是由圓的兩條半徑和圓心角所對的孤圍成的圖形。扇形的概念包括：①圓的兩條半徑；③圓心角所對的??；③由兩條半徑與弧圍成的圖形；④扇形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸。當(dāng)扇形的圓心角是360°時(shí)，圓心角的兩條半徑重合在了一起，圓心角所對的弧的長度正好等于弧所在圓的周長。而圓只是指圓周這一條曲線。

至此，我們不難發(fā)現(xiàn)，“圓心角是360°的扇形”和“圓”并不是一回事，“圓可以看成圓心角是360°的扇形”這一說法似乎并不正確，由此“圓是特殊的扇形”這一說法似乎也不成立。此時(shí)，我們也就可以體會到教材上只寫“右圖中A、B兩點(diǎn)之間的曲線是弧，它是圓的一部分”而不寫“扇形是圓的一部分”背后隱藏的道理。也就是說教材是把圓看作圓周的簡稱，當(dāng)然，如果教材例題要求把“觀察各圓中的涂色部分，說說它們的共同特點(diǎn)”改成“觀察各圓中的涂色部分的形狀（或輪廓），說說它們的共同特點(diǎn)”，可能更加明確。

可以說，一些學(xué)生產(chǎn)生誤解就是因?yàn)闆]有吃透圓與扇形的本質(zhì)含義，除此，還有一個(gè)原因是一些學(xué)生對圓存在著錯(cuò)誤表象，課后的調(diào)查已經(jīng)告訴我們，許多學(xué)生腦中的圓是如圖8這個(gè)樣子的——一個(gè)畫有半徑的圓，它貌似圓心角是360°的扇形樣子。

那么，為何一些學(xué)生會留下如此圓的形象呢？筆者認(rèn)為，這與知識的本身和教師的教學(xué)有一定關(guān)系。在教材編排上，認(rèn)識圓的一開始就與決定其大小的半徑聯(lián)系在了一起，由此一些學(xué)生也就認(rèn)為半徑是圓的一部分，再加上許多教師對圓的認(rèn)識也比較模糊或不注意對圓的抽象結(jié)果，于是造成學(xué)生對圓的認(rèn)識發(fā)生偏差。而以前認(rèn)識長方形就不會有此錯(cuò)覺，因?yàn)槭紫妊芯康倪吔?，并且決定長方形大小的恰好是圍成它的長和寬，認(rèn)識平行四邊形、三角形等平面圖形時(shí)，決定它們大小的高要在教學(xué)它們面積的時(shí)候才提及，并且常常被畫成虛線。因此，這些直線平面圖形的形象在學(xué)生腦海里還是比較清晰的。另外，許多教師采用甩小球等動態(tài)演示引出圓，連著小球的那一條線以及這條線掃過的面給學(xué)生造成了強(qiáng)烈刺激，于是有些學(xué)生對圓留下了錯(cuò)誤的印象。由此可見，小學(xué)教材采用沿著圓形物體一周描出圓的抽象方法，可以避免上述尷尬，一開始就讓學(xué)生留下圓的正確表象。

當(dāng)然，還有人是這樣來反駁“圓是特殊的扇形”這一說法的：若圓心角為360°時(shí)所組成的圖形，我們視它為特殊扇形，那么是否也可以將點(diǎn)視為特殊的線段（線段的兩個(gè)端點(diǎn)重合），從而視三角形是任意多邊形的特殊情況呢？再將點(diǎn)視為特殊的圓（R=0時(shí)），繼而又視圓錐是圓臺的特殊情況呢？

如果我們再次研讀《數(shù)學(xué)辭海（第1卷）》中對“圓”的描述，又會發(fā)現(xiàn)這樣一些文字：“到圓心的距離不大于半徑的點(diǎn)的全體通常稱為圓盤（或閉圓盤），有時(shí)也簡稱圓?！薄翱傊?，圓是圓周和圓盤的統(tǒng)稱?！?/p>

這些話告訴我們，圓也可以是圓盤的簡稱。例如教材中所用的“圓面積”，其意應(yīng)該是“圓盤面積”。此時(shí)我們也就能夠理解張奠宙教授所說的“一般認(rèn)為，圓是一維封閉曲線，具有周長”中的“一般”的含義了。眾所周知，我國小學(xué)數(shù)學(xué)基本上是從西方移植而來的，英文中的circle我們直譯為圓，其含義是一維的曲線。但是英文中還有一個(gè)詞disk，專指二維的圓形的圖形，《英漢大辭典》釋義為“圓盤、圓板、圓片、圓平面”。因此，在英文里，圓和圓盤是兩個(gè)不同的詞。但是，在漢語里，兩者混同起來了。

張奠宙教授在《更多地關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)與細(xì)節(jié)處理》一文中提出這樣的設(shè)想：“圓盤”一詞可不可以用“圓形”代替？這是由于三角形、矩形、多邊形以及高等數(shù)學(xué)中的曲邊梯形等詞語，都是指二維的圖形?！皥A形草坪”一句中所出現(xiàn)的“圓形”一詞，也是用來形容二維的草坪的。因此，借鑒矩形的面積、三角形的面積的說法，使用“圓形”的面積也許是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。這也是許多教師在以往教學(xué)中常有的困惑——“為何‘圓’不說成‘圓形’”的緣故。

《數(shù)學(xué)辭海（第1卷）》中也指出“半圓”與“半圓形”含義不同，“半圓”多指圓周一半的弧，而“半圓形”是指由半圓周和連結(jié)它的兩個(gè)端點(diǎn)的直徑所圍成的圖形。由此可見，如果這樣區(qū)分，那么“半圓是扇形”應(yīng)該說成“半圓形是扇形”，或者說成“半圓與直徑的組合也是扇形”。

其實(shí)，很多情況下，長方形、平行四邊形、三角形、圓以及扇形等平面圖形，在人的眼里，常常一詞兩義——在周長和面積之間切換，正如《數(shù)學(xué)辭海（第1卷）》中的補(bǔ)充說明：“在平面幾何中，圓一般多指圓周。在不同的學(xué)科和不同的場合，將圓理解成圓周還是圓盤，要視具體情況而定?！痹谄匠Ｊ褂弥校?dāng)它們表示面積的時(shí)候，我們習(xí)慣說“長方形面積”而不說“長方形面面積”， 習(xí)慣說“圓面積”而不說“圓盤（面）面積”，習(xí)慣說“扇形面積”而不說“扇面面積”等。當(dāng)圓指稱圓面、扇形指稱扇面的時(shí)候，“扇形是圓的一部分”“圓是特殊的扇形”等說法似乎又不可說不對。

扇形，一般情況下指一周的輪廓?！稊?shù)學(xué)辭海（第1卷）》中對“扇形”是這樣定義的：指由一條圓弧和過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形。初始認(rèn)識扇形時(shí)，我們還是應(yīng)該把概念建立在“一般情況下”。由此觀察教材例題（見圖9），可能會發(fā)生像課后訪談中教師的質(zhì)疑——“‘上面各圓中的涂色部分都是扇形’這句話該怎么解釋？”

對照教材例題下面小卡的提示語（見圖10）和教材最終呈現(xiàn)的扇形幾何圖（見圖11）， 我們大致可以明白教材編寫的意圖：“上面各圓中的涂色部分都是扇形”是知識的過渡，為了從圓（此處“圓”的含義應(yīng)是“圓盤”或“圓形”）中截取出扇形（此處的“扇形”的含義應(yīng)是“扇面”），然后讓學(xué)生觀察特征，最終抽取出扇形是由圓周的一部分與它所對應(yīng)的圓心角圍成的圖形?！稁缀卧尽愤@樣定義扇形：“由頂點(diǎn)在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形。”由此推想，教材可能想采用截取的意味來描述扇形的定義，畢竟扇形與圓有著密切的聯(lián)系，有的地方把“扇形”稱為“圓扇形”。當(dāng)然，如果把“上面各圓中的涂色部分都是扇形”說成“上面各圓中的涂色部分的形狀都是扇形”，可能更會讓學(xué)生明白扇形的一般意義。

上述課例中，生4認(rèn)為“圓是特殊的扇形”的理由是“圓可以看成圓心角是360°的扇形”，也就是當(dāng)扇形的圓心角增大到360°時(shí)，它是一個(gè)面積等于同半徑圓面積的特殊扇形，這是一種極限思想。這里觀察的對象是它們的面積，因此說成“圓心角是360°的扇形面積與同半徑圓面積相等”可能更為明確。

當(dāng)“圓是特殊的扇形”表示“圓面是特殊的扇面”時(shí)，對學(xué)生學(xué)習(xí)最大的好處是能把扇形面積計(jì)算公式同圓面積計(jì)算公式實(shí)現(xiàn)溝通與統(tǒng)一，減少記憶負(fù)擔(dān)。同理，“平行四邊形是特殊的梯形”表示“平行四邊形面是特殊的梯形面”時(shí)，那么梯形面積計(jì)算公式就能夠同平行四邊形面積計(jì)算公式實(shí)現(xiàn)溝通與統(tǒng)一。

然而，在一般意義上，“平行四邊形是特殊的梯形”在學(xué)術(shù)界又是一番爭論。根據(jù)梯形的一般意義“只有一組對邊平行的四邊形，叫作梯形”，毫無疑問，平行四邊形不是梯形。不過，當(dāng)看了持“平行四邊形宜為特殊的梯形”的人所提出的以下這些“證據(jù)”，我們又不免會發(fā)出這樣的感嘆：“‘平行四邊形是不是特殊的梯形’真的有那么重要嗎？把平行四邊形歸為特殊的梯形又何妨！”

（1）從圖形所具有的性質(zhì)來看，梯形所具有的一些公式、性質(zhì)，平行四邊形也都具有。

（2）從圖形的運(yùn)動軌跡角度來看，如圖12所示，

如果A點(diǎn)（或B點(diǎn)）向B點(diǎn)（或A點(diǎn)）運(yùn)動或做反方向運(yùn)動，當(dāng)且僅當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形ABCD為平行四邊形，其余的情況都是梯形；同樣，如果C點(diǎn)（或D點(diǎn)）向D點(diǎn)（或C點(diǎn)）運(yùn)動或做反方向運(yùn)動，當(dāng)且僅當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形ABCD為平行四邊形，其余的情況都是梯形。

（3）從知識的邏輯性角度來講，“有一組對邊平行的圖形叫作梯形”定義的優(yōu)點(diǎn)，在于它是清楚地按照邏輯分類敘述的，“只有一組對邊平行的圖形叫作梯形”定義則不是用的一種標(biāo)準(zhǔn)，而是同時(shí)采用了邏輯分類的兩個(gè)連續(xù)階段：首先是一組對邊的性質(zhì)，然后是另一組對邊的性質(zhì)。它不應(yīng)該同時(shí)采用，而應(yīng)該是順次的。采用了第二種定義，我們便失掉了邏輯的清晰性。張奠宙教授在《小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）》2015年第6期《正本清源，力求正確——關(guān)于數(shù)學(xué)教材中“分類”單元的評論》一文中，對四邊形按邊角關(guān)系的等級分類（見圖13），我們可以看出他也是把平行四邊形歸為特殊的梯形。

（4）從知識研究過程的角度來看，我們研究事物經(jīng)常用到的方法是從特殊到一般，然后用一般的方法或結(jié)論去解決特殊的問題。對于四邊形的研究，我們是從正方形（特殊的長方形）與長方形（特殊的平行四邊形）開始，接著是平行四邊形（特殊的四邊形），然后是梯形（特殊的四邊形）。也就是說，如果我們對四邊形的研究采用常用方法，即從特殊到一般：正方形—長方形—平行四邊形—梯形—四邊形，那么，平行四邊形就宜為特殊的梯形。

（5）從數(shù)學(xué)的簡約性角度來看，把平行四邊形歸為特殊的梯形，可以使四邊形的分類由目前的一分為三，即四邊形包括一般的四邊形、平行四邊形與梯形，簡化為一分為二，即四邊形包括一般的四邊形與梯形，這樣便于學(xué)生的研究與記憶。所有梯形的性質(zhì)，很自然地（也就是不必再加證明）使用在平行四邊形上，例如梯形中位線的性質(zhì)。

當(dāng)然，反對“平行四邊形宜為特殊的梯形”的人所持的論點(diǎn)是，如果把平行四邊形作為梯形，那么它就包含了等腰梯形。但是在以后證明的很多等腰梯形的性質(zhì)，都是平行四邊形所沒有的，如等腰梯形的底角彼此相等，等腰梯形的對角線彼此相等，等腰梯形可有一外接圓等。如果把平行四邊形認(rèn)為是等腰梯形，那么在上述的所有定理之中，在“等腰梯形”一語之后，都應(yīng)增加“如果它不是平行四邊形”的條件。為了避免這種麻煩，某些教學(xué)法專家寧可事先把平行四邊形從梯形中去掉。對此，倡議者提出可以通過兩種方法來解決：一是在所有的定理中，增加上面所說的條件，二是一勞永逸地把這條件加在等腰梯形的定義中，也就是這樣來定義：“兩腰相等但不平行的梯形，叫作等腰梯形?！?/p>

有人說，數(shù)學(xué)有時(shí)“粗”一點(diǎn)好，有時(shí)不一定非要分出是非來。我們可以按照現(xiàn)行教材普遍采用的如圖14這種便于學(xué)生理解的分類方法進(jìn)行概念教學(xué)，在之后的面積教學(xué)中，再順便指出梯形面積計(jì)算公式對于計(jì)算平行四邊形面積（包括長方形面積以及正方形面積）、三角形面積都適用，在此意義上，平行四邊形和三角形都可看作梯形的特殊情況。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)非常講究每隔一定的學(xué)習(xí)階段就從一種較高的視角來統(tǒng)觀全局，統(tǒng)攬前面所學(xué)過的互相關(guān)聯(lián)的各種知識。如果我們用“聯(lián)系”的觀點(diǎn)來考察知識，我們就會發(fā)現(xiàn)，打通知識之間的壁壘遠(yuǎn)比非要分出知識的是非來要有意義得多，它能夠讓我們跳出知識的“界限”，從更廣的知識背景下看到更遠(yuǎn)的知識風(fēng)景。例如我們可以用梯形面積計(jì)算公式統(tǒng)一平行四邊形面積和三角形面積，但我們?nèi)绻麚Q一個(gè)視角，還可以發(fā)現(xiàn)平行四邊形和三角形的面積計(jì)算也容納了梯形面積計(jì)算的方法，這就是中位線法——面積=中位線長×高。此時(shí)，誰還會去糾結(jié)它們之間的關(guān)系——誰是特殊誰是一般，而只會驚嘆它們之間的聯(lián)系——知識真奇妙！

（江蘇省宜興市城南實(shí)驗(yàn)小學(xué) 214200 江蘇省無錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校 214191）

編后語：“圓是不是特殊的扇形”“三角形是否可看作梯形的特殊情況”“平行四邊形是不是特殊的梯形”是專家、教師經(jīng)常探討的話題。誠然，一般討論的焦點(diǎn)都會落腳到“是”或“不是”的結(jié)論上。本文作者在綜合分析各家觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上提出了“數(shù)學(xué)有時(shí)‘粗’一點(diǎn)好，有時(shí)不一定非要分出是非來” 的觀點(diǎn)。他認(rèn)為如果用“聯(lián)系”的觀點(diǎn)來考察知識，就會發(fā)現(xiàn)打通知識之間的壁壘遠(yuǎn)比非要分出知識的是非來要有意義得多，它能夠跳出知識的“界限”，從更廣的知識背景下看到更遠(yuǎn)的知識風(fēng)景。對于這樣的觀點(diǎn)，你是否認(rèn)同呢？歡迎大家參與討論！