孫惠惠

編者按

對學(xué)情的準確把握和對教材編寫意圖及所呈現(xiàn)知識點的科學(xué)理解始終是展開有效教學(xué)的兩大關(guān)鍵抓手，但綜觀當(dāng)下課堂，不少教師在這方面的表現(xiàn)還是不盡如人意，無論是淡漠學(xué)情、誤讀學(xué)情的情況，還是對知識本身理解偏差或錯誤的狀況都常有發(fā)生。近年來，朱樂平數(shù)學(xué)名師工作站以“一課研究”為抓手，對此進行了持續(xù)深入的研討。本刊從本期開始，特辟專欄，擇優(yōu)刊登該團隊的部分研究成果，以饗讀者，也熱忱歡迎大家就文章本身或相關(guān)專題參與討論。

自新課程標準實施以來，原本自成體系的應(yīng)用問題系列單元被取消，取而代之的是應(yīng)用問題作為一種題型，散見于各個年級的每個領(lǐng)域，這種變化帶來了教學(xué)上的調(diào)整與教師的思考。由此，筆者在一、二年級中開展了學(xué)生應(yīng)用問題能力測試，發(fā)現(xiàn)了一些值得我們思考的問題，付諸筆端，供教學(xué)同人共同探討。

一、兩次測試帶來的思考

筆者選擇了一組加減一步計算應(yīng)用問題，在一、二年級測試，測試的時間節(jié)點分別是一年級上冊學(xué)習(xí)完10以內(nèi)的數(shù)的認識后，以及二年級開學(xué)兩周以后。測試目的是觀察學(xué)生在經(jīng)歷一年級下冊一個學(xué)期的學(xué)習(xí)之后，應(yīng)用問題解決的能力有怎樣的一種變化。

【測試問題】電梯從1樓升到9樓共升高了幾層樓？

【數(shù)據(jù)解讀】

表1：一、二年級應(yīng)用問題測試情況匯總表 完全

正確 答案正確

但不會用

算式表達 答案正確

但算式表

達錯誤 典型

錯誤 其他

錯誤

答案

類型 9-1=8 8 1+8=9 1+9=10

一年級 8% 10% 43% 23% 16%

二年級 70% 1% 2% 16% 12%

從表1的數(shù)據(jù)分析中可以看出，一年級學(xué)生對這類帶有情境的應(yīng)用問題有較好的理解能力，在未學(xué)習(xí)之前，已經(jīng)有61%的學(xué)生能準確理解題意，但由于所學(xué)知識的限制，其中只有8%的學(xué)生能給出“9-1=8”這種正確的算式表示方法;10%的學(xué)生知道答案是8，但是不會用準確的算式表達;43%的學(xué)生知道答案是8，并且嘗試用他所理解的關(guān)系來表達算式，但表達存在錯誤。

學(xué)生在經(jīng)歷了一年級下冊相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)后，到了二年級階段用正確的算式表達想法的能力有明顯提升，從原先的8%提升到70%。但仍然有28%的學(xué)生在解答這類問題時有困難，其中典型錯誤集中呈現(xiàn)在“1+9=10”的這種類型上。

二、訪談及成因分析

在數(shù)據(jù)統(tǒng)計中，有兩個數(shù)據(jù)引起了我們的重視，第一個是一年級采用“1+8=9”方式解答問題的人數(shù)達到43%;第二個是到了二年級階段采用“1+9=10”方式解答問題的人數(shù)從原先的23%下降到16%，僅下降了7個百分點。前者是學(xué)生學(xué)習(xí)的起點，也是教學(xué)的重點;后者是學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，也是教學(xué)的難點。據(jù)此，我們針對這兩類學(xué)生，展開了面對面的訪談。

（一）站在起點看發(fā)展，從順向思考到逆向思考要引起關(guān)注

直面學(xué)生學(xué)習(xí)的起點，我們對“1+8=9”解題方式的學(xué)生群體進行了訪談，當(dāng)問及“你是怎樣想的？”時，學(xué)生的典型回答是：“從1樓到9樓，中間距離還有8樓，1和8才能組成9?！睆脑L談中我們可以發(fā)現(xiàn)，用這種方式解答的學(xué)生，能準確地分析出“1樓+上升的8樓=9樓”這一數(shù)量關(guān)系，但由于沒有學(xué)習(xí)過如何用正確的算式表示這一思考過程，因此表達上有一定的困難，他們習(xí)慣于按照正向的邏輯順序列出數(shù)學(xué)算式。而事實上，本題應(yīng)該以逆向的邏輯順序?qū)︻}目進行表述，也就是采用“總數(shù)-部分數(shù)=另一部分數(shù)”進行算式表述，但這種表述需要進行語義和詞序上的轉(zhuǎn)換才可以順利地建立問題的情境模型，因此對于未加練習(xí)的學(xué)生來說，有一定難度。而這，也正是一年級下冊教學(xué)中教師要關(guān)注的教學(xué)要點。

（二）綜觀過程思緣由，關(guān)鍵詞策略是把雙刃劍

經(jīng)過一個學(xué)期的學(xué)習(xí)之后，采用“1+9=10”方式解答問題的學(xué)生人數(shù)從原先的23%下降到16%，下降幅度較小，問題出在哪里呢？

對使用1+9=10解決問題的一年級學(xué)生進行訪談，當(dāng)問及“你是怎樣想的？”時，學(xué)生們的典型回答有兩種，第一種關(guān)注一個“升”字，看到了“升高”就決定用加法。第二種關(guān)注一個“共”字，看到了一個“共”字，就決定把前面兩個加起來。對二年級學(xué)生進行訪談的結(jié)果也和一年級學(xué)生基本相同。采用這一問題解決方式的學(xué)生在解題策略中都不約而同地錯誤使用了關(guān)鍵詞策略，從而導(dǎo)致解題失敗。

研究中我們還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生關(guān)鍵詞策略的形成與以往的成功解題經(jīng)驗有關(guān)，比如：一個學(xué)生在第一次遇到問題“有15個氣球，賣了9個，還有幾個？”時，在“賣了9個”和“減去9”之間建立了聯(lián)系。之后學(xué)生繼續(xù)遇到問題，又陸續(xù)在“分給你9個”“運走了6根”和“減去9”“減去6”之間也建立了聯(lián)系。當(dāng)學(xué)生經(jīng)常用這樣的方式思考，并且用這樣的方法每次都能成功，那么在“賣了”“分給”“運走”與“減法策略”之間的聯(lián)系就會反復(fù)被加強，形成策略定勢。

那么，是否教材中所有的習(xí)題的關(guān)鍵詞算法指向都和題目的運算方式正好吻合呢？通過對一年級下冊教材的習(xí)題統(tǒng)計，我們發(fā)現(xiàn)，用減法解決問題的習(xí)題共32道，其中每道題目中都含有“摘下、喝掉、賣出、打破、其中、…比…多…、 …比…少…”等明確指向減法策略的關(guān)鍵詞。用加法解決的應(yīng)用問題5道，每道題目都含有“再加、共”等明確指向加法策略的關(guān)鍵詞;每道習(xí)題的算式解答方式都與關(guān)鍵詞的字面指向意思相同。這就使一些學(xué)生在不斷正向強化中，逐漸把關(guān)鍵詞策略優(yōu)化為個體解決問題的首選策略。

在訪談中我們還發(fā)現(xiàn)，同一個學(xué)生，采用關(guān)鍵詞策略，這個關(guān)鍵詞出現(xiàn)的位置不同，對于學(xué)生選擇解題方式的影響也是很大的。一、二年級的學(xué)生在關(guān)鍵詞的優(yōu)先序上關(guān)注點也有所不同，一年級最關(guān)注、最先看到的關(guān)鍵詞，更傾向于選擇信息中的表示加減含義的關(guān)鍵詞，如“升到9樓”，再把數(shù)字連起來進行列式。二年級的學(xué)生相對而言，有更好的整體情境理解的意識，更關(guān)注問題中的關(guān)鍵詞，來選擇問題解決策略，如“共升高幾層”。

三、教學(xué)啟示與思考

通過測試、訪談和分析，我們逐漸能夠把握學(xué)生在一年級下冊的學(xué)習(xí)起點、學(xué)習(xí)過程以及在這一過程中會遇到的學(xué)習(xí)障礙。在了解學(xué)生以及教材情況的基礎(chǔ)上，如何實施有效的教學(xué)策略來改善這一狀況，我們作出了以下幾點思考。

（一）回歸知識原點，聚焦量與量之間的關(guān)系

關(guān)鍵詞策略的隨意使用，確實會為解決問題帶來麻煩。但從一年級學(xué)生問題解決學(xué)習(xí)的心理過程來看，在問題解決初期，適當(dāng)使用關(guān)鍵詞策略仍然有助于學(xué)生掌握問題的基本類型和基本解題策略。那么，怎樣做才能既揭示出應(yīng)用問題自身的規(guī)律，又不至于使它成為思維定勢？那就要回歸到計算教學(xué)的原點，從兩數(shù)關(guān)系結(jié)構(gòu)的表征著手開展訓(xùn)練。

新課程標準中，應(yīng)用問題的解決是分散在計算教學(xué)中同步進行的，計算教學(xué)則是以數(shù)的分解、組成為教學(xué)基礎(chǔ)。那么對于應(yīng)用問題結(jié)構(gòu)的理解，教師可以算用結(jié)合，回歸到數(shù)的組成與分解中，去尋找問題解決的方法。

如“杯架上有13個杯子，取下6個杯子，還剩幾個？”在這道題的分析階段，教師只要讓學(xué)生邊讀題，邊試著用數(shù)的組成的方式畫一畫這道題的關(guān)系圖（見圖1）。學(xué)生原有的數(shù)的分解的經(jīng)驗就能自動遷移過來，使其清楚地感知到，求“還剩幾個”，就是求總數(shù)13中的一部分，求一部分，用減法算。

如此，同樣是對解決問題的特點進行提煉概括，但學(xué)生的關(guān)注點不再鎖定于表示加減暗示的關(guān)鍵字，而是回到數(shù)量之間的關(guān)系分析與思考，更多地關(guān)注量與量之間最簡單的總數(shù)與部分的關(guān)系上來，從而避免以后因關(guān)鍵詞策略誤用而帶來的解題煩惱。

（二）加強基本題的溝通，關(guān)注思路與算法的匹配

一步加減應(yīng)用問題主要解決的是對基本數(shù)量關(guān)系的認識，如何選擇運算方法是研究基本應(yīng)用問題教學(xué)的核心問題。一年級下冊，學(xué)生的學(xué)習(xí)特點是已經(jīng)具有一定的問題分析能力，能從不同角度對問題進行分析和解讀，這種分析和解讀的差異，帶來了實際問題解決的不同結(jié)果。如圖2這道題，學(xué)生通常會從兩種不同的角度來分析這個問題。一種是“一個箱子里有4瓶飲料，再裝幾瓶后能裝滿12瓶？”另一種是一個箱子里能裝12瓶飲料，已經(jīng)裝了4瓶，還能裝幾瓶？”一種是正向思考方向，4+□=12（瓶）;另一種是逆向思考方向，12-4=□（瓶）。對于學(xué)生而言，兩者的問題解決思路不同，就會導(dǎo)致問題解決算式上的差異。

像這樣的應(yīng)用問題的基本類型，如果教師在審題階段就有意識地引導(dǎo)學(xué)生畫出關(guān)系圖（見圖3），那么這種情況就可以被避免。借助數(shù)的組成的關(guān)系圖，學(xué)生會審慎地對題目中所涉及的數(shù)量關(guān)系進行整理和思考，從而清楚地看出，無論是那種思考方法，要求的都是總量12中的一部分，求一部分是多少，用減法計算。

通過這樣一加、一減思路的對比分析及部總關(guān)系圖式的輔助引導(dǎo)，有利于學(xué)生認清應(yīng)用問題的結(jié)構(gòu)，熟悉題目中出現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系以及條件與問題之間的因果關(guān)系，這樣，不同情境、結(jié)構(gòu)的基本題型的反復(fù)強化，在學(xué)生頭腦中建構(gòu)起來的是應(yīng)用問題的基本結(jié)構(gòu)，而不是只言片語關(guān)鍵詞的策略誤用。

（三）關(guān)注問題建構(gòu)，重視問題與條件的互逆

在一年級下冊眾多的應(yīng)用問題中，有一類“圖書館有一批書，又新買了36冊，現(xiàn)有78冊，圖書館原來有多少書？”這樣的題目。從解題思路分析，圖書館原有的書+新買的36本=現(xiàn)有的78本，但實際運算并不是加法，而是減法78-36=42（本）。這類題目是學(xué)生學(xué)習(xí)中難度比較高的題目，但是在教材中，僅僅只出現(xiàn)了3次。因此，在這幾個習(xí)題的教學(xué)時，教師需要特別重視，通過適當(dāng)?shù)念}組訓(xùn)練，提高學(xué)生根據(jù)問題結(jié)構(gòu)來選擇算法的能力。在本題的教學(xué)中，可以設(shè)計如下的題組：

①圖書館有一批書，又新買了36冊，現(xiàn)有78冊，圖書館原來有多少書？

②圖書館有42冊圖書，又新買了一批后，現(xiàn)有78冊，新買的圖書有多少冊？

③圖書館原來有42冊圖書，又新買了36冊，現(xiàn)在圖書館有多少冊圖書？

通過可逆性的變化，把應(yīng)用問題中的問題作為條件，把其中的一個條件轉(zhuǎn)為問題，這樣可以得到一組習(xí)題。在題組的解答過程中，教師依然可以使用關(guān)系圖作為對比和溝通的素材（見圖4）。這樣，當(dāng)我們把情境和結(jié)構(gòu)相關(guān)的一組習(xí)題放入一個系統(tǒng)中，通過對這組習(xí)題的比較，學(xué)生就可以從不同的角度，理解部分與整體的關(guān)系，形成理性的、系統(tǒng)的概括認識。

新版教材編寫時，應(yīng)用問題雖然已經(jīng)不再自成體系，而是散見于各個年級的各個板塊中，并且隸屬于問題解決領(lǐng)域，舊貌換新顏。但是大量的研究表明，具有真實而豐富背景的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的基本技能和解決問題的能力，還可以改變他們對數(shù)學(xué)的態(tài)度?；趯W(xué)生學(xué)情分析背景下的教學(xué)策略研討，正是我們向著這個方向行走的關(guān)鍵一步。

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（浙江省寧波藝術(shù)實驗學(xué)校 ? 315000）