陳慶憲

《教學(xué)月刊小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）曾在2010年第10期刊登了麻彩虹老師所寫(xiě)的《從“怎么想到”到“怎么想不到”——“三角形面積”磨課記》。麻老師在文章中介紹了三種方法的教學(xué)設(shè)計(jì)，第一種是給學(xué)生提供兩個(gè)完全相同的直角三角形紙片、兩個(gè)完全相同的銳角三角形紙片、兩個(gè)完全相同的鈍角三角形紙片，讓學(xué)生把每?jī)蓚€(gè)完全相同的三角形拼擺成平行四邊形，從而推導(dǎo)出三角形面積的計(jì)算方法。麻老師覺(jué)得這種方法提供的材料太明顯了，學(xué)生還沒(méi)經(jīng)過(guò)思考就在教師的要求下擺出長(zhǎng)方形或平行四邊形，這不是學(xué)生自己想到的方法。第二種是給學(xué)生提供畫(huà)有格子的三角形（每格表示1平方厘米），讓學(xué)生通過(guò)數(shù)格或剪拼把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的圖形，進(jìn)而推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算方法。這種方法是從一個(gè)特殊的三角形通過(guò)剪拼來(lái)推導(dǎo)三角形面積計(jì)算方法，而且使用這種方法后學(xué)生不會(huì)想到用兩個(gè)完全一樣的三角形來(lái)拼成平行四邊形進(jìn)行推導(dǎo)。接著麻老師介紹了第三種方法，先讓學(xué)生觀察一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)平行四邊形，先復(fù)習(xí)長(zhǎng)方形和平行四邊形的面積計(jì)算方法，接著教師把這三個(gè)圖形連上對(duì)角線，分別分出了直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形;通過(guò)這樣的過(guò)程，學(xué)生觀察到每個(gè)三角形都是剛才長(zhǎng)方形或平行四邊形面積的一半，同樣也自然地想到可以用任意兩個(gè)完全一樣的三角形去拼成平行四邊形來(lái)驗(yàn)證三角形面積的計(jì)算方法。麻老師經(jīng)歷了三次磨課，比較贊同第三種方法。

麻老師的文章引發(fā)了筆者的一些思考。筆者認(rèn)為，第三種方法學(xué)生雖然自己會(huì)想到，但這是依靠此前對(duì)長(zhǎng)方形、平行四邊形連接對(duì)角線分成兩個(gè)完全一樣三角形的暗示得出的。這種思維過(guò)程還是比較直接的，處理方式似乎也太直白了。那么怎樣才能使學(xué)生經(jīng)歷有價(jià)值的思考過(guò)程呢？當(dāng)時(shí)筆者寫(xiě)了一點(diǎn)補(bǔ)充作為探討，發(fā)表在《教學(xué)月刊小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）2011年第1-2期合刊上。主要做法是把麻老師的第二種有格子的三角形放在格子紙中（如圖1，每格表示1平方厘米）。希望學(xué)生能借助于格子的背景，除了能聯(lián)想到數(shù)格子和割補(bǔ)的方法之外，也能想到擴(kuò)拼法（如圖2）。

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

在實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生一開(kāi)始都是直接去數(shù)三角形格子，而在數(shù)的過(guò)程中會(huì)用到割補(bǔ)法。接著教師引導(dǎo)學(xué)生作進(jìn)一步觀察，一部分學(xué)生想到了擴(kuò)拼法。在這一環(huán)節(jié)教學(xué)之后，筆者給學(xué)生提供了畫(huà)在紙上的一個(gè)直角三角形、一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形，要求學(xué)生把它們標(biāo)上底和高，并采用畫(huà)一畫(huà)的方法把它們轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形或平行四邊形。學(xué)生以畫(huà)代擺，不僅運(yùn)用了割補(bǔ)法，還運(yùn)用了擴(kuò)拼法來(lái)推導(dǎo)三角形的面積。

時(shí)隔數(shù)月之后畢宏輝老師又在《教學(xué)月刊小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）2011年第7-8期合刊上發(fā)表了文章，文章針對(duì)筆者以上以格子為背景的三角形探究提出了三個(gè)觀點(diǎn)。第一個(gè)觀點(diǎn)認(rèn)為此前提供給學(xué)生格子紙上的三角形是一個(gè)特殊的三角形，例子過(guò)于特殊。第二個(gè)觀點(diǎn)認(rèn)為推導(dǎo)三角形面積有兩種策略，本課重點(diǎn)是擴(kuò)拼法。第三個(gè)觀點(diǎn)認(rèn)為研究三角形面積要從“一類”到“幾類”進(jìn)行。于是畢老師提出他的教學(xué)方案是從研究直角三角形的面積開(kāi)始。

筆者認(rèn)為畢老師的觀點(diǎn)的確值得我們深思，并對(duì)畢老師提出的后兩個(gè)觀點(diǎn)完全贊同，但對(duì)第一個(gè)觀點(diǎn)筆者認(rèn)為值得商榷。讓學(xué)生以格子為背景先研究這一特殊的三角形，從這一特例學(xué)生自己一定會(huì)想到去數(shù)格子，把兩個(gè)不到一格的拼成一格，這實(shí)際上就是割補(bǔ)法;除此之外，學(xué)生還會(huì)慢慢地借助于格子背景想到把它擴(kuò)拼成長(zhǎng)方形或平行四邊形，按擴(kuò)拼之后的圖形去數(shù)格子和計(jì)算，三角形面積就是擴(kuò)拼之后的圖形面積的一半。從這一特殊三角形數(shù)格子和擴(kuò)拼，其目的是為了讓學(xué)生自己想到如何把任意一個(gè)三角形也作類似的轉(zhuǎn)化得到面積的計(jì)算方法，這一過(guò)程也正是體現(xiàn)了從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。當(dāng)然畢老師提供的教法也給我們的教學(xué)帶來(lái)了很好的啟示，畢老師先要求學(xué)生在一個(gè)長(zhǎng)方形上畫(huà)一條線段，產(chǎn)生一個(gè)三角形，學(xué)生畫(huà)出了三種情況（如圖3）。學(xué)生從第一個(gè)圖中很快地說(shuō)出了這個(gè)直角三角形的面積是這個(gè)長(zhǎng)方形面積的一半，只要測(cè)量這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，也就是直角三角形的兩條直角邊（底和高）就知道這個(gè)三角形的面積。接著讓學(xué)生思考后兩個(gè)直角三角形，學(xué)生雖然一時(shí)有點(diǎn)困難，但在教師的啟發(fā)下——你們能不能也找到一個(gè)長(zhǎng)方形，使這個(gè)三角形成為它的一半——學(xué)生經(jīng)過(guò)思考構(gòu)建出長(zhǎng)方形（如圖4），三角形的面積是長(zhǎng)方形面積的一半，也就是兩個(gè)完全一樣的直角三角形可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，計(jì)算三角形的面積只要測(cè)量這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，也就是測(cè)量直角三角形的底和高。然后教師向?qū)W生提問(wèn)題：給你一個(gè)銳角三角形或鈍角三角形，你能否找出一個(gè)面積是它2倍的長(zhǎng)方形或平行四邊形呢？接著學(xué)生以不同對(duì)應(yīng)邊拼擺出不同的平行四邊形進(jìn)行推導(dǎo)。

分析以上教法，首先，筆者認(rèn)為畢老師對(duì)學(xué)習(xí)素材的處理很有創(chuàng)意，特別讓學(xué)生在一個(gè)長(zhǎng)方形中任意劃分出不同的直角三角形，使學(xué)生很快地進(jìn)入對(duì)一般直角三角形面積的探究。但仔細(xì)思考這樣的學(xué)習(xí)素材處理也出現(xiàn)了之前麻老師所介紹的第三種方法一樣的問(wèn)題，麻老師是對(duì)一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)平行四邊形，同時(shí)連上對(duì)角線來(lái)分別分出兩個(gè)完全一樣的直角三角形、兩個(gè)完全一樣的銳角三角形、兩個(gè)完全一樣的鈍角三角形，而畢老師只是針對(duì)長(zhǎng)方形分出了兩個(gè)完全一樣的直角三角形（圖3中的第一個(gè)圖），從這個(gè)直角三角形的面積就是這個(gè)長(zhǎng)方形面積的一半，再去思考后面兩個(gè)直角三角形如何分別擴(kuò)拼成長(zhǎng)方形。由于有了第一個(gè)圖形的暗示，再加上教師的提示，學(xué)生才會(huì)想到圖4所示的方法。另外，筆者認(rèn)為采用這樣的教學(xué)方案，學(xué)生的思維被局限于擴(kuò)拼法，雖然擴(kuò)拼法是教學(xué)的重點(diǎn)，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)前面剛剛學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積計(jì)算，對(duì)平行四邊形的割補(bǔ)法印象是很深的，如果在沒(méi)有任何暗示的情況下放開(kāi)讓學(xué)生思考，估計(jì)大部分學(xué)生會(huì)想到的是怎樣去割補(bǔ)把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的圖形，而強(qiáng)行將學(xué)生的思維局限于擴(kuò)拼法，全然不要學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，這種做法是否真的合適呢？

最近在我市的教研活動(dòng)中又有教師要教學(xué)此課，這促使筆者借鑒前面兩位教師的方法，對(duì)此課的教學(xué)作了新的思考與設(shè)計(jì)。借鑒畢老師從直角三角形入手，筆者認(rèn)為原來(lái)采用的“格子法”不能只給學(xué)生一個(gè)銳角三角形，而應(yīng)該給學(xué)生同時(shí)提供三種三角形（如圖5，每格表示1平方厘米）。學(xué)生先觀察直角三角形，因?yàn)橹苯侨切问菍W(xué)生最容易思考的，無(wú)論學(xué)生從怎樣的角度去觀察都能得到這個(gè)直角三角形的面積。

果不其然，在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生得出了三種方法（如圖6）。第一種方法是直接數(shù)格子（6個(gè)整格加上6個(gè)半格），得到面積是9平方厘米;第二種方法是把直角三角形的上半部分的小直角三角形剪拼到下面，得到一個(gè)正方形，面積也是9平方厘米;第三種方法是把它擴(kuò)拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形由兩個(gè)完全一樣的直角三角形拼成的，面積是長(zhǎng)方形面積的一半，也得到9平方厘米。

在教師組織學(xué)生對(duì)以上直角三角形的面積計(jì)算方法進(jìn)行反饋評(píng)價(jià)后，再讓學(xué)生繼續(xù)針對(duì)另外兩個(gè)三角形進(jìn)行觀察思考。接著教師組織學(xué)生反饋交流，除了一部分學(xué)生說(shuō)到割補(bǔ)，還有相當(dāng)多的學(xué)生自己說(shuō)到擴(kuò)拼法。（如圖7，銳角三角形擴(kuò)拼成的圖形。鈍角三角形擴(kuò)拼成的圖略）

圖7

接著教師再向?qū)W生提問(wèn)：對(duì)于任意三角形面積也能用類似的方法來(lái)驗(yàn)證它的面積計(jì)算方法是“底×高÷2”嗎？此時(shí)讓學(xué)生拿出紙片學(xué)具，學(xué)生從中分別選擇出兩個(gè)完全一樣的直角三角形紙片、兩個(gè)完全一樣的銳角三角形紙片、兩個(gè)完全一樣的鈍角三角形紙片，分別拼擺成長(zhǎng)方形或平行四邊形作進(jìn)一步驗(yàn)證說(shuō)理（如圖8、圖9、圖10），教師及時(shí)組織學(xué)生反饋評(píng)價(jià)。

圖8：用兩個(gè)完全一樣的直角三角形拼成的長(zhǎng)方形或平行四邊形

圖9：用兩個(gè)完全一樣的銳角三角形拼成的平行四邊形

圖10：用兩個(gè)完全一樣的鈍角三角形拼成的平行四邊形

反饋中教師抓住每一對(duì)三角形不同對(duì)應(yīng)邊的重合拼出的平行四邊形，要求學(xué)生找出拼好的平行四邊形的底和高與三角形對(duì)應(yīng)的底和高，使學(xué)生全面地驗(yàn)證了三角形的面積計(jì)算方法。最后教師要求學(xué)生拿出一個(gè)三角形，并向?qū)W生提問(wèn)：你能不能只用一個(gè)三角形把它剪拼成已學(xué)過(guò)的圖形推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算方法？（過(guò)程略）

綜觀以上分析，我們都在尋找如何讓學(xué)生自己想到三角形面積計(jì)算的推導(dǎo)策略。我們有這些不同教學(xué)方案的交流，應(yīng)該感謝麻彩虹老師開(kāi)始提出的“怎么想到”到“怎么想不到”的思考，這里的思考實(shí)質(zhì)是對(duì)教學(xué)觀念的深究。我們都在想如何從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，更好地讓學(xué)生經(jīng)歷有價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程;我們都在追求在自主發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中哪一種素材和方法既給學(xué)生暗示因素少一些，又能促使學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行探究，只有這樣，學(xué)生才有可能獲得更有價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，才能更好地提高自身的觀察、想象能力。

（浙江省臨海市教育局教研室 ? 317000）