鄭虹婷

摘 要： 高職數(shù)學(xué)教育現(xiàn)面臨困境，學(xué)生厭學(xué)情緒嚴(yán)重。本文首先剖析了多元表征的概念及其在教育上的功能，然后提出了高職數(shù)學(xué)的多元表征教學(xué)模式，并以極限教學(xué)為例闡述這一教學(xué)模式的教學(xué)過(guò)程。

關(guān)鍵詞： 多元表征 高職數(shù)學(xué)教學(xué) 教學(xué)模式

中國(guó)高等職業(yè)教育從20世紀(jì)70年代后期發(fā)展至今已歷經(jīng)三十多年。在這三十多年發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)課似乎已經(jīng)處于尷尬地位。一方面，高職教育不同于職業(yè)培訓(xùn)與中職教育，培養(yǎng)的是高等技術(shù)應(yīng)用型人才，因此必須具備高等人才的素養(yǎng)及今后在工作中發(fā)展的潛力，這就要求高職教育保留數(shù)學(xué)課程。另一方面，高職教育面對(duì)的學(xué)生與普通大學(xué)學(xué)生相比的“低”學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和“低”學(xué)習(xí)能力使得大多數(shù)的高職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率低下，學(xué)生厭學(xué)，教師不愿教。數(shù)學(xué)課程在高職教育中成了一塊名副其實(shí)的“雞肋”，高職數(shù)學(xué)教學(xué)改革任重而道遠(yuǎn)。將前沿的教育心理學(xué)理論融入教學(xué)方法改革，尋求突破當(dāng)前高職數(shù)學(xué)教學(xué)困境勢(shì)在必行。

一、關(guān)于多元表征及表征方法

表征的研究是認(rèn)知科學(xué)、教育等領(lǐng)域的熱門話題，其中多元表征研究更是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)國(guó)際研討組（Intemational Group for the psychology of Mathematics Edueation，pME）的研究主題，PME專門成立了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表征研究工作組，研究主題不僅包括關(guān)注實(shí)驗(yàn)情境中多元外在表征對(duì)學(xué)習(xí)影響的研究，近年來(lái)更重視在真實(shí)、日常教學(xué)情境中“從多元表征學(xué)習(xí)”（learning from multi-representatsons）和“用多元表征學(xué)習(xí)”（learning with multi-representations）等領(lǐng)域的研究。

研究表明：表征既是數(shù)學(xué)的一部分又是理解數(shù)學(xué)的手段[1]， 問(wèn)題解決者的表征在他們解決問(wèn)題中起關(guān)鍵作用[2]。表征成為解決數(shù)學(xué) 問(wèn)題中問(wèn)題解決者的思維工具或問(wèn)題解決交流的理解表達(dá)， 成為問(wèn)題解決者交流數(shù)學(xué)問(wèn)題并解決問(wèn)題的思維記錄. 因此，可以認(rèn)為表征水平影響甚至決定問(wèn)題解決者的能力水平[3]。表征教學(xué)是指教師與學(xué)生在課堂上所使用的幫助他們解釋概念、關(guān)系或關(guān)聯(lián)及解題的表達(dá)。

盡管目前，各國(guó)研究者對(duì)表征的分類不相一致，但一般都將外部表征分為敘述性表征和描繪性表征兩大類，敘述性表征的本質(zhì)是抽象符號(hào)，如數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的話語(yǔ)、文本、數(shù)學(xué)公式等；描繪性表征的本質(zhì)是圖像符號(hào)，如圖片、圖表、教具模型、實(shí)物情景、甚至用以傳遞動(dòng)作與情感經(jīng)驗(yàn)的各種手勢(shì)、表情動(dòng)作等[4]。而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的多元表征就是指對(duì)需要學(xué)習(xí)的某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，用敘述性表征和描繪性表征兩類本質(zhì)中的多種形式對(duì)其進(jìn)行表征，使得這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象中的表征形式豐富而多樣，從而更容易被學(xué)習(xí)者接受，并且更深刻理解。

二、高職數(shù)學(xué)用運(yùn)用多元表征教學(xué)模式

1.原有的多元表征教學(xué)模式

有研究者提出有效的初中代數(shù)思維教學(xué)程序是：先以問(wèn)題或問(wèn)題變式的提出激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)， 促使學(xué)生對(duì)問(wèn)題涉及的知識(shí)內(nèi)容的表征進(jìn)行探究； 其次引導(dǎo)學(xué)生對(duì)表征進(jìn)行變式， 形成多元表征， 得到初步理解； 然后將獲得的符號(hào)表征應(yīng)用于問(wèn)題解決及其變式中， 使之化解于各種知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中， 強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的深層理解； 最后， 通過(guò)對(duì)問(wèn)題解決變式的探究， 在培養(yǎng)思維品質(zhì)的同時(shí)， 形成代數(shù)知識(shí)內(nèi)容的抽象表征， 即對(duì)代數(shù)核心思想、等價(jià)（ 非等價(jià)） 關(guān)系、 模式的理解和應(yīng)用[3]。這種教學(xué)培養(yǎng)模式以抽象表征的獲得作為數(shù)學(xué)知識(shí)獲得的終結(jié)。

2.原有教學(xué)模式中的問(wèn)題

原有多元表征的教學(xué)模式有一點(diǎn)是值得思考的，即描繪性表征是否是敘述性表征的低級(jí)表現(xiàn)形式？這個(gè)問(wèn)題可以在數(shù)學(xué)教學(xué)中表述為：對(duì)于一個(gè)要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)對(duì)象，學(xué)生已經(jīng)掌握了其描述性表征，那么在此基礎(chǔ)上是否能進(jìn)一步抽象出其敘述性表征？反之，學(xué)生已經(jīng)能對(duì)此對(duì)象進(jìn)行敘述性表征是否能說(shuō)明他已經(jīng)能對(duì)此對(duì)象進(jìn)行描述性表征。但是目前腦成像研究證明[5]，抽象概念加工與具體概念加工會(huì)分別激活不同的腦區(qū)。在Scorolli等人（2011） 的實(shí)驗(yàn)中證明，主體對(duì)具體概念和抽象概念的表征可能涉及不同的表征系統(tǒng)。國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究也表明[6]，中國(guó)學(xué)生更擅長(zhǎng)敘述性表征形式，對(duì)于描述性表征更缺乏。以上研究表明：敘述性表征與描述性表征之間雖然有緊密聯(lián)系，但并沒(méi)有必然包含的關(guān)系，即：敘述性表征不是描述性表征的高級(jí)抽象形式，學(xué)生能理解數(shù)學(xué)對(duì)象的符號(hào)表征，不表明他能將數(shù)學(xué)對(duì)象用其他描述性表征形式表征，甚至有可能在各種實(shí)際情景中無(wú)法再認(rèn)出來(lái)。

3.改進(jìn)的多元表征教學(xué)模式

綜合前面的教學(xué)模式及存在的問(wèn)題，我們將高職數(shù)學(xué)的多元表征形式教學(xué)模式程序表示為：首先提出問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生對(duì)所提出問(wèn)題進(jìn)行以描述性表征為主的多元表征探究；其次引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)一步思考，在描述性表征的基礎(chǔ)上，形成敘述性多元表征；然后解決問(wèn)題，使得此數(shù)學(xué)對(duì)象成為學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的一部分；最后，提出新的問(wèn)題，并指導(dǎo)學(xué)生在新的問(wèn)題情境下，對(duì)此對(duì)象再次進(jìn)行不同形式的描述性多元表征，深化學(xué)生對(duì)此數(shù)學(xué)對(duì)象的實(shí)踐與應(yīng)用。并且其過(guò)程是以“提出問(wèn)題 —描繪性多元表征問(wèn)題— 敘述性多元表征問(wèn)題本質(zhì)—理解和掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)—用相關(guān)知識(shí)多元表征同類問(wèn)題”為單元的循環(huán)過(guò)程， 其具體情形如圖 1 所示：

描繪性表征？搖？搖敘述性表征？搖？搖？搖？搖 描繪性表征

？搖？搖？搖？搖↑？搖？搖 ？搖↑？搖 ？搖？搖↑ ？搖↑

→提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題—概念形成—問(wèn)題（概念）深化→

圖 1

三、高職數(shù)學(xué)用運(yùn)用多元表征教學(xué)案例

案例：數(shù)列極限概念的多元表征教學(xué)過(guò)程

首先，教師展示圖片利用面積法求數(shù)列a■=■的和，對(duì)極限概念進(jìn)行圖片表征，如圖2；

其次，學(xué)生動(dòng)手折棒，親歷“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”的情景，進(jìn)行實(shí)際操作表征；

接著，學(xué)生在不同數(shù)軸上做出多個(gè)數(shù)列圖像表征，例如a■=■ （如圖3），a■=（-1）■■， a■=（-1）■，a■=2n的圖像，將圖像分類并觀察其特點(diǎn)，對(duì)極限進(jìn)行圖形表征；

圖3

然后在教師指導(dǎo)下用語(yǔ)言描述表征“當(dāng)n趨近無(wú)窮大時(shí)， f（n）趨近某一常數(shù)A”數(shù)學(xué)極限概念，并用符號(hào)將其表征為■ f（n）=A，促使學(xué)生初步掌握數(shù)列極限概念；

再次，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生利用圓內(nèi)接正多邊形推導(dǎo)圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)問(wèn)題，對(duì)極限進(jìn)行圖形表征（如圖4）；

最后，教師還可以以古詩(shī) “孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見(jiàn)長(zhǎng)江天際流”或“無(wú)邊落木蕭蕭下，不盡長(zhǎng)江滾滾來(lái)”的意境表征加強(qiáng)學(xué)生對(duì)極限的感知。

參考文獻(xiàn)：

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