王杏 周仁國 翁小勇

摘 要： 立體幾何中最值問題可通過引入幾何變量，建立變量間的函數(shù)關(guān)系，再有效利用均值不等式解決問題，也可采用化歸的思想方法，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題。本文擬通過一道立體幾何的最值問題，探討用均值法與導(dǎo)數(shù)法解決此類問題的優(yōu)缺點(diǎn)。通過比較發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)法是解決立體幾何最值問題較快捷、有效又易理解的一種方法。

關(guān)鍵詞： 定義法 均值不等式 求導(dǎo)法 立體幾何

1.引言

求解最值問題通常在函數(shù)中出現(xiàn)，常用方法有均值法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)單調(diào)性等。對(duì)此，許多專家學(xué)者已研究得十分成熟，而對(duì)立體幾何的研究并不多見。因此，通過對(duì)立體幾何的最值問題，通過對(duì)比均值法和導(dǎo)數(shù)法發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)法是較快速、簡捷、有效的方法。

2.均值法與導(dǎo)數(shù)法的比較研究

案例：現(xiàn)有一矩形鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，將其從四角上剪掉邊長為xcm的四個(gè)小正方形，然后將余下部分折疊為一個(gè)無蓋鐵盒，問x為何值時(shí)鐵盒的容積最大，并求出最大容積。

分析：對(duì)于立體幾何問題求最值，可由已知條件選取恰當(dāng)變量建立函數(shù)關(guān)系，將生活中的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)最值的研究，體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

（均值法）本例可根據(jù)已知條件建立的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)使用均值不等式的條件，引入待定系數(shù)a、b，消掉x，從而使問題獲解。

依題意，設(shè)鐵盒高為x cm，則底面長為（30-2x）cm，寬為（14-2x）cm。

∴鐵盒容積V=（30-2x）（14-2x）x=4（15-x）（7-x）x

顯然：15-x>0，7-x>0，x>0

設(shè)V= （15a-ax）（7b-bx）x（a>0，b>0），則

根據(jù)“均值”不等式積有最大值，則需滿足“一正二定三相等”的條件，即

-a-b+1=015a-ax=7b-bx=x

解得，a= ，b= ，x=3

從而V= （ - ）（ - ）x≤ （ ）=576（a>0，b>0）

當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，V（x）取得最大值576cm （注：此例可設(shè)V（x）= （15a-ax）（7-x）bx，V（x）= （15-x）（7a-ax）bx（a>0，b>0），同理，根據(jù)均值不等式的使用條件“一正二等三相等”列出方程組，解出a、b、x。）

（導(dǎo)數(shù)法）V（x）=4（15-x）（7-x）x=4x -88x +420，0

令V′（x）=12x -176x+420=0

解得x=3或x= >7（不符合題意，舍去）

當(dāng)x<3時(shí)，V′（x）>0，V（x）為增函數(shù)；當(dāng)x>3時(shí)，V′（x）<0，V（x）為減函數(shù)；因此，當(dāng)x=3時(shí)取最大值，即V =4（15-3）（7-3）3=576cm 。

實(shí)際上，這是教學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法之“待定系數(shù)法”時(shí)的一道例題，旨在通過均值不等式“一正二定三相等”的使用條件，突出待定系數(shù)法在立體幾何中的應(yīng)用。但在此解法中，對(duì)于學(xué)生而言，引入待定系數(shù)，巧妙構(gòu)建函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)之和為0是非常困難的。而學(xué)生采用導(dǎo)數(shù)法求解問題，反倒使問題更簡便，更容易理解與掌握。

3.結(jié)語

通過將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，建立函數(shù)模型，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，找到的極值點(diǎn)，從而判斷該極值點(diǎn)是最大（或?。┲担鉀Q問題。由此可見，導(dǎo)數(shù)法不僅可用于函數(shù)中求單調(diào)性和最值，在立體幾何中也能發(fā)揮獨(dú)樹一幟的作用。

參考文獻(xiàn)：

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