田燕萍 劉婷婷

摘 要： 本文對(duì)當(dāng)前材料力學(xué)經(jīng)典教材中應(yīng)力的定義和描述進(jìn)行了討論，針對(duì)其中可能引起的謬誤進(jìn)行了相應(yīng)分析，新的定義相對(duì)簡潔，克服了原來定義中存在的問題。

關(guān)鍵詞： 材料力學(xué) 平均應(yīng)力 極限 應(yīng)力

應(yīng)力是材料力學(xué)中非?；竞椭匾母拍頪1]。現(xiàn)有的材料力學(xué)教材中，對(duì)于應(yīng)力的定義和描述有一些謬誤和含混不清，易讓初學(xué)者疑惑甚至理解錯(cuò)誤。本文將指出其中的問題，并提出一種更合理的定義和描述方式供材料力學(xué)教育工作者和學(xué)習(xí)者參考。

1.材料力學(xué)經(jīng)典教材中對(duì)應(yīng)力的定義

首先以被各大高校廣泛采用的劉鴻文教授的材料力學(xué)教材為例[2]，闡述現(xiàn)今普遍采用的定義和描述應(yīng)力的方式。

首先，為了說明截面上各處材料的受力強(qiáng)度，引入內(nèi)力集度，即內(nèi)力集中程度的概念。設(shè)在某受力構(gòu)件的m-m截面上，圍繞一點(diǎn)取微小面積ΔA，該微小面積ΔA上內(nèi)力的合力為ΔF，則單位面積上內(nèi)力的平均集度為p = ，也稱為平均應(yīng)力。當(dāng)ΔA→0時(shí)，極限值p= 是該點(diǎn)處內(nèi)力的集度，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力。由此得到應(yīng)力的定義，簡單地理解為面積趨為零的極限，有的教材上還直接寫成p= 。

這些教材指出，按照這里給出的定義，當(dāng)該微小面積ΔA→0時(shí)，ΔA上的內(nèi)力的極限狀態(tài)將是一個(gè)力，而不是一個(gè)力和一個(gè)力偶，即暗示ΔA上的內(nèi)力對(duì)ΔA內(nèi)任一點(diǎn)的力矩都等于零。

通過理論力學(xué)的知識(shí)，m-m截面受到空間任意力系的作用，那么圍繞截面上某點(diǎn)的微小面積ΔA上所受的是空間任意力系作用，存在如下幾個(gè)問題：

（1）在截面上不同的位置，截面所受力是不一樣的；在截面上不同的面積上，所受力是不一樣的；即使是面積大小相同，但形狀不同的話，所受力也是不一樣的，即力ΔF是不依賴于面積ΔA而存在的。綜上所述，即使該面積小到趨近于零， 也不一定會(huì)收斂于同一值。

（2）數(shù)學(xué)上對(duì)極限的定義為：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x 的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。?，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x |<δ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式|f（x）-a|<ε，那么常數(shù)a就叫做函數(shù)f（x）當(dāng)x趨于x 的極限，記作 f（x）=a。將上述定義對(duì)應(yīng)至材料力學(xué)應(yīng)力定義中，平均應(yīng)力 應(yīng)為ΔA的函數(shù)，那么在面積ΔA為零的鄰域內(nèi)應(yīng)滿足上述極限的定義。材料力學(xué)中一條非常重要的假設(shè)是材料的連續(xù)性假設(shè)，那么在面積為零及其無限小的鄰域內(nèi)，該假設(shè)就不再適用，這樣勢(shì)必導(dǎo)致材料力學(xué)整體理論框架錯(cuò)誤。

（3）力ΔF是不依賴于面積ΔA存在的，即ΔF不是ΔA的函數(shù)，是否還能用一階導(dǎo)數(shù) 表示應(yīng)力？

2.應(yīng)力定義的完善

上述問題的存在，導(dǎo)致在課堂中教師講解不清楚，學(xué)生也很疑惑。為了克服上述問題，本文對(duì)應(yīng)力的定義作了如下修改：

首先，從軸向拉壓桿的變形出發(fā)引入，通過觀察和實(shí)驗(yàn)可以知道，桿的橫截面上每一點(diǎn)內(nèi)力的強(qiáng)弱程度是一樣的，這樣可以引入內(nèi)力平均集度，即平均應(yīng)力的概念，同樣為p = 。在其他桿件中，如彎曲變形桿中，橫截面上的不同點(diǎn)也有內(nèi)力強(qiáng)弱程度之分，但每一點(diǎn)的強(qiáng)弱程度又不一樣，因此提出一種類似于軸向拉壓桿的平均應(yīng)力的定義，把某一點(diǎn)附近一“小面積”上的內(nèi)力的平均定義為平均應(yīng)力。對(duì)于應(yīng)力，還是采用經(jīng)典教材中的極限定義，但是做出如下修改：

當(dāng)ΔA→ε時(shí)，極限值p= 是某點(diǎn)處內(nèi)力的集度，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力，而ε約為100倍原子尺度 。

這樣既沿用了原來的極限定義，又回避了與連續(xù)性假相沖突的問題，還應(yīng)用了統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)，這里ΔA為該點(diǎn)附近一有限面積，不再是趨于零的一個(gè)數(shù)，在這個(gè)面積內(nèi)，不管所取的面積形狀如何，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，該點(diǎn)應(yīng)力的值都趨于一常數(shù)，當(dāng)然導(dǎo)數(shù)表示法 存在的問題不會(huì)出現(xiàn)。

3.結(jié)語

本文對(duì)材料力學(xué)經(jīng)典教材中應(yīng)力的定義進(jìn)行了改進(jìn)，避免了原來定義中的混淆不清和謬誤。新的定應(yīng)義既沿用了原來定義中極限的采用，又克服了原來定義中的問題，簡單并且易于理解。

參考文獻(xiàn)：

[1]S.鐵摩辛柯，J.蓋爾.材料力學(xué).科學(xué)出版社，1978.

[2]劉鴻文.材料力學(xué)（第5版）.高等教育出版社，2011.

[3]馮元楨.連續(xù)介質(zhì)力學(xué)導(dǎo)論.科學(xué)出版社，1984.