林曉偉，周熙登

（1.閩南師范大學 商學院，福建 漳州 363000；2.南昌工程學院 工商管理學院，南昌 330029）

在當今的市場環(huán)境中，滯后支付（或信用支付）扮演著非常重要的角色，企業(yè)采用滯后支付策略，不僅可以促進銷售，降低庫存水平，而且能夠提高市場份額，與此同時，顧客可以很快地獲得商品或服務，并且不用立即支付任何費用。

基于滯后支付策略的庫存問題引起了許多學者的關注，并取得了不少的研究成果。Goyal［1］首先提出了允許滯后支付的EOQ模型，但是該模型假設采購成本等于銷售價格且未考慮變質性商品的情形，隨后，許多學者對該模型進行了多方面的擴展。Chu等［2］考慮了變質產品情形下的EOQ模型；Aggarwal等［3］則進一步考慮了變質率為指數(shù)分布形式下的庫存模型；Jamal等［4］和Chang等［5］進一步研究了滯后支付情況下，變質產品在允許缺貨條件下的訂貨策略；Sarker等［6］研究了變質產品滯后支付條件下的最優(yōu)支付時間問題。

以上文獻僅考慮單層次滯后支付情形下的訂購策略。Huang等［7］首先建立了兩層次滯后支付策略下的EOQ模型，模型假設供應商提供給零售商一個滯后支付期限M，接著，零售商給顧客也提供一個滯后支付期限N（N＜M），研究了零售商的最優(yōu)訂貨策略；之后，Huang［8］對Huang等［7］模型進行拓展，考慮了零售商庫存存儲空間約束；Huang［9］則構建了兩層次滯后支付條件下EPQ模型；在此基礎上，Liao［10］構建了具有指數(shù)變質率商品的兩層次滯后支付EOQ模型；Jaggi等［11］提出了需求依賴付款期限的兩層次滯后支付EOQ模型；Thangam等［12］構建了需求同時依賴付款期限和零售價格的兩層次滯后支付易逝品定價訂購模型。

在現(xiàn)實市場環(huán)境中，當批發(fā)商有較強的決策權或主導權時，對上游供應商，采取貨款完全滯后支付策略，對下游零售商，則采取部分貨款滯后支付策略，Huang等［13］在此情況下，構建了兩層次滯后支付的EOQ模型；Ouyang等［14］以訂購數(shù)量作為一個決策因素，構建了滯后支付的EOQ模型；Thangam等［15］探討了兩層次滯后支付策略下兩貨棧最優(yōu)定價訂購模型；Yen等［16］從更實際的角度出發(fā)，認為零售將所獲得的銷售額立即支付所欠貨款，并構建相應模型；Huang［17］研究了變質產品兩層次滯后支付條件下的最優(yōu)支付時間問題。

近年來，特別是當前世界性的金融危機背景下，由于大幅度的通貨膨脹和隨之而來的貨幣購買力的迅速下降，各國的經濟狀況都發(fā)生了翻天覆地的改變，資金或費用的時值是時刻變化著的，通貨膨脹和資金的時間價值的深遠影響也不可能再被忽視。因此，在庫存系統(tǒng)的庫存管理決策過程中，必須考慮費用的時值對訂貨策略的影響。最早將費用時值引入庫存模型中的當屬Buza-cott［18］，在各種價格策略下，Buzacott討論了通貨膨脹條件下的EOQ模型，Misra［19］研究了考慮費用時值的EOQ模型。此后，文獻［20-22］中進一步研究了通貨膨脹條件下的變質性商品的庫存模型。Liao等［23］考慮了通貨膨脹和貨幣時間價值對庫存的影響，以總成本為目標函數(shù)，構建了兩層次滯后支付易逝品庫存模型，未考慮部分滯后支付情形。

本文在Liao等［23］的基礎上，以批發(fā)商利潤最大化為目標，構建兩層次部分滯后支付易逝品庫存模型，使模型更接近于實際情況，并給出了零售商在上述情況下的最優(yōu)訂貨周期和最優(yōu)訂購數(shù)量的計算方法，從而進一步豐富了信用支付條件下的庫存控制理論。

1 模型所用的符號與假設

1.1 模型所用符號

λ—年需求率

K—批發(fā)商每次訂貨的固定費用

h—單位商品單位時間的庫存保管費用

c—單位商品的購買費用

s—單位商品的銷售價格，其中c＜s

Ik—單位庫存單位時間的支付利息

Ie—單位庫存單位時間的收益利息

R—關于貨幣時間價值的貼現(xiàn)率

T—庫存周期長度（決策變量）

I（t）—t時刻的庫存水平

θ—商品的變質率，假定是一個常數(shù)，且商品變質后無殘值（0＜θ＜1）

M—供應商允許批發(fā)商購買費用滯后支付期

N—批發(fā)商允許零售商購買費用滯后支付期，且M＞N

TPH1（T）—T≤N時，該庫存系統(tǒng)總利潤

TPH2（T）—N≤T≤M時，該庫存系統(tǒng)總利潤

TPH3（T）—M≤T時，該庫存系統(tǒng)總利潤

1.2 問題假設

（1）備運期為0。

（2）不允許缺貨。

（3）補貨率趨于無窮大，即補貨是瞬時完成的。

（4）系統(tǒng)運行在無限計劃期內。

（5）零售商在購買商品時，必須支付一定比例α的購貨款項，在期限N結束時，支付剩余的款項；在期限M之前，批發(fā)商將所得收入以利率Ie存入銀行掙得利息，在期限M結束時，若庫存中的商品還未銷售出去，批發(fā)商以利率Ip向供應商支付利息。

2 模型的構建

根據(jù)以上的分析與假設，在每個補貨周期初，即t=0，Q單位商品到達批發(fā)商庫存，由于銷售，以及商品變質的原因，庫存將在T時刻變?yōu)?，至此一個訂貨周期結束，然后整個過程重復進行。

顯然，在0≤t≤T時，庫存水平由于需求和變質而下降，故表示庫存水平變化的狀態(tài)方程為

利用邊界條件I（T）=0，以上等式可得

于是，每個周期的訂貨量為

根據(jù)上述假定可知，一個訂貨周期內批發(fā)商庫存系統(tǒng)的利潤函數(shù)由以下部分組成。

（1）每個周期固定訂購費用為

（2）每個周期的庫存成本凈現(xiàn)值為

（3）每個周期的購買成本為

（4）每個周期賺取的銷售收入的凈現(xiàn)值可分為3種情形。

①T≤N。零售商在購買商品時必須支付一定比例α的購貨款項，在期限N結束時必須支付其余款項，因此，批發(fā)商銷售收入的凈現(xiàn)值為

②N≤T≤M。同理，零售商在支付比例α的購貨款后，剩余的款項在期限N支付給批發(fā)商，由于銷售沒有結束，在［N，T］之間，零售商需要支付全部款項，故批發(fā)商銷售收入的凈現(xiàn)值為

③M≤T。這種情形與N≤T≤M相同，因此，批發(fā)商銷售收入的凈現(xiàn)值為

（5）同理，每個周期所賺取的利息凈現(xiàn)值也可分為3種情形。

①T≤N。零售商在購買時就要求支付一定比例的款項，因此，從銷售開始，批發(fā)商就可以持續(xù)地利用銷售收入賺取利息，由時刻0～T，獲得的利息凈現(xiàn)值為。由時刻T～N，利用在銷售區(qū)間［0，T］內得到的部分銷售收入賺取利息，其凈現(xiàn)值為。由時刻N～M，即零售商支付剩余的購貨款項后，批發(fā)商利用整個銷售收入賺取利息，其凈現(xiàn)值為。因此，由時刻0～M，批發(fā)商共賺取的利息凈現(xiàn)值為

②N≤T≤M。既然N≤T，由時刻0～M，批發(fā)商共賺取的利息凈現(xiàn)值為

③M≤T。由于M≤T，批發(fā)商賺取的利息由兩部分組成：由時刻0～N，批發(fā)商持續(xù)地利用銷售收入賺取利息，其凈現(xiàn)值為；由時刻N開始，零售商在購買時必須支付全部款項，其凈現(xiàn)值為。因此，由時刻0～M，批發(fā)商共賺取的利息凈現(xiàn)值為

（6）同理，每個周期所支付的利息凈現(xiàn)值也可分為3種情形。

①T≤N。批發(fā)商允許零售商滯后支付期N，小于滯后支付期M，此時應支付給供應商的利息為0。

②N≤T≤M。同理，此時應付的利息也為0。

③M≤T。在這種情形下，因為銷售周期T大于允許固定的滯后支付期M，所以批發(fā)商不能在滯后支付期M結束時支付全部款項，因此，由時刻M～T，批發(fā)商需要支付剩余庫存中商品的利息，其凈現(xiàn)值值為

綜上所述，批發(fā)商每個周期的利潤函數(shù)為：

經過化簡，計算可得：

式（7）～（9）的未來所有現(xiàn)金流的凈現(xiàn)值為：

容易驗證，

TPH1（M）=TPH2（M），TPH2（N）=TPH3（N）所以TP（T）在區(qū)間（0 ，+∞）上是連續(xù)的。

本文要解決的問題是在允許購買款項滯后支付的情形下，以求得批發(fā)商獲得利潤最大時的最優(yōu)訂購策略，下面對上述模型進行分析求解。

3 模型求解

由極值存在的必要條件，T的最優(yōu)值一定滿足

因此，可得

式中：

首先給出關干函數(shù)TPHi（T）最優(yōu)解的一個性質定理。

定理1

（2）若f2（0）＞0，則TPH2（T）在區(qū)間（0，）內嚴格遞增，而在區(qū)間（，+∞）內嚴格遞減，即TPH2（T）在（0 ，+∞）內于處取得最大值。

（3）若f3（0）＞0，則TPH3（T）在區(qū)間（0，）內嚴格遞增，而在區(qū)間（，+∞）內嚴格遞減，即TPH3（T）在（0 ，+∞）內于處取得最大值。

證明見附錄A。

根據(jù)定理1，已獲得TPHi（T）的最優(yōu)值T*，由式（14）～（16），可得：

為簡化表達，不妨設

由于f2（T）在（0，+∞）內嚴格單調遞減，故有Δ1≥Δ2，下面的定理可以找到模型的最優(yōu)解T*。

定理2

（1）如 果Δ1＜0且Δ2＜0，TP∞（T*）=TP∞（），因此，T*=；

（2）如 果Δ1＞0且Δ2＜0，TP∞（T*）=TP∞（），因此，T*=；

（3）如 果Δ1＞0且Δ2＞0，TP∞（T*）=TP∞（），因此，T*=。

證明見附錄B。

4 數(shù)值與算例

例1設s=20，c=10，λ=2 000，M=0.2，N=0.1，R=0.08，h=3，A=100，α=0.7，θ=0.05，Ie=0.1，Ik=0.15，經計算，可得

且

利用定理1可知，批發(fā)商庫存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購周期為T*==0.132 5，所以系統(tǒng)的最大利潤為TP*=239 000。調整M和N，可得到其他結果，如表1所示。

表1 M和N的變化對最優(yōu)訂貨策略的影響

例2設s=20，c=10，λ=2 000，M=0.7，R=0.08，h=3，A=100，Ie=0.1，Ik=0.15，α=0.7，θ=0.05，分析了滯后支付期N的變化。

表2 N的變化對最優(yōu)訂貨策略的影響

例3在例1的基礎上，考察購買付款比例α和商品變質參數(shù)θ的變化對最優(yōu)訂貨策略的影響，結果如表3、4所示。

表3 α的變化對最優(yōu)訂貨策略的影響

表4 θ的變化對最優(yōu)訂貨策略的影響

表2～4中的數(shù)據(jù)顯示，隨著滯后支付期限N的增加，最優(yōu)訂貨周期、最優(yōu)訂貨量和利潤隨之減小；而零售商購買付款比例α的增加，最優(yōu)訂貨周期和最優(yōu)訂貨量隨之減小，利潤隨著增加，這說明，滯后支付期限N和零售商購買付款比例α的變化對系統(tǒng)制定最優(yōu)訂貨策略具有一定的影響。另外，隨著商品變質參數(shù)θ的增加，系統(tǒng)的最優(yōu)訂貨周期、最優(yōu)訂貨量以及最優(yōu)利潤都在隨之減小，這是因為，當商品的變質速度加快時，批發(fā)商只有通過減少訂貨量來盡量避免高變質率所帶來的損失，從而使得其利潤水平下降，可見，如何控制商品的變質率也是庫存管理者必須面對的課題。

5 結論

本文對通貨膨脹情形下兩層次部分滯后支付庫存系統(tǒng)進行研究，其中，供貨商提供給批發(fā)商購買款項完全滯后支付期，而批發(fā)商提供給零售商購買款項部分滯后支付期，并建立了相應的庫存決策模型，得出批發(fā)商在上述情況下，最優(yōu)訂貨周期和訂購數(shù)量的簡單判定方法。

（1）f1（N）=f2（N）＜0，且f2（M）=f3（M）＜0，批發(fā)商的最優(yōu)訂貨周期為。

（2）f1（N）=f2（N）＞0，且f2（M）=f3（M）＜0，批發(fā)商的最優(yōu)訂貨周期為。

（3）f1（N）=f2（N）＞0，且f2（M）=f3（M）＞0，批發(fā)商的最優(yōu)訂貨周期為。

最后，通過實例驗證了模型的可行性，得到了與現(xiàn)實相符的結論，隨著批發(fā)商滯后支付期限N的增加，最優(yōu)訂貨周期，最優(yōu)訂貨量和利潤隨之減??；而零售商購買付款比例α的增加，最優(yōu)訂貨周期和最優(yōu)訂貨量隨之減小，利潤隨著增加，這說明，滯后支付期限N和零售商購買付款比例α的變化對系統(tǒng)制定最優(yōu)訂貨策略具有一定的影響。因此，批發(fā)商應根據(jù)供應商提供的滯后支付期限，靈活制定零售商滯后支付策略，同時，利用供應鏈的優(yōu)勢地位，對零售商采取部分貨款滯后支付策略，需要確定一個合理付款比例，以使得自己的利潤最大化。

本文僅研究批發(fā)商獨立決策問題，以批發(fā)商利潤最大為目標，忽略了零售商利益損失，批發(fā)商在制定滯后支付策略時，即確定付款期限以及付款比例，會對零售商利益產生一定的影響，因此，將進一步研究需求依賴滯后支付期限情形，批發(fā)商和零售商組成的二級供應鏈利益協(xié)調問題。另一拓展方向可以放寬假設2，即考慮允許缺貨情形下的批發(fā)商訂購策略。

附錄A

定理1的證明

（1）由式（14），可得φ1（T）=TP1（T），f1（T）與有相同的定義域和相同的符號，進一步對f1（T）求導，可得

如果f2（0）＞0，易知f2（T）在區(qū)間（0 ，+∞）內存在唯一的零點（設為），因此，TPH2（T）在（0 ，+∞）內于處取得最大值。

如果f3（0）＞0，易知f3（T）在區(qū)間（0 ，+∞）內存在唯一的零點（設為），故TPH3（T）在（0，+∞）內于處取得最大值。

附錄B

定理2的證明

（1）如果Δ1＜0且Δ2＜0。T*1＜N，＜N＜M，＜M，當T＜N時，TP∞（T）在T=處取得最大值；當N≤T≤M時，TP∞（T）在T=N處取得最大值；當T≥M時，TP∞（T）在T=M處取得最大值。另外，TP1（N）=TP2（N），TP2（N）＜TP2（M），TP2（M）=TP3（M），TP1（）＞TP1（N），根據(jù)以上分析，TP∞（T）在T=取得最大值。

（2）如果Δ1＞0且Δ2＜0。＞N，＞N，＜M，＜M，當T＜N時，TP∞（T）在T=N處取得最大值；當N≤T≤M時，TP∞（T）在T=T*2處取得最大值；當T≥M時，TP∞（T）在T=M處取得最大值。另外，TP1（N）=TP2（N），TP2（）＞TP2（M），TP2（）＞TP2（N），TP2（M）=TP3（M），根據(jù)以上分析，TP∞（T）在T*=取得最大值。

（3）如果Δ1＞0且Δ2＞0＞N＞N＞M＞M，當T＜N時，TP∞（T）在T=N處取得最大值；當N≤T≤M時，TP∞（T）在T=M處取得最大值；當T≥M時，TP∞（T）在T*=處取得最大值。另外，TP1（N）=TP2（N），TP2（M）＞TP2（N），TP2（M）=TP3（M），TP3（）＞TP3（M），根據(jù)以上分析，TP∞（T）在T*=取得最大值。