趙東東

（南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院）

一、數(shù)學(xué)符號(hào)概述

1.歷史介紹類

桂質(zhì)亮從原始計(jì)數(shù)符號(hào)、數(shù)字符號(hào)以及代數(shù)幾何符號(hào)三個(gè)方面對(duì)古代數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展、演變進(jìn)行了敘述，并指出：相對(duì)于計(jì)數(shù)技巧，原始計(jì)數(shù)符號(hào)對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展具有更基本、更重要的作用；該時(shí)期形成了大致完善的數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)，在代數(shù)幾何領(lǐng)域不成系統(tǒng)地出現(xiàn)了一些縮寫與象形符號(hào)。

此外，徐美進(jìn)基于對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的分類，從表示數(shù)與量的符號(hào)、表示某種運(yùn)算的符號(hào)（即運(yùn)算符號(hào)）、表示某種關(guān)系的符號(hào)以及僅作為記號(hào)的符號(hào)等四個(gè)方面論述了數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生、演變和發(fā)展。托和勒理則論述了在數(shù)學(xué)符號(hào)化的發(fā)展進(jìn)程中數(shù)的記號(hào)的產(chǎn)生以及代數(shù)的符號(hào)化，此外也介紹了笛卡爾和萊布尼茨關(guān)于符號(hào)化的思想以及數(shù)理邏輯興起所具有的深遠(yuǎn)意義。

2.數(shù)學(xué)符號(hào)界定

薛茂芳認(rèn)為：數(shù)學(xué)符號(hào)有兩種含義。一種是單指表示數(shù)學(xué)概念的符號(hào)；另一種泛指整個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)體系。它既包括表示數(shù)學(xué)概念的符號(hào)，又包括表示數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)論證適用的所有符號(hào)以及其他專用符號(hào)，等等。

徐美進(jìn)將數(shù)學(xué)符號(hào)分為四類：表示數(shù)與量的符號(hào)、表示某種運(yùn)算的符號(hào)（即運(yùn)算符號(hào)）、表示某種關(guān)系的符號(hào)以及僅作為記號(hào)的符號(hào)。

3.數(shù)學(xué)符號(hào)特點(diǎn)

時(shí)靖認(rèn)為數(shù)學(xué)符號(hào)具有統(tǒng)一性。與一般語(yǔ)言系統(tǒng)不同，數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)每個(gè)符號(hào)都有具體含義，有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。此外，數(shù)學(xué)符號(hào)還具有抽象、簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確、層次性和系統(tǒng)性等特點(diǎn)。

桂質(zhì)亮指出：數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)具有約定性、規(guī)范性、簡(jiǎn)潔性、準(zhǔn)確性、形式化，以及層次性、系統(tǒng)性等特點(diǎn)。

4.數(shù)學(xué)符號(hào)功能

桂質(zhì)亮認(rèn)為數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)的功能體現(xiàn)在傳達(dá)數(shù)學(xué)思想、簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)推理、輔助數(shù)學(xué)思維以及自我生成等方面。

托和勒理認(rèn)為，數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)是認(rèn)識(shí)的載體、描述的手段以及推理的工具。它可以有效約簡(jiǎn)思維、加快思維進(jìn)程。此外，數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)使思維得以規(guī)范，促進(jìn)了思維的機(jī)械化并且使思維過(guò)程演算化、計(jì)算化，使人機(jī)對(duì)話成為可能。

二、數(shù)學(xué)符號(hào)學(xué)習(xí)與教學(xué)

1.數(shù)學(xué)符號(hào)學(xué)習(xí)

戴風(fēng)明對(duì)符號(hào)學(xué)習(xí)的困難成因進(jìn)行了分析，認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)學(xué)習(xí)困難成因主要有：（1）學(xué)生沒(méi)有理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義；（2）在使用數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)受負(fù)遷移影響；（3）缺乏將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言的能力；（4）缺乏數(shù)學(xué)語(yǔ)言識(shí)別的能力。

2.數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué)與應(yīng)用

王成營(yíng)認(rèn)為，承載數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)符號(hào)自成體系，除具有文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三種等價(jià)的符號(hào)形式外，還具有基本意義、聯(lián)想意義、轉(zhuǎn)換意義等不同的符號(hào)意義?；诖耍瑪?shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力具有多元性、層次性以及發(fā)展性。它以數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)為例，給出了培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意義獲得能力的四個(gè)階段，即符號(hào)的識(shí)別與切分、符號(hào)意義的聯(lián)想與發(fā)現(xiàn)、符號(hào)意義的整合與優(yōu)化、符號(hào)的操作與表征等。

時(shí)靖認(rèn)為，在數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué)中一方面要使學(xué)生正確書寫讀出數(shù)學(xué)符號(hào)和準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義；另一方面則需加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的表述。

戴風(fēng)明認(rèn)為，在數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué)中應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律并用符號(hào)來(lái)表示。此外，還應(yīng)使學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)特征從而克服學(xué)習(xí)上的負(fù)遷移，通過(guò)讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言各種形態(tài)之間的互譯來(lái)增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)等。

……

3.數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)

戴風(fēng)明認(rèn)為，教學(xué)中應(yīng)從以下幾個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)：（1）激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；（2）使學(xué)生能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律，并能用符號(hào)表示；（3）使學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)特征；（4）使學(xué)生能對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言在各形態(tài)間互譯；（5）借助問(wèn)題解決增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)；

李幫魁，吳行鵬認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)應(yīng)注意：（1）充分利用“表征”，豐富學(xué)生的符號(hào)語(yǔ)言，加深認(rèn)識(shí)。在教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷“從具體事物個(gè)性化的符號(hào)表示學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的表示”的符號(hào)化表征過(guò)程，豐富符號(hào)語(yǔ)言，為進(jìn)行符號(hào)思維奠定基礎(chǔ)。（2）掌握不同符號(hào)間的轉(zhuǎn)換。在生活和學(xué)習(xí)中，通過(guò)用多種形式表述和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象，可以有效獲得對(duì)概念本身或問(wèn)題背景的深入理解。

在教學(xué)實(shí)踐方面，萬(wàn)兆榮以蘇教版“用字母表示數(shù)”一課的教學(xué)為例，介紹了如何有效引導(dǎo)學(xué)生建立符號(hào)意識(shí)。

三、其他相關(guān)研究

郭思樂(lè)認(rèn)為：基礎(chǔ)教育中諸多問(wèn)題的根源在于對(duì)課程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)局限于符號(hào)研究課程本體。符號(hào)研究課程本體注重把握符號(hào)的自身形式，脫離了生活和實(shí)際，忽視了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位。相反，符號(hào)實(shí)踐課程本體拒絕無(wú)意義的形而上重復(fù)，把指向生活實(shí)際作為符號(hào)使用實(shí)踐的最終取向，從而利于形成個(gè)性化的符號(hào)文化、利于提高教育的質(zhì)量和效率。他進(jìn)一步提出，揭示兩種課程本體的機(jī)理并真正實(shí)現(xiàn)由符號(hào)研究課程本體向符號(hào)實(shí)踐課程本體的回歸是深入進(jìn)行課程改革的關(guān)鍵。

喻紹梧從數(shù)學(xué)語(yǔ)言的特征、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的建構(gòu)等出發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言以及數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行了論述。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)符號(hào)在數(shù)學(xué)中的引進(jìn)與應(yīng)用有利于推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。引入符號(hào)來(lái)代表“數(shù)”是代數(shù)成為一門學(xué)科的關(guān)鍵性的一步。此外，他認(rèn)為“符號(hào)的引進(jìn)不僅具有表述的作用，而且還有創(chuàng)造的作用?！?/p>

四、小結(jié)與研究展望

之前國(guó)內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的研究涉及領(lǐng)域相對(duì)較廣。從縱向發(fā)展來(lái)看，國(guó)內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的研究由起初的歷史介紹與理論探究逐步豐富、發(fā)展并且深入，與實(shí)踐教學(xué)聯(lián)系越發(fā)緊密；從橫向來(lái)看，數(shù)學(xué)符號(hào)研究?jī)?nèi)容不斷豐富，如數(shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相關(guān)研究、數(shù)學(xué)符號(hào)的識(shí)別等，在博碩士論文中還有相關(guān)的調(diào)查研究與教學(xué)策略探究。此外，作為課程標(biāo)準(zhǔn)重要內(nèi)容的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)受到重視且研究文章數(shù)增長(zhǎng)較快。

1.增加實(shí)證性的量化研究，建立相應(yīng)的評(píng)估量表

對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行的理論探討文章雖然較多且涉及面較廣，但是實(shí)證性的量化研究卻不多。隨著當(dāng)今“大數(shù)據(jù)”時(shí)代的到來(lái)，應(yīng)該充分利用和發(fā)揮數(shù)字的力量，針對(duì)部分研究方向進(jìn)行量化研究。此外，還應(yīng)建立相應(yīng)的評(píng)估量表，從而得到量化的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。如，在研究數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)時(shí)，有了相應(yīng)的評(píng)估量表就可以得到不同年齡階段、不同符號(hào)意識(shí)方面學(xué)生的發(fā)展水平，從而分階段、有針對(duì)性地根據(jù)相應(yīng)理論（如“最近發(fā)展區(qū)”）進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)。

2.加強(qiáng)數(shù)學(xué)符號(hào)實(shí)踐教學(xué)方面的專門研究

縱覽數(shù)學(xué)符號(hào)相關(guān)文獻(xiàn)，雖然博碩士論文中有不少調(diào)查類文章、數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué)策略類文章，但與實(shí)踐教學(xué)相結(jié)合的、對(duì)實(shí)際教學(xué)產(chǎn)生直接引導(dǎo)與示范作用的高層次文章較少。教育理論的發(fā)展應(yīng)注重在實(shí)際生活中的應(yīng)用，充分發(fā)揮其對(duì)實(shí)踐教學(xué)的引領(lǐng)作用。

［1］桂質(zhì)亮.古代數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展與演變［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1989，23（03）：447-455.

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［4］薛茂芳.數(shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1986（02）：92-95.

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［7］戴風(fēng)明.淺談增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的教學(xué)途徑［J］.教育與職業(yè)，2005（35）：129-130.

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［9］萬(wàn)兆榮.展示建模過(guò)程，建立符號(hào)意識(shí)：關(guān)于“用字母表示數(shù)”的教學(xué)思考［J］.教學(xué)與管理，2014：40-42.

［10］郭思樂(lè).課程本體：從符號(hào)研究回歸符號(hào)實(shí)踐［J］.教育研究，2003（07）：72-78.

［11］喻紹梧.數(shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言［J］.四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，18（05）：62-66.