蔣培杰

因?yàn)楸容^喜歡讀《道德經(jīng)》，在進(jìn)行“三角恒等變換”一章教學(xué)備課時(shí)我突發(fā)奇想：《道德經(jīng)》里“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”的辯證法思想似乎可以作為“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”一課的思想基礎(chǔ)……于是，我精心備課后在課堂上實(shí)踐了這一想法。

師：今天我們學(xué)習(xí)“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”，這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)將會(huì)印證《道德經(jīng)》里的一句話，“道生一，一生二，二生三……”

生：三生萬(wàn)物?。▽W(xué)生很快應(yīng)答，并表現(xiàn)出濃厚的興趣）

師：“道”是自然規(guī)律，也是我們數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)思想。具體到我們這節(jié)課，同學(xué)們知道“一”是什么嗎？（生無應(yīng)答）“一”就是我們上節(jié)課學(xué)過的兩角差的余弦公式。（板書：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，記為公式一）。由這個(gè)公式我們可以“生”出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式中的其他5個(gè)公式。

生：“生”？怎么“生”啊？呵呵……（不少學(xué)生說笑著）

師：“生”，就是生長(zhǎng)。也就是說，其他5個(gè)公式可以在公式一的基礎(chǔ)上生長(zhǎng)出來，它們的根是公式一（“描述”數(shù)學(xué)中的重要思想，即化歸思想）?，F(xiàn)在我們來看一下怎樣由公式一“生”出公式二——兩角和的余弦公式。（板書：cos（α+β）=？）

生：公式一的括號(hào)里是減，這里是加，加可以改寫成減減！

師：很好！這樣cos（α+β）就寫成cos（α-（-β）），把-β看成一個(gè)整體，問題就化歸為公式一啦（直接點(diǎn)出化歸思想）。那cos（α+β）=？

生：cos（α+β）=cos（α-（-β））=cosαcos（-β）+sinα

sin（-β）。

師：正確！不過，括號(hào)里有個(gè)-β，不夠簡(jiǎn)潔，可以化簡(jiǎn)嗎？（問題升級(jí)）

生：可以啊，誘導(dǎo)公式啊！

cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ！

師：這樣我們就得到了兩角和的余弦公式。（板書：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，記為公式二）?，F(xiàn)在想想，公式二是不是公式一“生”出來的？（回顧知識(shí)生長(zhǎng)的過程；生開心地笑）

師：現(xiàn)在我們來看二怎么“生”三，兩角差的正弦公式。（板書：sin（α-β）=？）

生：這個(gè)怎么“生”??？“生”不出來?。。ㄖR(shí)“生長(zhǎng)”的難度加大，生依然在笑，但笑得不輕松）

師：sin（α-β）與cos（α+β）之間有什么聯(lián)系？前者能由后者“生”出，說明前者的根在后者上（提示化歸思想），它們之前通過什么手段化為同名三角函數(shù)的？（啟發(fā)）

生：我知道了，誘導(dǎo)公式，sin（α）=cos（-α）！

師：很好的聯(lián)想！這樣一來，sin（α-β）=cos[

-（α-β）]。只是，這與公式二在形式上還是不夠一致啊，怎么“生”呢？（學(xué)生啟而不發(fā)，思維凝滯）

師：只能改改形式了。（繼續(xù)啟發(fā)）cos[-（α-β）]里-（α-β）不是可以寫成-α+β嗎？

生：把-α看成一個(gè)整體，這樣就是公式二了！cos[-（α-β）]=cos[（-α）+β）]。（生開始覺悟）

師：很好！那進(jìn)一步呢？

生：cos[（-α）+β）]=cos（-α）cos β-sin（-α）sin β=sin α cos β-sin α sin β。（生思維順暢起來）

師：非常棒！這樣，我們就“生”出了公式三。（板書：sin（α - β）=sin α cos β-cos α sin β，記為公式三）。我們?cè)賮砘仡櫼幌挛覀儭吧比倪^程?！耙簧?，二生三”，之所以能夠“生”，是因?yàn)楣饺梢曰瘹w為公式二，公式二可以化歸為公式一，也就是說，公式二和公式三本質(zhì)上就是公式一。我們要由公式一“生”出公式二和公式三，關(guān)鍵是找到公式二和公式三化歸為公式一的“手段”。這種“手段”，在公式一“生”公式二的時(shí)候是“將加號(hào)寫成減減”，在公式二“生”公式三的時(shí)候我們用上了誘導(dǎo)公式。也就是說，我們讓整個(gè)“生”長(zhǎng)過程進(jìn)行下去的思想基礎(chǔ)，就是我們數(shù)學(xué)中的“化歸”思想！現(xiàn)在，我們就運(yùn)用化歸思想，讓公式三來“生”出“萬(wàn)物”吧！

生1：sin（α + β）可以寫成sin（α -（- β）），所以sin（α + β）=sin（α -（- β））=sin α cos（- β）-cos α sin（- β）=sin α cos β+cos α sin β。

師：很好，正確！這位同學(xué)“生”出了兩角和的正弦公式。（學(xué)生開心大笑，并躍躍欲試）

生2：還可以得到tan（α - β）！tan（α - β）===…（學(xué)生思維卡殼）

生3：他難產(chǎn)了?。ū姶笮?，生2自己也笑）

師：思路是對(duì)的，的確可以得到tan（α - β）！現(xiàn)在的問題是怎樣化簡(jiǎn)？我們要的是tanα和tanβ的形式。那么，怎樣可以得到呢？（“怎樣可以得到”問的是化歸的手段）

生4：因?yàn)閠anα =，所以可以讓分子分母同時(shí)除以cosα。

生5：不好。我認(rèn)為應(yīng)該同時(shí)除以cosαcosβ，=。

師：兩位同學(xué)的思路都是正確的，這樣，我們就可以得到tan（α- β）=。

生：（老師話音剛落）老師，老師，用- β代替β，就是tan（α+ β）=。

師：很棒！這樣一來，兩角和、差的正切公式我們用一節(jié)課就都“生”出來了。同學(xué)們，接下去我們還可以“生”出很多優(yōu)美的公式呢，現(xiàn)在你體會(huì)到“三生萬(wàn)物”的道理了嗎？請(qǐng)同學(xué)們課后再仔細(xì)回顧一下我們“生”萬(wàn)物的過程，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)中的化歸思想。

課后反思：這節(jié)課，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣一直比較高漲，學(xué)習(xí)小高潮不斷涌現(xiàn)。我的體會(huì)，以思想為核心，用名言作引領(lǐng)，是這節(jié)課教學(xué)成功的關(guān)鍵。我將《道德經(jīng)》里的“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”這句名言貫穿到了整節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，而這句名言中的辯證法思想恰好又與本節(jié)課中“化歸與轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想相契合，辯證法思想加數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生揭示了知識(shí)生長(zhǎng)的過程與方法。

（責(zé)編 白聰敏）