黃紹東

摘要：極限是高等數(shù)學中一個非常重要的概念，高等數(shù)學中很多重要的概念如連續(xù)、導數(shù)、定積分、無窮級數(shù)和廣義積分等都是由極限來定義的。極限的問題一直是高等數(shù)學的困難之一，也是許多科學領域的重要思想之一，因此掌握好極限的計算方法與技巧是學習高等數(shù)學相當關鍵的一個環(huán)節(jié)。雖然極限的計算方法比較多，但每種方法都有其局限性，都不是萬能的。因此對于具體的極限計算問題，我們應該去追求更簡便、更快捷的計算方法。為此本文通過實例歸納總結了極限的若干種計算方法與技巧，學習并掌握這些方法與技巧，對于學好高等數(shù)學頗有好處。

關鍵詞：極限 定義法 四則運算法則 兩個重要極限 函數(shù)的連續(xù)性 定積分定義法 洛必達法則

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2015）07-0036-02

1 引言

極限是高等數(shù)學中最基本的概念之一，極限思想貫穿于高等數(shù)學的始終，所以說極限的計算方法與技巧在數(shù)學領域里顯得尤為重要。極限的計算方法與技巧多種多樣，常用的極限計算方法有利用極限的定義求極限、利用極限的四則運算法則求極限、利用兩個重要極限求極限、利用等價無窮小求極限、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、利用定積分的概念求極限、利用洛必達法則求極限等。每種方法都有相應的局限性，都不是萬能的。因此在具體解題的時候就需要大家仔細審題、綜合考慮，同時也要注意解題的方法與技巧，涉及到極限的計算問題特別多，而且技巧性強，難教也難學。本文主要探討并總結了一些極限的計算方法與技巧，對極限的計算有一定的參考價值，克服了許多學生在面對極限計算問題無從下手的缺點，能夠做到得心應手。

2 利用定義法求極限

例1，證明： =2 .

證：對于任意給定的ε>0，要使xn-2= -2= <ε，只要n> ，取正整數(shù)N= ，則當n>N時，xn-2<ε恒成立，故xn= （n=1，2，…）以2為極限，即： =2 .

上述證明方法叫做解析法（或倒推法），是證明極限問題經常采用的方法.證明過程中，倒推語句“要使”，“只要”等不能省略，更不能寫成顛倒的因果關系.例如，若把上述證明敘述為“因為xn-2= <ε，所以n> ”，則在因果關系上是錯誤的。這里“n> ”不是作為從“xn-2<ε”推出的結果，而是作為使“xn-2<ε”成立的一個充分條件。有時證明過程中可先化簡xn-ɑ（必要時還需適當放大）。

3 利用四則運算法則求極限

對和差積商形式的函數(shù)求極限，自然會想到運用極限的四則運算法則去計算，但是為了能夠自然使用這些法則，往往需要先對函數(shù)作某些恒等變形或化簡，但要采用怎樣的變形和化簡還是要根據(jù)具體的算式來確定，一般來說常用的有分式的分解，分式的約分或通分，分子或分母的有理化和三角函數(shù)的恒等變形等?？偟膩碚f，函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。

例2，

解：（1）先用n3同時除分子、分母，然后取極限，得

= =-

4 利用兩個重要極限求極限

1、 =1，在利用這個重要極限的時候主要是學會湊成這個極限的形式，注意兩條。（1）分子分母同時趨于零。（2）在湊成重要極限的形式時要保證正弦的角度不變，只能通過調整分母使得滿足重要極限的形式。對于某些特殊的函數(shù)，也可以通過適當?shù)淖兞刻鎿Q或恒等變形，先轉化為重要極限的形式在求極限。

2、 （1+ ） =e，在利用這個重要極限的時候要注意：（1）函數(shù)應具有這種形式；（2）括號內是1加無窮小而括號外面的指數(shù)是這個無窮小的倒數(shù)。

所以用這兩個重要極限來求極限時要看所給的函數(shù)形式是否符合或經過變化后符合這兩個重要極限的形式時才能運用該方法求極限。

例3，求 .

解： = （ . ）

= ·

=1×1=1

5 利用等價無窮小代換求極限

定理1 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是0）。

定理2 當時，下列函數(shù)都是無窮小（即極限是0），且相互等價，既有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln（1+x）～ex-1

說明：當上面每個函數(shù)中的自變量x換成g（x）時（g（x）→0），仍有上面的等價關系成立。例如：當x→0時，e3x-1～3x；

ln（1+x3）～x3。

例4 求 .

解：當x→0時，sin5x～5x，tan7x～7x， 所以

= =

6 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

一切連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間內的點處都連續(xù)，即如果x0是函數(shù)f（x）的定義區(qū)間內的一點，則有 f（x）=f（x0）.

（下轉第58頁）

（上接第36頁）

例5， x0= 是初等函數(shù)y=ln sinx的定義區(qū)間（0，π）內的點，所以 ln sinx=ln sinx| =ln 1=0.

7 利用定積分求極限

利用定積分的定義及牛頓-萊布尼茨公式求極限，可以求一些特定和式的極限，一般說來，利用定積分法求極限可以按照以下步驟進行：

（1）將所給的和式進行適當?shù)淖冃?，使之成為積分和

f（ξi）△xi 的形式。

（2）由變形后的和式尋求出被積函數(shù)f（x）及積分區(qū)間

ɑ，b.

（3）將和式的極限轉化為定積分 f（x）dx，再利用牛頓-萊布尼茨公式去計算。

8 利用洛必達法則求極限

洛必達法則只有直接適用于 ， 未定式，而0·∞，∞-∞，00，∞0，1∞等類型不定式也可經過簡單的變換轉化為 型或 型的極限，再用洛必達法則來計算，由于其分類明確，規(guī)律性強，且可以連續(xù)的進行運算，可以簡化一些較為復雜的函數(shù)極限的計算過程，但是在運用時也不能忽視其他的一些技巧的運用。

9 結語

在高等數(shù)學的學習中極限的計算方法與技巧是十分重要的。本文雖然歸納了函數(shù)極限計算的一些方法與技巧，但是在做求解極限的題目時，同學們還要根據(jù)題目的要求來考慮，不同的情況采用不同的方法，不能機械地使用某種特定方法，并對具體的題目要通過觀察，仔細分析，選擇適當?shù)姆椒ㄒ部啥喾N方法混合使用，這樣將收到意想不到的效果。

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