歐陽(yáng)正勇

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)系，廣東 佛山528000）

論如何在教學(xué)中體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用性與現(xiàn)實(shí)性

歐陽(yáng)正勇

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)系，廣東 佛山528000）

摘要：針對(duì)許多高校學(xué)生發(fā)出的高等數(shù)學(xué)無(wú)用論調(diào)，筆者從教材的結(jié)構(gòu)模式、學(xué)科專業(yè)特點(diǎn)和教學(xué)方式等幾個(gè)方面對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式和方法進(jìn)行創(chuàng)新，用以說(shuō)明數(shù)學(xué)應(yīng)該在各學(xué)科教學(xué)中展現(xiàn)現(xiàn)實(shí)性和應(yīng)用性.由點(diǎn)及面，對(duì)普通高校的高等數(shù)學(xué)課程的改革提供參考.

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；教學(xué)改革；應(yīng)用性；現(xiàn)實(shí)性

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，往往被人認(rèn)為是脫離實(shí)際的空中樓閣，大部分人沒(méi)有認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的實(shí)用性，認(rèn)為數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家無(wú)聊發(fā)明出來(lái)的東西，而不知數(shù)學(xué)本身來(lái)源于實(shí)際生活，也能更好的服務(wù)于科學(xué)生產(chǎn).在人類歷史的發(fā)展中，原始算術(shù)的出現(xiàn)、歐幾里德幾何的形成、十七世紀(jì)微積分的誕生和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的實(shí)現(xiàn)，數(shù)學(xué)無(wú)不顯示著對(duì)現(xiàn)實(shí)社會(huì)的促進(jìn)作用.以航海交通領(lǐng)域?yàn)槔?，大到全球的GPS衛(wèi)星定位,小到一個(gè)個(gè)港口物流公司的管理運(yùn)作，數(shù)學(xué)無(wú)所不在.但是數(shù)學(xué)在當(dāng)今時(shí)代各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的實(shí)在作用，尤其在高校中,卻經(jīng)常受到質(zhì)疑.在高科技技術(shù)發(fā)展的光環(huán)背后，《高等數(shù)學(xué)》成了一門可有可無(wú)的課程.

要改變這種狀況,筆者作為高校的數(shù)學(xué)教師從以下幾個(gè)方面,說(shuō)明數(shù)學(xué)在各學(xué)科教學(xué)中展現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)性.由點(diǎn)及面，對(duì)于普通高校的高等數(shù)學(xué)課程的改革給予參考.

1　改變傳統(tǒng)教材的結(jié)構(gòu)模式

原有傳統(tǒng)高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)科體系讓學(xué)生失去思考的主動(dòng)性.傳統(tǒng)教材由定義--定理--定理證明--理論應(yīng)用，讓學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用是理所當(dāng)然產(chǎn)生的，是數(shù)學(xué)家閑來(lái)無(wú)聊論證的，所謂應(yīng)用也是由理論出發(fā)去尋找合適的應(yīng)用的.而事實(shí)上，絕大部分的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，由于具備現(xiàn)實(shí)普遍性，人們才利用數(shù)學(xué)符號(hào)與公式抽象化解決問(wèn)題.而且數(shù)學(xué)理論建立也都是建立在數(shù)學(xué)家們艱苦卓絕的努力上的.也就是說(shuō)，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，如果從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，或從科學(xué)家解決問(wèn)題的思路出發(fā)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力是有很大提高的.從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，到實(shí)際問(wèn)題的解決，再到新問(wèn)題的產(chǎn)生，這樣不斷循環(huán)提高，讓學(xué)生在高等數(shù)學(xué)課堂上不再被動(dòng)的接受枯燥的理論，而是著眼于具體問(wèn)題的解決方法和實(shí)際應(yīng)用，學(xué)習(xí)解決問(wèn)題的方法［1］.

這需要教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理調(diào)整，對(duì)教材的依賴性較小，對(duì)教師的知識(shí)背景與能力要求較高.按傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)課程章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)分類，提供大量的數(shù)學(xué)模型，將知識(shí)點(diǎn)穿插在模型中，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中掌握知識(shí)點(diǎn).

引入matlab、mathmatica等數(shù)學(xué)軟件技術(shù)，將大大提高數(shù)學(xué)的實(shí)用性與可操作性.

2　將數(shù)學(xué)與專業(yè)學(xué)習(xí)相結(jié)合

將數(shù)學(xué)模型引入課堂是比較可行的辦法.將知識(shí)點(diǎn)按應(yīng)用分類，根據(jù)學(xué)生自身專業(yè)建立數(shù)學(xué)模型，比如物流、國(guó)際貿(mào)易專業(yè)應(yīng)多準(zhǔn)備相關(guān)經(jīng)濟(jì)類的問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，工程機(jī)械類專業(yè)準(zhǔn)備工程類的數(shù)學(xué)模型.整個(gè)高等數(shù)學(xué)課程由幾個(gè)循序漸進(jìn)的數(shù)學(xué)模型來(lái)構(gòu)建，并與專業(yè)知識(shí)掛鉤，對(duì)學(xué)生的職業(yè)技術(shù)能力與知識(shí)素養(yǎng)有極大的提高.如何將理解數(shù)學(xué)概念落實(shí)到用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)概念消化并吸收應(yīng)用到工程概念與原理上.例如“案例驅(qū)動(dòng)”是最好的將理論與實(shí)踐結(jié)合的方法［2］.

2.1案例1

我們把易拉罐看作是一個(gè)圓柱體，是否發(fā)現(xiàn)百事可樂(lè)、可口可樂(lè)、健力寶等等飲料公司出售的易拉罐的半徑與高之比是多少？請(qǐng)測(cè)量一下，并思考為什么這些公司會(huì)選取這樣的比例尺寸？

工業(yè)設(shè)計(jì)在考慮外包裝美觀與運(yùn)輸便利的同時(shí)，務(wù)必考慮在容積一定的情況下所用材料最少、焊接加工等制作費(fèi)用最低的成本問(wèn)題，這類問(wèn)題就是數(shù)學(xué)上最常見(jiàn)的優(yōu)化問(wèn)題：最值問(wèn)題.

2.2案例2

2006年以來(lái)，面對(duì)中國(guó)國(guó)內(nèi)房?jī)r(jià)暴漲，經(jīng)濟(jì)學(xué)家預(yù)測(cè)：2012年中國(guó)房?jī)r(jià)將會(huì)出現(xiàn)拐點(diǎn).試解釋這句話的意思.拐點(diǎn)是曲線凹凸的分界點(diǎn)，描述曲線增減速度的變化.經(jīng)濟(jì)學(xué)家預(yù)測(cè)房?jī)r(jià)出現(xiàn)拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)前期房?jī)r(jià)的高速增長(zhǎng)，意味著房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)速度將會(huì)放緩.

這些案例和練習(xí)都可以具有針對(duì)性的面向不同專業(yè)的學(xué)生，引起學(xué)生對(duì)本專業(yè)的學(xué)習(xí)興趣，加深對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，使基礎(chǔ)課程與專業(yè)應(yīng)用相呼應(yīng).

3　體現(xiàn)教學(xué)方法的多樣性

希臘歷史學(xué)家Plutarch說(shuō)“思想不是一個(gè)需要填充的容器，而是需要點(diǎn)燃的木頭”，教師需要花更多的時(shí)間點(diǎn)燃學(xué)生們的創(chuàng)造力、想象力和解決問(wèn)題的能力.不能將高等數(shù)學(xué)僅僅看作是理論基礎(chǔ)課，對(duì)于大部分應(yīng)用型本科院校高等數(shù)學(xué)更多的側(cè)重于應(yīng)用數(shù)學(xué)方面，而不是理論研究.作為應(yīng)用數(shù)學(xué)必然與多學(xué)科交叉應(yīng)用，并利用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，重視Matlab、Mathmatica等數(shù)學(xué)軟件的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想重于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法重于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)工具重于理論推導(dǎo)，將數(shù)學(xué)知識(shí)跟計(jì)算機(jī)能力有機(jī)結(jié)合.壓縮理論課時(shí)，增加上機(jī)課時(shí).布置論文或報(bào)告形式的作業(yè).考試考查方面應(yīng)更多的側(cè)重應(yīng)用能力，通過(guò)積極地與學(xué)生交流，不斷調(diào)整教學(xué)方式.比如讓學(xué)生建模后上機(jī)計(jì)算,利用計(jì)算機(jī)輔助手段解決數(shù)學(xué)問(wèn)題與應(yīng)用問(wèn)題是當(dāng)今世界高校潮流趨勢(shì).

3.1案例(線性規(guī)劃模型的實(shí)例)

家具公司生產(chǎn)桌子和椅子，用于生產(chǎn)的勞力共計(jì)450個(gè)工時(shí)，木材共有4立方米,每張桌子要使用15個(gè)工時(shí)，0.2立方木材，售價(jià)80元.每張椅子使用10個(gè)工時(shí)，0.05立方木材，售價(jià)45元.問(wèn)為達(dá)到最大的收益，應(yīng)如何安排生產(chǎn)？

案例分析：

（1）案例求什么？

①生產(chǎn)多少桌子？x1張桌子

②生產(chǎn)多少椅子？x2張椅子

（2）案例優(yōu)化什么？

收益最大值Maxf=80x1+45x2

（3）實(shí)際的限制條件是什么？

原料總量0.2x1+0.05x2≤4

勞力總數(shù)15x1+10x2≤450

3.2建立模型

以產(chǎn)值為目標(biāo)取得最大收益.設(shè)：生產(chǎn)桌子x1張、椅子x2張(決策變量)，將目標(biāo)優(yōu)化為：Maxf=80x1+ 45x2.

對(duì)決策變量的約束：

3.3模型求解

3.3.1方法（1）圖解法（用于決策變量是2維）

圖1　線性規(guī)劃模型實(shí)例

線性規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)(關(guān)于不同的目標(biāo)值是一族平行直線)目標(biāo)值的大小描述了直線離原點(diǎn)的遠(yuǎn)近,并且最優(yōu)解一定在可行解集的某個(gè)極點(diǎn)上達(dá)到［3］(穿過(guò)可行域的目標(biāo)直線組中最遠(yuǎn)離或接近原點(diǎn)的直線所穿過(guò)的凸多邊形的頂點(diǎn)).

3.3.2方法（2）用EXCEL—Solver實(shí)現(xiàn)

模型中的數(shù)據(jù)直接輸入EXCEL工作表中（見(jiàn)圖2）.其中決策變量初始的值可以任意給出，它們是可變的，軟件最后將給出最優(yōu)解的值.SUMPRODUCT是EXCEL的一個(gè)內(nèi)置函數(shù)，表示兩個(gè)向量或矩陣對(duì)應(yīng)元素乘積的和.

圖2　數(shù)據(jù)輸入

接下來(lái)選擇工具菜單中的規(guī)劃求解，即可得到最優(yōu)解為2 200.

3.3.3方法（3）用Matlab實(shí)現(xiàn)--lp線性優(yōu)化函數(shù)

線性優(yōu)化問(wèn)題即目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性函數(shù)的問(wèn)題.其標(biāo)準(zhǔn)形式為：

其中A∈Rm×n,m≤n（通常m＜n），b∈Rn,c∈Rn均為數(shù)值矩陣.

將Maxf=80x1+45x2,

轉(zhuǎn)化為Minf=-80x1-45x2,

Sub.to0.2x1+0.05x2≤4.

程序如下：

c=［-80,-45］;a=［0.2,0.05;15,10］;b=［4,450］;vlb=［0,20］;vub=［0,45］;

［x,lam］=lp(c,a,b,vlb,vub)（參數(shù)vlb,vub給出變量的上下邊界的約束）.

說(shuō)明：x的解為最優(yōu)解，lam說(shuō)明約束條件發(fā)揮了作用.

3.3.4方法（3）用LINDO實(shí)現(xiàn)

我們可以直接在下面的窗口輸入LP模型［5］.見(jiàn)圖3.

圖3　輸入簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型

輸入后，用鼠標(biāo)單擊LINDO軟件工具欄中的圖標(biāo)，或從菜單中選擇Solve│Solve(Ctrsl+S)命令，則LINDO開(kāi)始編譯這個(gè)模型，編譯沒(méi)錯(cuò)誤馬上開(kāi)始求解，求解時(shí)會(huì)顯示LINDO求解器運(yùn)行狀態(tài)窗口，里面的“Objective”對(duì)應(yīng)的數(shù)字2 200就是最優(yōu)解.

這個(gè)例子中的LP模型太小了，我們可能還沒(méi)來(lái)得及看清結(jié)果輸出的界面，最優(yōu)解就出來(lái)了，并馬上彈出詢問(wèn)你是否需要作靈敏性分析的對(duì)話框，可以先選擇“否N”按鈕，這個(gè)窗口就會(huì)關(guān)閉.如果你在屏幕上沒(méi)有看到求解的結(jié)果，那么可以用鼠標(biāo)選擇LINDO的主菜單 “Window”,會(huì)發(fā)現(xiàn)有一個(gè)子菜單項(xiàng)“Reports Window”，這就是最終結(jié)果的報(bào)告窗口.用鼠標(biāo)選擇“Window│Reports Window”，就可以查看到窗口的內(nèi)容（見(jiàn)圖4）.

圖4　最優(yōu)解及各變量的取值

“LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2”表示單純形法在兩次迭代后得到最優(yōu)解.“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)2 200.000”表示最優(yōu)目標(biāo)值為2 200.000（在LINDO中目標(biāo)函數(shù)所在的行總是被認(rèn)為是第1行，這就是這里“1）”的含義）.

“VALUE”給出最優(yōu)解中各變量的值：x1=14.000 000，x2=24.000 000.“SLACK OR SURPLUS（松弛或剩余）”給出約束對(duì)應(yīng)的松弛變量的值：第2、3行松弛變量均為0，說(shuō)明對(duì)于最優(yōu)解來(lái)講，兩個(gè)約束均取等號(hào)，即都是緊約束.“DUAL PRICES”給出對(duì)偶價(jià)格的值.“NO.ITERATIONS=2”表示用單純形法進(jìn)行了兩次迭代（旋轉(zhuǎn)）.

上面這個(gè)案例充分的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程的多變、靈活、實(shí)用的特性.

高等數(shù)學(xué)課程應(yīng)著眼于提高學(xué)生的以下幾方面能力：（1）對(duì)數(shù)學(xué)的整體性和知識(shí)點(diǎn)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的位置及在經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的直接和間接用途有所了解、有所認(rèn)識(shí).（2）從實(shí)際問(wèn)題中抽象出各類數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力. （3）能從多角度觀察問(wèn)題，能用多種方法解決問(wèn)題.

在我國(guó)大力發(fā)展教育事業(yè)的大背景下，數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)課程對(duì)各應(yīng)用學(xué)科都起著極其重要的現(xiàn)實(shí)作用.然而“以學(xué)生為中心”的課程教學(xué)模式?jīng)]有理想中那么簡(jiǎn)單，是要學(xué)生在已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)上通過(guò)吸收外來(lái)信息最終建構(gòu)個(gè)人體系.特別是對(duì)于在傳統(tǒng)教學(xué)模式中成長(zhǎng)起來(lái)的教師們來(lái)說(shuō)，轉(zhuǎn)變教學(xué)模式是一個(gè)長(zhǎng)期的緩慢的甚至可能會(huì)出現(xiàn)反復(fù)的過(guò)程.

課程教學(xué)模式改革的趨勢(shì)之一是向應(yīng)用型本科教育方向發(fā)展，高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革也必將迎來(lái)新一輪的挑戰(zhàn).筆者在借鑒國(guó)內(nèi)外先進(jìn)的教學(xué)理念的基礎(chǔ)之上，結(jié)合我國(guó)高校教育的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式改革與研究，以求建立一種創(chuàng)新、有效的教學(xué)模式.這種教學(xué)模式，應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)創(chuàng)新教育教學(xué)的特色，追求教學(xué)的實(shí)際效益，既要適應(yīng)學(xué)生的實(shí)際，又要適應(yīng)社會(huì)實(shí)際的需求，要有明確的崗位能力目標(biāo)；要教會(huì)學(xué)生完整地做好一件事情，讓學(xué)生由“學(xué)會(huì)”變?yōu)椤皶?huì)學(xué)”；強(qiáng)調(diào)學(xué)生的能力培養(yǎng)，評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)著重衡量學(xué)生的能力水平.筆者旨在通過(guò)對(duì)教學(xué)模式的研究與實(shí)踐，促進(jìn)高等數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量提高，也為本科院校開(kāi)展教育改革研究提供一些有益借鑒與參考.

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［2］楊曙光.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)探索［J］.高等數(shù)學(xué)研究,2014,17（4）：119-122.

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（責(zé)任編輯：李婉）

中圖分類號(hào)：O13

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-5348（2015）02-0073-06

［收稿日期］2014-09-21

［基金項(xiàng)目］廣東省教改項(xiàng)目（GDJG20141204）.

［作者簡(jiǎn)介］歐陽(yáng)正勇（1978-），男，湖北漢川人，佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)系講師，博士；研究方向：主要從事微分方程.

How to Show Application and Reality of Higher Mathematics in Teaching

OUYANG Zheng-yong
（Department of Mathematics,Foshan University,Foshan,528000，Guangdong,China）

Abstract:For useless argument of higher mathematics from many students in university,this paper proposes innovation of higher mathematics teaching content and teaching ways from several aspects such as structure model,characteristics of subjects and teaching methods and so on,which can be used to explain that the mathematics should show the reality and application in the teaching.And from the point to surface,it could provide reference for reform of higher mathematics curriculum in colleges and universities.

Key words:higher mathematics;teaching reform;application;reality