邱 剛

（江蘇省海門中學(xué)，江蘇 海門 226100）

1 問題的提出

在粒子物理研究中，可讓粒子通過施加了勻強(qiáng)磁場(chǎng)的云室使云室中的氣體電離來顯示出它們的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖1所示.若有些粒子在云室中運(yùn)動(dòng)時(shí)的能量減少忽略不計(jì)，則可以看到圖1中的圓形軌跡，若有的粒子在運(yùn)動(dòng)過程中能量降低明顯，則速度減小，半徑減小，軌跡將呈現(xiàn)圖1中的螺旋形曲線［1］.

帶電粒子在施加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的云室中做螺旋線運(yùn)動(dòng)時(shí)，若將云室氣體對(duì)帶電粒子的作用力看成是與粒子運(yùn)動(dòng)方向相反的氣體阻力，同時(shí)忽略帶電粒子的重力，那么粒子的運(yùn)動(dòng)可視為在洛倫茲力和云室氣體阻力共同作用下的螺旋線運(yùn)動(dòng).那么帶電粒子的螺旋線運(yùn)動(dòng)軌跡是何種螺旋線呢？又具有什么樣的運(yùn)動(dòng)特征呢？在牛頓力學(xué)中，我們熟知物體的運(yùn)動(dòng)是由受力情況和初速度共同決定的，下面將以此為依據(jù)，從力和運(yùn)動(dòng)的角度對(duì)帶電粒子在云室中的螺旋線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行探析.

圖1 螺旋線曲線

2 螺旋線運(yùn)動(dòng)探析

如圖2所示，粒子的質(zhì)量為m，帶電量為＋q，粒子進(jìn)入云室的初速度為v0，取帶電粒子在云室中運(yùn)動(dòng)平面為xOy平面，以初速度v0的方向?yàn)閤軸，垂直于v0方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系.勻強(qiáng)磁場(chǎng)大小為B，方向垂直于xOy平面向里，這里假設(shè)粒子受到與速度方向相反的云室氣體阻力f的大小恒定，下面對(duì)此種最簡(jiǎn)單的受力情況下粒子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析.

圖2 受力情況

2.1 運(yùn)動(dòng)特征

2.2 軌跡方程

粒子在運(yùn)動(dòng)過程中的一般位置P的速度方向和受力情況如圖2所示，將速度v沿坐標(biāo)軸分解為

對(duì)速度按時(shí)間進(jìn)行積分可得出任意位置P的坐標(biāo)，即小球運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程.

解得

此式為圓的漸開線的參數(shù)方程，［2］其中r0為粒子做漸開線運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻的曲率圓半徑，R為漸開線對(duì)應(yīng)的基圓半徑，基圓圓心為（R，r0），基圓方程為（x－R）2＋（y－r0）2＝R2.

2.3 漸開線的性質(zhì)

圖3

在幾何中可借助圓柱體和細(xì)線作出圓的漸開線，如圖3所示，將圓柱體垂直固定在一個(gè)平面上，在圓柱體的側(cè)面貼近水平面的部位固定一根細(xì)線，拉緊細(xì)線，讓細(xì)線繞圓柱在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)且始終與圓柱相切，那么細(xì)線的外端在水平面內(nèi)的軌跡就是漸開線，該圓柱體的底面稱為漸開線的基圓，細(xì)線稱為漸開線的發(fā)生線.從漸開線形成的過程可以看出，漸開線具有以下基本性質(zhì)：

（1）漸開線上的任一點(diǎn)的速度與細(xì)線垂直且細(xì)線在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中始終與基圓相切，故漸開線上任意一點(diǎn)處的曲率圓的瞬時(shí)半徑r就是這一點(diǎn)到基圓切點(diǎn)間的細(xì)線長(zhǎng)度，曲率圓的瞬時(shí)圓心即為細(xì)線與基圓的切點(diǎn).

（2）細(xì)線在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中始終垂直于基圓的半徑R，那么細(xì)線轉(zhuǎn)過多大的角度，切點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的基圓半徑就轉(zhuǎn)動(dòng)多大的角度，因此漸開線的瞬時(shí)半徑轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度等于切點(diǎn)所對(duì)應(yīng)基圓的半徑轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度.

（3）細(xì)線沿基圓滾過的長(zhǎng)度等于基圓上被滾過圓弧的長(zhǎng)度，細(xì)線長(zhǎng)度的變化量等于瞬心在基圓上移動(dòng)的弧長(zhǎng)，跟切點(diǎn)所對(duì)應(yīng)基圓的半徑轉(zhuǎn)過的角度成正比，因此漸開線的瞬時(shí)半徑的變化量跟其轉(zhuǎn)過的角度成正比，如在漸開線上由M到N的過程中，rN＝rM－θR.

2.4 數(shù)值模擬

對(duì)應(yīng)的基圓的半徑R＝3.6×10－3m，則軌跡方程為

對(duì)應(yīng)基圓的方程為（x－3.6×10－3）2＋（y－0.114）2＝（3.6×10－3）2.

選取10－8s作為時(shí)間單位，10－3m作為坐標(biāo)單位，繪制粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖的matlab程序如下.

圖4

運(yùn)行程序得到如圖4所示圖像，形象地呈現(xiàn)了物體做圓的漸開線運(yùn)動(dòng)的螺旋線軌跡.

經(jīng)以上分析可知，粒子在受到與速度方向相反的恒定大小的阻力作用和垂直于速度的方向的與速度成正比的洛倫茲力作用時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是做圓的漸開線.洛倫茲力與速度成正比關(guān)系，可對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行推廣，當(dāng)物體受到與速度方向相反的恒定大小的阻力作用并同時(shí)在垂直于速度的方向受到與速度成正比的線性力作用時(shí)，物體做的是圓的漸開線運(yùn)動(dòng).此結(jié)論即為物體做圓的漸開線運(yùn)動(dòng)的充分條件.

3 阻力與速度有關(guān)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情形

當(dāng)云室氣體阻力與速度大小有關(guān)時(shí)，即阻力大小是速度大小的函數(shù)f＝f（v）時(shí)，粒子在洛倫茲力和氣體阻力作用下仍做螺旋線運(yùn)動(dòng)，可分析出螺旋線運(yùn)動(dòng)的一些運(yùn)動(dòng)特征，只是軌跡方程不再是圓的漸開線方程.

（3）在直角坐標(biāo)系中螺旋線沿x、y方向的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)列牛頓第二定律的微分方程為

x方向和y方向的微分方程中都包含另一方向上的運(yùn)動(dòng)分量，這兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)是相互關(guān)聯(lián)的，彼此不再獨(dú)立，在直角坐標(biāo)系中求解是困難的，需選用極坐標(biāo)系進(jìn)行求解.［3］

1 人民教育出版社.物理選修3-1［M］.北京：人民教育出版社，2010：100.

2 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2007：282.

3 人民教育出版社.物理必修2教師教學(xué)用書［M］.北京：人民教育出版社，2010：28－34.