張珂銘, 邵毅敏, 許 晉, 何 融, 李 亮

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044； 2.北方車輛研究所，北京 100072)

齒輪廣泛地應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備，其振動噪聲越來越受到各方關(guān)注。眾所周知，嚙合齒對變化產(chǎn)生周期性的剛度激勵是主要的內(nèi)部激勵，對研究時變嚙合剛度對于齒輪振動控制具有十分重要的意義。

目前對于嚙合剛度的研究，可分為有限元法(FEM)和解析法(AM)。有限元法是借助有限元分析軟件來計算齒輪的嚙合剛度[1-3]，計算精度較高，但計算量巨大，結(jié)構(gòu)參數(shù)改變后需花費(fèi)大量的時間建模與計算。相較于有限元法(FEM)的復(fù)雜性和耗時性，解析法(AM)為計算嚙合剛度提供了一個更高效的途徑，被廣泛應(yīng)用于嚙合剛度計算。

目前，很多學(xué)者對解析法計算輪齒嚙合剛度進(jìn)行了相應(yīng)研究，Yang等[4]考慮了彎曲、軸向壓縮、赫茲接觸剛度，提出用勢能法來計算外直齒圓柱齒輪的嚙合剛度。 Tian等[5-6]在勢能法中加入了剪切剛度，Saxena等[7]考慮了齒輪輪體變形來完善嚙合剛度的算法，計算了齒根有剝落或裂紋時的嚙合剛度，Ma等[8]提出了修緣齒輪的嚙合剛度改進(jìn)算法?，F(xiàn)有的研究一般都是將輪齒考慮為一個基圓開始的懸臂梁。但是，實(shí)際齒輪對的嚙合，因齒數(shù)、變位系數(shù)、齒根圓角等參數(shù)的不同，其齒輪齒廓線存在不開始于基圓的情況，如圖1所示。當(dāng)基圓大于齒根圓時，目前的嚙合剛度解析模型忽略了齒根圓與基圓之間的輪齒部分的勢能，將導(dǎo)致計算嚙合剛度相對偏大；當(dāng)基圓小于齒根圓時，因多考慮了基圓與齒根圓之間的變形能會導(dǎo)致計算所得嚙合剛度偏小。陳再剛等[9-11]近年來的針對嚙合剛度的進(jìn)行了大量的研究，其研究主要考慮了修形參數(shù)以及空間裂紋嚙合剛度的影響，提出了‘切片式’裂紋嚙合剛度的算法，其研究都考慮了齒根圓與基圓不重合的情況，但并未涉及到齒根倒角以及齒根倒角圓心位置對嚙合剛度影響。

針對存在的問題，Liang等[12]提出了考慮了齒根圓半徑小于基圓半徑，齒根圓半徑大于基圓半徑兩種情況，采用一條直線來表示基圓與齒根圓之間的齒廓，對現(xiàn)有的解析模型進(jìn)行了修正，如圖1所示。但是，由于大多數(shù)情況下，齒輪齒根部分都有切于齒廓線與齒根圓的齒根圓角，簡單地將其倒有圓角的齒廓曲線用一條直線替代會對剛度計算造成一定誤差。萬志國等[13]考慮了齒根圓角半徑，對嚙合剛度進(jìn)行了修正，但其考慮的為齒根圓圓心恰好位于過基圓與齒廓線交點(diǎn)做z軸垂線的延長線上，如圖1文獻(xiàn)[13]中假定倒角圓所示，且認(rèn)為齒根圓角半徑r大于基圓與齒根圓之間齒形在z軸距離x1。然而，實(shí)際情況中，齒根圓角半徑的圓心位置由齒數(shù)，模數(shù)，壓力角，倒角圓半徑和變位系數(shù)等決定，且存在倒角圓圓心位于基圓內(nèi)與基圓外兩種情況。同時，齒根圓角的位置也會對輪齒剛度計算造成一定影響，且圓角半徑r并不一定大于x1，當(dāng)r

圖1 各文獻(xiàn)研究中擬定輪齒幾何圖形

針對以上問題，本文提出了一種考慮倒角圓心位置的嚙合剛度修正算法，考慮齒根圓角在基圓內(nèi)與基圓外兩種情況，對以往剛度模型進(jìn)行了改進(jìn)，精確計算了齒根圓與基圓之間的勢能，減小了目前解析法計算剛度的存在的誤差，適合不同齒輪參數(shù)，具有更廣泛的適用性。

1 基于齒根圓角圓心位置的嚙合剛度計算方法

本文基于勢能法將輪齒簡化為齒根圓上的變截面懸臂梁，如圖2所示。圖中，F(xiàn)為垂直于齒面的嚙合力，d為嚙合力在輪齒上的有效作用長度，h代表嚙合力作用點(diǎn)位置處的半齒厚，hx為有效作用長度上的齒廓線上任意位置處的半齒厚，齒輪形變等效為懸臂梁在F作用下的彈簧形變存儲在齒輪中，其儲存的勢能有3部分，分別為彎曲勢能Ub，剪切勢能Us，徑向壓縮勢能Ua。分別可表示為

(1)

式中：ks、kb、ka分別為輪齒在嚙合力F的作用下沿剪切、彎曲、沿齒高方向軸壓縮變形方向上的等效剛度。

圖2 直齒輪變截面懸臂梁模型

傳統(tǒng)算法大都假設(shè)輪齒齒廓線起始于基圓，即齒根圓即基圓重合，如圖2所示，忽略了齒根圓與基圓之間的勢能對嚙合剛度的影響，且在大多數(shù)情況下齒根圓與基圓并不重合，導(dǎo)致計算嚙合剛度的誤差較大。針對這個問題，文獻(xiàn)[12]雖考慮了齒根圓與基圓之間存在的勢能，但僅用近似的齒廓線進(jìn)行模擬，提高了計算嚙合剛度的精度。然而，這種算法在某些參數(shù)條件下會產(chǎn)生誤差，為了更為精確計算在各種參數(shù)條件下輪齒嚙合剛度，本文提出了基于齒根圓角圓圓心位置的輪齒時變嚙合剛度的算法，根據(jù)齒根圓角圓心在基圓內(nèi)與基圓外兩種情況，改進(jìn)了傳統(tǒng)算法。

1.1 倒角圓圓心位于基圓外嚙合剛度算法

圖3 倒角圓圓心在基圓外輪齒示意圖1

倒角圓圓心位于基圓外部，倒角圓與齒廓線切點(diǎn)位于基圓以上，存在齒根圓半徑小于基圓半徑Rd

第一積分項(xiàng)為嚙合點(diǎn)到齒廓線與倒角圓切點(diǎn)之間的輪齒部分，(以往方法為嚙合點(diǎn)到基圓與齒廓線交點(diǎn)之間的輪齒部分)，如圖4中陰影部分①所示，在z軸上積分區(qū)間為[0,d′]，根據(jù)輪齒幾何關(guān)系，積分上限d′可表示為

d′=Rb[cosα1+(α1+α2)sinα1]-

(2)

式中，Rb為基圓半徑。

圖4 倒角圓圓心在基圓外輪齒示意圖2

如圖3,4所示，根據(jù)齒輪嚙合角、齒廓曲線等幾何關(guān)系

(3)

(4)

(5)

式中：r為齒根圓角半徑，Rd為齒根圓半徑，Rp為分度圓直徑，x0為齒輪的變位系數(shù)。

第二積分項(xiàng)為齒廓線與倒角圓切點(diǎn)到齒根圓部分，如圖4中陰影部分②所示，在z軸上的積分區(qū)間為[0,d1](需要注意的是，當(dāng)Rd≥Rb，r=0,時，d1=0，即齒根圓半徑為0時得到第二積分項(xiàng)的積分區(qū)間為0，此時在嚙合力作用下，由剪切、彎曲、沿齒高方向徑向壓縮變形所儲存的形變能的第二積分項(xiàng)Ub2,Us2,Ua2均等于0)。

考慮基圓與齒根圓之間輪齒的勢能，當(dāng)?shù)菇菆A圓心位于基圓外時，在嚙合力作用下，由剪切、彎曲、沿齒高方向徑向壓縮變形所儲存的形變能可表示為

(6)

(7)

(8)

式中：Fb為嚙合力沿直齒輪齒厚方向上的分力，F(xiàn)a為嚙合力沿垂直于齒厚方向上的分力，M為Fa作用在微截面上的力矩，E為材料彈性模量，G為材料剪切模量，Ix、Ax分別為距離倒角圓與齒廓線切點(diǎn)x處輪齒截面的慣性矩與截面面積，Ix1為距離倒角圓與齒廓線切點(diǎn)x1處輪齒截面的慣性矩與截面面積。

Ax=2hxL,Ax1=2hx′L

(9)

(10)

x=Rb[cosα+(α+α2)sinα-cosα2]

x1=rsinβ-rsinβ0

(11)

hx=Rb[(α+α2)cosα-sinα]

hx1=he+r[1-cosβ]

(12)

dx=Rb(α+α2)cosαdα, dx1=rcosβdβ

(13)

式中：r為倒角圓半徑，β為x1對應(yīng)點(diǎn)與倒角圓心連線與水平方向夾角，β0為x1=0時，x1對應(yīng)齒廓線的點(diǎn)與倒角圓心連線與水平方向夾角，βend為x1=d1時，x1對應(yīng)點(diǎn)跟倒角圓心連線與水平方向夾角，根據(jù)齒廓曲線與各參數(shù)之間的幾何關(guān)系可知

(14)

根據(jù)式(13)和(14)，第一段積分項(xiàng)的積分單元dx可用dα來替代，積分區(qū)間[0,d]可用嚙合角區(qū)間[α1,α1]來表示。第二段積分項(xiàng)的積分單元dx1可用dβ來替代，積分區(qū)間[0,d2]可用x1對應(yīng)齒廓線上的點(diǎn)跟倒角圓心連線與水平方向夾角表區(qū)間[β0,βend]來表示。

考慮式(6)～(14)，嚙合點(diǎn)處的彎曲勢能、剪切勢能以及軸向壓縮勢能可改寫為(設(shè)α位于z軸左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù))

(15)

(16)

(17)

將式(15)～(17)代入式(1)，即可求得可得當(dāng)Rd+r-Rb>0時，在嚙合力F的作用下沿剪切、彎曲、沿齒高方向軸壓縮變形方向上的等效剛度kb、ks、ka

(18)

(19)

(20)

嚙合時，應(yīng)考慮赫茲接觸剛度，其表達(dá)式為

(21)

式中，E為齒輪彈性模量，L為齒寬，v為泊松比，根據(jù)Muskhelishvili理論，齒根圓部分受到恒定的隨時間變化的作用力，在該作用力下，齒輪輪體變形量為δf

(22)

若忽略齒輪基體的柔性變形，將會造成所求嚙合剛度偏大。其式(22)的各參數(shù)定義，請參考文獻(xiàn)[10]。

齒輪輪體變形引起的嚙合線上等效剛度為

(23)

綜合輪齒彎曲變形、剪切變形、軸向壓縮變形、赫茲接觸變形以及輪體變形，其對應(yīng)的嚙合線上等效剛度，可表示為各個變形所對應(yīng)剛度的串聯(lián)形式。單齒嚙合剛度可表示為

(24)

采用式(24)，可計算倒角圓圓心位于基圓外時的輪齒單齒嚙合剛度。

1.2 倒角圓圓心位于基圓內(nèi)嚙合剛度算法

齒根圓角圓圓心在基圓內(nèi)，即Rd+rr，且倒角圓半徑大于等于零，因此此種條件下只包含了齒根圓半徑小于Rd

圖5 倒角圓圓心在基圓外輪齒示意圖1

為了更為精確計算嚙合剛度，與現(xiàn)有算法不同，新算法采用三段積分法來計算時變嚙合剛度，第一段積分項(xiàng)為嚙合點(diǎn)到基圓與齒廓線交點(diǎn)所代表的區(qū)間，如圖6中陰影部分①所示。

圖6 倒角圓圓心在基圓外輪齒示意圖2

在z軸上積分區(qū)間為[0,d]，根據(jù)齒廓曲線與各個參數(shù)之間的幾何關(guān)系，積分上限d可表示式為

d=Rb[cosα1+(α1+α2)sinα1-cosα2]

(25)

第二積分項(xiàng)為基圓與齒廓線交點(diǎn)到齒根圓角圓圓心與z軸垂線與齒廓線交點(diǎn)，如圖6中陰影部分②所示，在z軸上積分區(qū)間為[0,d1]

(26)

式中，Ra為齒頂圓半徑，dmax為齒廓線與齒頂圓交點(diǎn)處的交點(diǎn)處的嚙合點(diǎn)處所對應(yīng)的d。he為第一積分區(qū)間積分終點(diǎn)所對應(yīng)的嚙合點(diǎn)到z軸的距離，當(dāng)Rd+r

he=Rbsinα2

(27)

第三積分項(xiàng)為齒根圓角圓圓心與z軸垂線與齒廓線交點(diǎn)到倒角圓與齒根圓切點(diǎn), 如圖6中陰影部分②所示，在z軸上積分區(qū)間為[0,d2]。

考慮基圓與齒根圓之間輪齒的勢能，當(dāng)?shù)菇菆A圓心位于基圓內(nèi)時，基于如上所述的三段積分法，在嚙合力作用下，由剪切、彎曲、沿齒高方向徑向壓縮變形所儲存的形變能可表示為

Ub=

(28)

(29)

(30)

式中，E為齒輪彈性模量，Ix、Ax分別為距離基圓x處輪齒截面的慣性矩與截面面積，Ix1、Ax1為第二積分項(xiàng)中距離基圓x1處輪齒截面的慣性矩與截面面積。Ix2、Ax2為第三積分項(xiàng)中距離倒角圓與齒廓線切點(diǎn)x2處輪齒截面的慣性矩與截面面積。

Ax=2hxL,Ax1=2hx1L,Ax2=2hx2L

(31)

(32)

x=Rb[cosα+(α+α2)sinα]-

x2=rsinβ

(33)

hx=Rb[(α+α2)cosα-sinα],hx1=he

hx2=he+r(1-cosβ)

(34)

dx=Rb(α+α2)cosαdα, dx2=rcosβdβ

(35)

式中，r為倒角圓半徑，β為x1對應(yīng)嚙合點(diǎn)與倒角圓心連線與水平方向夾角，β0為x2=0時，x2對應(yīng)嚙合點(diǎn)與倒角圓心連線與水平方向夾角，βend為x2=d2時，x2對應(yīng)點(diǎn)與倒角圓心連線與水平方向夾角，根據(jù)倒角圓與齒廓曲線之間的幾何關(guān)系可知，

(36)

根據(jù)式(35)和(36)，第一段積分項(xiàng)的積分單元dx可用dα來替代，積分區(qū)間[0,d]可用嚙合角區(qū)間[α1,α2]來表示。第三段積分項(xiàng)的積分單元dx2可用dβ來替代，積分區(qū)間[0,d2]可用倒角到倒角圓心連線與水平方向夾角表區(qū)間[0,βend]來表示。

因此嚙合點(diǎn)處的彎曲勢能、剪切勢能以及軸向壓縮勢能可改寫為(設(shè)α位于z軸左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù))

(37)

(38)

(39)

將式(37)～(39)代入式(1)，即可求得可得當(dāng)Rd+r

(40)

(41)

(42)

基于赫茲接觸剛度與輪體變形剛度的計算，運(yùn)用式(21)～(23)即可求得當(dāng)齒根圓角圓圓心位于基圓外時的輪齒時變嚙合剛度，再通過式(24)可計算倒角圓圓心位于基圓外時的輪齒單齒嚙合剛度。

當(dāng)有兩對齒輪同時參與嚙合時，綜合嚙合剛度可表示為

(43)

式中，i=1表示第一對齒輪嚙合，i=2表示第二對齒輪嚙合。

2 基于齒根圓位置的嚙合剛度算法的驗(yàn)證

如表1所示，為倒角圓圓心在基圓外(Rd+r>Rb)的兩對相互嚙合齒輪1,2的基本參數(shù)，表2所示為倒角圓圓心在基圓內(nèi)(Rd+r

表1 倒角圓圓心在基圓外(Rd+r>Rb)齒輪基本參數(shù)

表2 倒角圓圓心在基圓內(nèi)(Rd+r

Tab.2 The basic parameters of the gear for center ofchamfer circle is inside of the base circle

采用表1所示參數(shù)，建立有限元法算剛度模型，如圖7所示。綜合考慮求解精度及計算消耗量，細(xì)化接觸區(qū)域的單元尺寸，主動輪1與從動輪2對共有299 213個單元，300 587個節(jié)點(diǎn)，單位類型為shell181,并建立齒輪1和2有限元模型的嚙合接觸對。約束被驅(qū)動齒輪2內(nèi)圈上所有節(jié)點(diǎn)x,y,z方向的平動以及轉(zhuǎn)動自由度，在驅(qū)動齒輪1內(nèi)孔周向各個節(jié)點(diǎn)上施加切向力，以此施以順時驅(qū)動力矩，提取內(nèi)孔所有節(jié)點(diǎn)的切向位移并求取平均Uy，根據(jù)式(44)可計算得到此嚙合位置的嚙合剛度

(44)

式中，T為輸入轉(zhuǎn)矩，Rb(drive)為驅(qū)動齒輪的基圓半徑，θ為驅(qū)動齒輪基于初始嚙合位置的轉(zhuǎn)角位移，接觸點(diǎn)繞中心的轉(zhuǎn)角，Uy為內(nèi)孔所有節(jié)點(diǎn)沿切線方向的位移，Rhub(drive)為驅(qū)動輪軸孔半徑。

依次改變模型嚙合位置，根據(jù)式(44)可分別求得各個嚙合位置處的嚙合剛度，即可得到通過有限元法求得的表1所示參數(shù)下的輪齒嚙合剛度。表2所示齒輪參數(shù)亦通過同樣算法獲得其輪齒嚙合剛度。

圖7 有限元法計算嚙合剛度模型示意圖

圖8、圖9分別為三種算法的輪齒嚙合剛度結(jié)果與有限元法計算結(jié)果的對比。即：表1、表2所示齒輪參數(shù)，分別采用文獻(xiàn)[7](未考慮齒根圓與基圓之間的輪齒部分，考慮了基體變形)和文獻(xiàn)[12](將齒根圓與基圓之間的輪齒部分的齒廓用一條直線替代)及本文新算法的結(jié)果，與有限元法的對比。

圖8顯示，表1所示齒輪參數(shù)，倒角圓圓心在基圓外時(Rd+r>Rb)，本文算法的結(jié)果與有限元計算結(jié)果對比，單齒嚙合區(qū)嚙合剛度最大誤差值為0.92×107N/m，雙齒嚙合區(qū)所算得的嚙合剛度最大誤差值小于0.75×107N/m，單雙齒區(qū)的結(jié)果誤差在1%以內(nèi)。文獻(xiàn)[12]將基圓與齒根圓的齒廓曲線近似考慮為一構(gòu)造直線，與有限元計算結(jié)果對比，所得的剛度偏大，剛度最大差值達(dá)5×107N/m。文獻(xiàn)[7]由于并未考慮基圓與齒根圓部分的因素，輪齒嚙合剛度誤差明顯偏大，最大誤差值可達(dá)11×107N/m。

圖8 表1參數(shù)下各算法嚙合剛度對比

圖9顯示，表2所示齒輪參數(shù)下，當(dāng)?shù)菇菆A圓心在基圓內(nèi)時(Rd+r

圖9 表2參數(shù)下各算法嚙合剛度對比

3 動力學(xué)響應(yīng)仿真

為研究不同剛度算法對動力學(xué)響應(yīng)的影響，本文建立了一個考慮齒面摩擦的6自由度集中質(zhì)量模型，如圖10所示，其動力學(xué)方程可表示為

(45)

動態(tài)嚙合力Fp(t)與齒面摩擦力Ff(t)可分別表示為

(46)

Ff(t)=λfFp

(47)

式中，Rp，Rg分別為主被動輪的基圓半徑，mp，mg為主被動輪質(zhì)量，Jp，Jg為主被動輪轉(zhuǎn)動慣量，kmi為齒對i的嚙合剛度，cmi為齒對i的嚙合阻尼，kgx，kgy，kpx，kpy為兩齒輪軸承的支撐剛度，ei為齒對i的誤差。λ為齒輪摩擦力方向系數(shù)，F(xiàn)f做功與Tp同向時取‘+1’，反之取為‘-1’(即嚙合點(diǎn)過節(jié)點(diǎn)之前取‘-1’，位于節(jié)點(diǎn)取‘0’，過節(jié)點(diǎn)后取‘+1’),H為嚙合點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的距離。f為等效摩擦因數(shù)，由于摩擦因數(shù)在嚙合線上隨著運(yùn)行條件的變化只有輕微的變化，可取其平均值以達(dá)到近似目的，其取值計算按照國家指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)GB/Z 22559.1—2008進(jìn)行

(48)

其式(48)的各參數(shù)定義，請參考文獻(xiàn)照國家指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)GB/Z 22559.2—2008。

圖10 兩對齒輪嚙合的6自由度非線性動力學(xué)模型

在表1,2所示參數(shù)下，將各方法所求得的離散的剛度擬合為函數(shù)，再在動力學(xué)方程中根據(jù)主動輪所轉(zhuǎn)過的角度從嚙合剛度函數(shù)中取出對應(yīng)嚙合位置處的剛度，將帶入動力學(xué)方程(支撐剛度為2×108N/m，輸入力矩為2 000 Nm,輸入轉(zhuǎn)速1 000 r/min)，采用Runge-Kutta法求解微分方程，得到表1,2所示參數(shù)下，輪齒1扭轉(zhuǎn)方向上振動的動力學(xué)響應(yīng)分別如圖11,12所示。

圖11,12顯示，基于本文嚙合剛度算法的動力學(xué)響應(yīng)與有限元法結(jié)果基本一致，誤差都小于1%。采用文獻(xiàn)[12]嚙合剛度算法的動力學(xué)響應(yīng)，在單齒嚙合區(qū)與有限元法較為接近，但在雙齒嚙合區(qū)存在一定誤差。采用文獻(xiàn)[7]算法，齒輪1扭轉(zhuǎn)方向的振動幅值，在單雙齒嚙合區(qū)較其他三種方法明顯偏小。為了定量分析圖11,12中三種解析算法與有限元算法所求得的扭轉(zhuǎn)方向的動力學(xué)響應(yīng)的誤差，利用差分法進(jìn)行量化，即把兩種參數(shù)下三種解析算法所求得的齒輪1扭轉(zhuǎn)方向的動力學(xué)響應(yīng)與有限元法所求得的齒輪1扭轉(zhuǎn)方向的動力學(xué)響應(yīng)作差，再求取其RMS值，結(jié)果如圖13所示。

圖11 參數(shù)1下輪齒1扭轉(zhuǎn)方向上振動的動力學(xué)響應(yīng)

圖12 參數(shù)2下輪齒1扭轉(zhuǎn)方向上振動的動力學(xué)響應(yīng)

圖13 各種解析算法與有限元法的動力學(xué)響應(yīng)差分值

圖13顯示，在表1參數(shù)下，基于本文嚙合剛度算法所求得的齒輪1扭轉(zhuǎn)方向的動力學(xué)響應(yīng)的差分誤差為文獻(xiàn)[12]算法求得的差分誤差的47.53%, 為文獻(xiàn)[7]的17.61%。在表2參數(shù)下，基于本文嚙合剛度算法所求得的齒輪1扭轉(zhuǎn)方向的動力學(xué)響應(yīng)的差分誤差為文獻(xiàn)[12]的29.11%, 僅為文獻(xiàn)[7]的10.01%，以上結(jié)果說明了基于本文算法減小了以往算法在動力學(xué)分析中求解的誤差。

為了進(jìn)一步研究各種解析法對動力學(xué)響應(yīng)的影響，基于表1，2參數(shù)的各種剛度算法以及輸入力矩為2 000 Nm的輸入條件下，輪齒1旋轉(zhuǎn)方向振動位移去均值RMS值隨輸入轉(zhuǎn)速上升變化如圖14，15所示。

圖14 參數(shù)1下輪齒1旋轉(zhuǎn)方向振動位移去均值 RMS值隨速度上升變化圖

Fig.14 The relation between the mean removal RMS value of torsional vibration of gear 1 and the rising speed (parameter 1)

圖15 參數(shù)2下輪齒1旋轉(zhuǎn)方向振動位移去均值RMS值隨速度上升變化圖

Fig.15 The relation between the mean removal RMS value of torsional vibration of gear 1 and the rising speed (parameter 2)

圖14,15顯示，在本文所求得嚙合剛度與基于有限元所求得剛度下，輪齒1旋轉(zhuǎn)方向振動位移去均值RMS值隨轉(zhuǎn)速變化趨勢基本一致，只在幅值上有微小差異。在同轉(zhuǎn)速，參數(shù)1條件下，最大誤差小于8%；參數(shù)2條件下，最大誤差小于6%，但基于文獻(xiàn)[7]與[12]剛度所求得的隨轉(zhuǎn)速變化的RMS值與有限元法相比在幅值和趨勢上都存在著一定的誤差，且在各轉(zhuǎn)速下的響應(yīng)存在不一致現(xiàn)象，未考慮齒根圓與基圓之間勢能的文獻(xiàn)[7]相對其他算法誤差最大。

以上結(jié)果表明，忽略或粗略考慮齒根圓與基圓之間的勢能，會對動力學(xué)響應(yīng)造成一定影響，為更精確計算嚙合齒對的振動特性，應(yīng)根據(jù)不同參數(shù)條件下的嚙合齒對，精確考慮齒根圓與基圓之間的勢能，進(jìn)行嚙合剛度的計算。

4 結(jié) 論

(1) 本文基于齒根圓角在基圓內(nèi)與基圓外兩種情況(Rf>Rb和Rf

(2) 本文通過與傳統(tǒng)算法及有限元仿真結(jié)果對比，表明：本文提出的修正算法能更為精確地計算輪齒的時變嚙合剛度與有限元法所求得的嚙合剛度最大誤差小于2%，減小了以往解析法計算嚙合剛度的誤差，并適用于不同齒輪參數(shù)，具有更廣泛的適用性。

(3) 動力學(xué)仿真結(jié)果顯示，不同的剛度算法會對分析結(jié)果造成一定影響，基于本文算法的動力學(xué)響應(yīng)的結(jié)果誤差較此前算法至少降低了50%，為了更精確地分析齒對的嚙合振動特性，應(yīng)基于齒根圓角圓心所在位置，精確考慮齒根圓與基圓之間的勢能。