彭 斌，蔣 龍

（蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050）

1 引言

對(duì)渦旋機(jī)械的研究可追溯至19世紀(jì)末，時(shí)至今日依然在不斷地進(jìn)行著優(yōu)化改進(jìn)。其中，渦旋膨脹機(jī)作為渦旋機(jī)械的一個(gè)分支，以其優(yōu)良的特性被廣泛的應(yīng)用于回收余熱裝置中。對(duì)于渦旋膨脹機(jī)的優(yōu)化主要集中于：幾何模型、數(shù)學(xué)模型的研究和以渦旋膨脹機(jī)為核心的低溫余熱系統(tǒng)的研究。

幾何模型研究方面：文獻(xiàn)[1-2]對(duì)等截面渦旋膨脹機(jī)的幾何模型、數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了分析研究；文獻(xiàn)[3]對(duì)型線結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化研究，得到比較適合樣機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)；文獻(xiàn)[4]對(duì)渦旋膨脹機(jī)的性能、文獻(xiàn)[5]對(duì)渦旋膨脹機(jī)的泄漏損失分別作了數(shù)值計(jì)算和分析；文獻(xiàn)[6-7]對(duì)渦旋膨脹機(jī)的性能進(jìn)行了研究。低溫余熱系統(tǒng)方面：文獻(xiàn)[8]從等截面和變截面的渦旋膨脹機(jī)的幾何模型出發(fā)，研究了渦旋膨脹機(jī)的工作腔內(nèi)工質(zhì)壓力、溫度和質(zhì)量隨主軸轉(zhuǎn)角的實(shí)際變化規(guī)律；文獻(xiàn)[9]研究了除Hcfc-123以外的流體工質(zhì)對(duì)小型有機(jī)朗肯循環(huán)渦旋膨脹機(jī)性能的影響；文獻(xiàn)[10-11]對(duì)以R245fa為工質(zhì)的有機(jī)朗肯循環(huán)系統(tǒng)集成開式渦旋膨脹機(jī)進(jìn)行了試驗(yàn)研究；文獻(xiàn)[12]對(duì)一種用于小型發(fā)電系統(tǒng)的渦旋膨脹機(jī)的詳細(xì)通用動(dòng)態(tài)建模和仿真方法進(jìn)行了研究，提出了渦旋膨脹機(jī)和發(fā)電機(jī)的整體動(dòng)摩擦系數(shù)，并通過實(shí)驗(yàn)得出總動(dòng)摩擦系數(shù)在10-3Nms；文獻(xiàn)[13]運(yùn)用逆向工程和計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（RE/CFD）的方法，對(duì)用于微型的ORC系統(tǒng)中的膨脹機(jī)進(jìn)行了適應(yīng)性研究；文獻(xiàn)[14]搭建了有機(jī)朗肯循環(huán)渦旋膨脹實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，對(duì)渦旋膨脹機(jī)變負(fù)載工況的輸出性能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究；通過討論不同基圓變化下的變徑基圓渦旋膨脹機(jī)的容積、泄漏線的變化規(guī)律，得到適用于渦旋膨脹機(jī)的基圓變化規(guī)律，為變徑基圓渦旋膨脹機(jī)的設(shè)計(jì)提供參考。

2 變徑基圓渦旋型線方程

變徑基圓渦旋型線，即以半徑不斷發(fā)生變化的圓為基圓所展開的型線，其基圓變化控制系數(shù)為k。變徑基圓渦旋型線的公式與圓漸開線渦旋型線的公式相似，事實(shí)上，圓漸開線渦旋型線為變徑基圓渦旋型線k=0時(shí)的特例。

變徑基圓渦旋型線的靜盤靜盤公式如下[15]：

靜盤外側(cè)漸開線公式：

靜盤內(nèi)側(cè)漸開線公式：

式中：ɑ—初始基圓半徑；k—控制基圓變化系數(shù)；φ—漸開線展角；α—漸開線發(fā)生角。

動(dòng)靜盤嚙合后所需最小盤徑：

式中：φe—漸開線最終展角。

膨脹起始角為：

其中，φ0可由式φ0+2φ0sin(φ0-α)+2cos(φ0-α)=(π-α)2-2求解。

當(dāng)k=0時(shí)，基圓不發(fā)生變化，渦旋型線為等壁厚的圓漸開線；當(dāng)k＜0時(shí)，基圓不斷變小，渦旋型線為壁厚逐漸減小的漸開線；當(dāng)k＞0時(shí)，基圓不斷變大，渦旋型線為壁厚逐漸增大的漸開線，如圖1所示。分別為k=-0.06、k=0、k=0.06時(shí)所展成的漸開線。

圖1 變徑基圓渦旋型線Fig.1 Reducing Base Circular Vortex Line

3 容積計(jì)算

根據(jù)控制基圓變化系數(shù)k的選取的不同，漸開線的壁厚也發(fā)生變化，其容積也有所不同，與傳統(tǒng)等壁厚圓漸開線的容積求解相比，要相對(duì)復(fù)雜一些。變徑基圓渦旋膨脹機(jī)的面積求解公式如下[16]：

各工作腔的劃分，以三個(gè)腔為例，分為：第一膨脹腔、第二膨脹腔、第三膨脹腔，如圖2所示。

圖2 腔體劃分Fig.2 Cavity Partition

不考慮齒頭修正對(duì)容積的影響，得各工作腔容積為：

式中：h—齒高；i—工作腔號(hào)；θ*—膨脹起始角，其計(jì)算式為（5）。

4 泄漏

泄漏主要分為外泄漏和內(nèi)泄漏，內(nèi)泄漏主要是高壓腔向低壓腔進(jìn)行泄漏，渦旋膨脹機(jī)的內(nèi)泄漏主要分為：由軸向間隙產(chǎn)生的徑向泄漏和由徑向間隙產(chǎn)生的切向泄漏兩種泄漏，如圖3所示。對(duì)于變徑基圓渦旋膨脹機(jī)來說，這兩種泄漏都會(huì)由于k的選取不同而有所變化。

圖3 兩種泄漏的示意圖Fig.3 Schematic Diagram of Two Leaks

4.1 切向泄漏

由于徑向間隙產(chǎn)生的切向泄漏，其泄漏線長即渦旋齒的齒高，所以切向泄漏的泄漏線長度的計(jì)算公式為：

4.2 徑向泄漏

由于軸向間隙產(chǎn)生的徑向泄漏，其泄漏線長與渦旋型線長和主軸的轉(zhuǎn)角有關(guān)系，徑向泄漏的泄漏線長度計(jì)算公式為：

式中：φi、φi+1—嚙合型線的起始終止角。

5 計(jì)算與分析

根據(jù)上述各公式的推導(dǎo)，可以看出，對(duì)變徑基圓渦旋膨脹機(jī)的型線研究，主要涉及以下參數(shù)：初始基圓半徑ɑ、控制基圓變化系數(shù)k、漸開線展角φ、漸開線發(fā)生角α、漸開線最終展角φe、齒高h(yuǎn)。下面在一些參數(shù)確定的條件下，研究其余參數(shù)的變化規(guī)律，如圖4所示。

圖4 盤徑隨k的變化Fig.4 Disk Diameter Changes with k

5.1 k對(duì)盤徑的影響

選取ɑ=3.2mm、α=2π/9、φe=20.41，研究不同k的取值對(duì)盤徑的影響。

如圖4可以看出，k的取值由（-0.06）增加至0.06，隨著k的增加，在其他參數(shù)一定的情況下，動(dòng)靜渦旋盤嚙合盤徑呈近似線性增加。這表明，k的選取對(duì)盤徑有著正比的影響，合理的減小k的選取可以控制渦旋膨脹機(jī)的尺寸和重量。

5.2 最終展角φe與盤徑D的關(guān)系

選取ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究最終展角φe、k、與盤徑D之間的關(guān)系，如圖5所示。由圖5可以看出，隨著盤徑D的增加，各取值的k所對(duì)應(yīng)的最終展角φe都在增加，其中k的取值越小，φe的增加率越大；相同盤徑時(shí)，隨著k的取值增加，最終展角φe逐漸減小，可見在盤徑一定時(shí)，k與φe成反比。

圖5 φe-D-k關(guān)系圖Fig.5 Diagram ofφe-D-k

5.3 盤徑D一定時(shí)，k與容積vi的關(guān)系

選取D=137.41mm、ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究在不同k的取值下，各腔容積的變化，如圖6所示。

圖6 各腔容積vi隨k的變化Fig.6 The Volume vi of Each Cavity Varies with k

由圖6可以看出，隨著k的取值不斷增加，各腔容積都有不同程度的減少，其中第三腔容積減小的幅度最大，這是由于壁厚的增加導(dǎo)致的。根據(jù)渦旋膨脹機(jī)的工作特點(diǎn)，應(yīng)選取k＜0的變徑基圓渦旋型線，從而在保證強(qiáng)度的同時(shí)可以有較大的膨脹腔。

5.4 盤徑D一定時(shí)，k的選取對(duì)切向泄漏線的影響

切向泄漏線長即渦旋膨脹機(jī)的齒高h(yuǎn)，選取D=137.41mm、ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究盤徑一定時(shí)，k對(duì)h的影響，如圖7所示。

圖7 h隨k的變化Fig.7 The Change of h with k

由圖7可知，在盤徑一定的情況下，隨著k的增加，渦旋齒高不斷增大，即切向泄漏線不斷的增加，泄漏量也就隨著增加。故可以通過合理減小k的取值來減小切向泄漏。

5.5 盤徑D一定時(shí)，k的選取對(duì)徑向泄漏線的影響

徑向泄漏即渦旋型線嚙合點(diǎn)間的型線長，選取D=137.41mm、ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究盤徑一定時(shí)，k對(duì)渦旋膨脹機(jī)徑向泄漏的影響，如圖8所示。

圖8 k=-0.06各腔泄漏線長隨主軸轉(zhuǎn)角的變化Fig.8 The Change of the Leak Line Length of Each Cavity with the Spindle Rotation Angle at k=-0.06

由圖8可以看出，當(dāng)k=-0.06時(shí)，各腔徑向泄漏線隨著主軸轉(zhuǎn)角的變化而增加，但其增加率不再像圓漸開線渦旋膨脹機(jī)的泄漏線那樣呈線性增長，這是由于變徑基圓渦旋膨脹機(jī)渦旋型線隨著轉(zhuǎn)角不斷發(fā)生變化，導(dǎo)致徑向泄漏線與主軸轉(zhuǎn)角不再呈線性增長。

隨著主軸轉(zhuǎn)角的變化，如圖9所示。徑向泄漏線總長的變化趨勢(shì)是增長的，其中，k=0.06時(shí)增長的最快，其各角度時(shí)的徑向泄漏線也是最長的；k=-0.06時(shí)增長的最慢，其各角度時(shí)的徑向泄漏線也是最小的；k=0時(shí)介于前兩者之間?？梢姰?dāng)k＜0時(shí)，可以減小渦旋膨脹機(jī)的徑向泄漏。

圖9 徑向泄漏線總長隨主軸轉(zhuǎn)角的變化Fig.9 Change of Radial Leakage Line Total Length with Spindle Angle

6 結(jié)論

（1）根據(jù)渦旋型線的嚙合原理，對(duì)變徑基圓渦旋膨脹機(jī)的型線公式進(jìn)行了推導(dǎo)計(jì)算，討論了k的取值對(duì)盤徑D的影響和最終展角φe與盤徑D、k的關(guān)系，得到了盤徑D的變化與k的取值成正比，最終展角φe的增長率與k的取值成反比。

（2）以三個(gè)腔體為例，對(duì)變徑基圓渦旋膨脹機(jī)的腔體進(jìn)行了劃分，并推導(dǎo)了各腔容積的計(jì)算公式，探討了在盤徑D一定的情況下，不同k的取值對(duì)各腔容積vi的影響，得出了隨著k的增加，各腔容積減少。進(jìn)而得到了渦旋膨脹機(jī)應(yīng)選取k＜0。

（3）對(duì)工作腔的切向、徑向泄漏進(jìn)行了探討，探討了在盤徑D一定的情況下，切向泄漏線和徑向泄漏線隨k的變化規(guī)律，得出切向泄漏線長h與k的選取成正比，徑向泄漏線長Lr與k的選取成反比，同時(shí)也得到各腔徑向泄漏隨主軸轉(zhuǎn)角的變化由于基圓的改變不再呈線性變化。進(jìn)而得出，渦旋膨脹機(jī)可以通過適當(dāng)?shù)倪x取k＜0的值，來減小泄漏。