李壽濤, 任 珉, 張芝芳, 徐梅玲

(1.廣州大學(xué)-淡江大學(xué)工程結(jié)構(gòu)災(zāi)害與控制聯(lián)合研究中心，廣州 510006；2.湖北正天工程咨詢有限公司，湖北 宜昌 443000)

隨著工程中柔性結(jié)構(gòu)的增多和新材料的應(yīng)用，特別是在高人群密度的大跨或柔性建筑結(jié)構(gòu)中，考慮人體對于結(jié)構(gòu)的影響十分重要，因此這方面的研究成為了當(dāng)下研究熱點(diǎn)[1]。早期，在結(jié)構(gòu)工程中，人體(人群)被簡化為附加質(zhì)量作用于結(jié)構(gòu)上，后來在測試過程中發(fā)現(xiàn)人體還會(huì)改變結(jié)構(gòu)的阻尼，于是將人體(人群)作為具有動(dòng)力性能的模型來考慮，提出了質(zhì)量-彈簧-阻尼人體模型用于研究人-結(jié)構(gòu)相互作用體系的動(dòng)力特性。Ji等[2-3]根據(jù)Twickenham露天體育場館看臺測試結(jié)果，并基于對人在振動(dòng)環(huán)境中的研究，提出了附加質(zhì)量器的單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼人體模型與單自由度結(jié)構(gòu)相互作用的兩自由度人-結(jié)構(gòu)體系，如圖1(a)所示。Sachse等[4]將人群簡化為單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼模型，并與結(jié)構(gòu)組成兩自由度(2DOF)人-結(jié)構(gòu)相互作用體系進(jìn)行模態(tài)參數(shù)分析，如圖1(b)所示。Shahabpoor等[5]將行走人體簡化為單自由度模型作用于結(jié)構(gòu)，分析了該體系的動(dòng)力特性。Zhou等[6]采用兩種方法構(gòu)建人-結(jié)構(gòu)相互作用的兩自由度模型，一種為分離建模，將人體和結(jié)構(gòu)分別建為單自由度系統(tǒng)再物理結(jié)合；另一種方法將人體和結(jié)構(gòu)視為一個(gè)相互耦合，不可分割的整體進(jìn)行建模；結(jié)果表明綜合建模較分離建模更合理。然而，在人-結(jié)構(gòu)相互作用體系研究中，將人體模擬為單自由度模型將忽略人體的高階振型影響，因此有必要將人體模擬為兩自由度以上的模型。Griffin等[7]通過對坐姿人體的表觀質(zhì)量試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行理論和數(shù)值分析后，提出了2種單自由度人體模型和4種兩自由度人體模型，且通過實(shí)驗(yàn)比較發(fā)現(xiàn)兩自由度模型能更好地模擬人體的頻率和相位，如圖2所示，其中圖2(a)和(b)為串聯(lián)兩自由度模型，分別不考慮附加質(zhì)量和考慮具有附加質(zhì)量，而圖2(c)和(d)則為并聯(lián)兩自由度模型。Griffin等研究表明不考慮附加質(zhì)量的兩自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼模型比考慮附加質(zhì)量的模型更適合用于描述人體動(dòng)力特性。

(a) 兩自由度附加質(zhì)量器模型(b) 兩自由度模型

圖1 兩自由度人-結(jié)構(gòu)體系模型

圖2 兩自由度人體模型

Fig.2 Two-degree-of-freedom mannequin

國內(nèi)也有學(xué)者開展了相關(guān)研究。王海等[8]針對通過分布雙自由度模型研究了人-梁的耦合作用。韓慧璇等[9]采用能量法研究靜立人群與板聯(lián)合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，對人-板系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行分析。王益鶴等[10]建立了步行過程中人與結(jié)構(gòu)相互作用的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，研究人與結(jié)構(gòu)的相互作用及動(dòng)力響應(yīng)。張瓊等[11]建立以行人步頻和體重表示的剛度-質(zhì)量-阻尼模型，用于分析考慮人-橋豎向動(dòng)力相互作用和只在人行荷載作用下人行橋的動(dòng)力響應(yīng)。陳建英等[12]提出了人體簡化為考慮附加質(zhì)量塊的單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼體系，得到單人、多人作用于人-簡支梁相互作用體系的響應(yīng)情況。謝偉平等[13]將人體簡化為彈簧-質(zhì)量-阻尼單自由度系統(tǒng)，分析人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比和結(jié)構(gòu)頻率等因素對行人足底反力的影響，進(jìn)而揭示人-橋相互作用的影響因素及變化規(guī)律。簡方梁等[14]將人體當(dāng)做荷載激勵(lì)作用于上海虹橋站人行走廊的有限元(ANSYS)建模上，對結(jié)構(gòu)振動(dòng)的舒適性進(jìn)行評價(jià)。朱前坤等[15]建立人體單自由度動(dòng)力響應(yīng)數(shù)學(xué)模型以研究考慮人-樓梯相互作用時(shí)，大跨度柔性樓梯在人行激勵(lì)作用下的振動(dòng)舒適度。韓小雷等[16]采用有限元軟件建立樓板模型，施加多個(gè)行人荷載得到樓板的加速度反應(yīng)譜，以評估建筑樓板的舒適性。張高明[17]研究單人和人群荷載作用于廣州火車站站房候車大廳時(shí)，通過采用振級法判斷樓板結(jié)構(gòu)的舒適度。綜上可知，國內(nèi)關(guān)于人-結(jié)構(gòu)相互作用的研究，更多側(cè)重于確定體系的動(dòng)力特性和結(jié)構(gòu)的舒適度，而基礎(chǔ)的理論模型研究相對較少，且大多采用單自由度人體模型進(jìn)行研究。

本文主要依據(jù)Griffin等提出的不考慮附加質(zhì)量塊的串聯(lián)、并聯(lián)兩自由度人體模型，結(jié)合單自由度結(jié)構(gòu)以組成三自由度人-結(jié)構(gòu)相互作用體系理論模型，研究人-結(jié)構(gòu)相互作用體系的共振頻率，并利用試驗(yàn)結(jié)果對人體模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使模型更貼近實(shí)際情況。

1 三自由度人-結(jié)構(gòu)體系理論模型

從人體生物動(dòng)力學(xué)的研究中發(fā)現(xiàn)：無論人體處于坐姿或站立的狀態(tài)下，兩自由度模型均比單自由度模型更能有效模擬人體的動(dòng)力特性[18]。基于這一結(jié)論，本文結(jié)合Griffin等提出的人體串聯(lián)、并聯(lián)兩自由度模型以及單自由度結(jié)構(gòu)模型，組合得到了三自由度人-結(jié)構(gòu)相互作用體系，如圖3所示。其中圖3(a)表示串聯(lián)兩自由度的人體模型與單自由度結(jié)構(gòu)模型組合，用2a_s表示，圖3(b)則表示為并聯(lián)的兩自由度人體模型與單自由度結(jié)構(gòu)模型組合，用2c_s表示。圖中，M1、M2分別表示人體的模態(tài)質(zhì)量，K1、K2分別表示人體的模態(tài)剛度，C1、C2分別表示人體的模態(tài)阻尼，Ms、Ks、Cs分別表示結(jié)構(gòu)模型的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼，S為安裝于結(jié)構(gòu)模型上的拾振器，F(xiàn)為施加在結(jié)構(gòu)模型上的作用力。

(a) 模型2a_s(b) 模型2c_s

圖3 三自由度人-結(jié)構(gòu)相互作用模型

Fig.3 3DOF human-structure model

1.1 由串聯(lián)兩自由度人體模型構(gòu)成的人-結(jié)構(gòu)體系理論模型(模型2a_s)

(1)

根據(jù)Ji團(tuán)隊(duì)對2DOF的推導(dǎo)方法[20]，得到加速度頻響函數(shù)

(2)

其模為：

(3)

其中：

并有：

1.2 由并聯(lián)兩自由度人體模型構(gòu)成的人-結(jié)構(gòu)體系理論模型(模型2c_s)

將人體簡化為并聯(lián)兩自由度模型，并與單自由度結(jié)構(gòu)模型組成三自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼體系模型。根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，該模型在簡諧荷載作用下的運(yùn)動(dòng)方程如式(4)所示，采用類似模型2a_s的方法推導(dǎo)得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)頻率函數(shù)如式(5)所示

(4)

傅里葉變換后加速度頻響函數(shù)為

(5)

其中有

(5a)

(5b)

4(ξ1β1α1+ξS)ξ2β2+4(ξ2β2α2+ξS)ξ1β1]

(5c)

(5d)

模型2a_s和模型2c_s推導(dǎo)得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)加速度頻響函數(shù)中其對應(yīng)參數(shù)表示的物理意義是一致的。而不同之處在于人體模型自由度的連接方式不同，所以兩模型運(yùn)動(dòng)微分方程中的模態(tài)質(zhì)量矩陣、模態(tài)剛度矩陣、模態(tài)阻尼矩陣是不同的。

2 模型驗(yàn)證

2.1 簡化的三自由度人-結(jié)構(gòu)模型與兩自由度模型對比

基于三自由度的人-結(jié)構(gòu)體系模型中，若將兩自由度人體模型去掉一個(gè)自由度，則可簡化為與Ji研究中一致的兩自由度人-結(jié)構(gòu)體系模型[21]。將兩模型理論推導(dǎo)結(jié)果(式(2)、式(5))進(jìn)行化簡得到式(6)，并將其與已有文獻(xiàn)結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)完全一致。同時(shí)在MATLAB中運(yùn)算3DOF人-結(jié)構(gòu)體系結(jié)構(gòu)加速度頻響函數(shù)(式(2)、式(4))，當(dāng)其參數(shù)取值與2DOF相同時(shí)(兩自由度人體模型中對應(yīng)的一個(gè)自由度參數(shù)取為零)，發(fā)現(xiàn)兩曲線完全重合，以此初步驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的準(zhǔn)確性。

(6)

2.2 驗(yàn)證基頻的計(jì)算結(jié)果

由圖3(a)知，若不考慮模型2a_s阻尼的影響，則該模型與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中三自由度層剪切結(jié)構(gòu)類似。于是，根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中三自由度自由振動(dòng)方程，采用MATLAB中特征向量、特征解的函數(shù)EIG計(jì)算模型的圓頻率。其中將質(zhì)量取為：M1=1.60×105，M2=34.44，M3=23.64，剛度取為：K1=7.80×106，K2=2.64×104，K3=3.32×104，代入公式|K-ω2M|=0，通過MATLAB編程計(jì)算結(jié)構(gòu)固有圓頻率為：0.90 rad/s、34.94 rad/s、93.79 rad/s。在模型2a_s中，阻尼取為：Cs=0，C1=0，C2=0；質(zhì)量Ms，M1，M2和前述M1，M2，M3取值一致，剛度Ks，K1，K2和前述K1，K2，K3取值一致；代入式(2)中繪制函數(shù)曲線圖，并判斷其極大值，由此得到體系共振的圓頻率為：0.90 rad/s、34.94 rad/s、93.79 rad/s。兩種不同方式所計(jì)算的結(jié)果基本無誤差，因此認(rèn)為采用功率譜的方法推導(dǎo)得到的體系共振頻率公式是正確的。

3 模型參數(shù)優(yōu)化

利用模型2c_s 模擬已有的試驗(yàn)結(jié)果，其中人體模型采用的是Griffin等提出的豎向兩自由度模型參數(shù)，根據(jù)模型2c_s中結(jié)構(gòu)加速度頻響函數(shù)(式(5))計(jì)算得到質(zhì)量比α=0.54，阻尼比為ξ1=0.43，ξ2=0.35，圓頻率ω1=82.88 rad/s、ω2=36.63 rad/s，頻率比β1=4.58，β2=2.04(結(jié)構(gòu)固有頻率為2.88 Hz)，單人站立時(shí)有α1=0.138，四人時(shí)有α1=0.525。對比圖4與圖5可知，試驗(yàn)測試單人站立于平臺時(shí)(圖4(a))，體系共振頻率為2.46 Hz，略低于原結(jié)構(gòu)頻率2.88 Hz；四人站立于平臺時(shí)(圖4(b))，體系共振頻率出現(xiàn)了兩個(gè)，分別為1.92 Hz、7.65 Hz；采用模型2c_s模擬的結(jié)果中，在0～15 Hz頻率段內(nèi)，單人站立于平臺時(shí)共振頻率為8.237 Hz，四人站立于平臺時(shí)的共振頻率為9.97 Hz，而且模型2c_s模擬圖與試驗(yàn)結(jié)果中收斂情況相悖。因此，認(rèn)為該模型中采用Griffin人體模型參數(shù)模擬人-結(jié)構(gòu)相互作用體系是不合理的。

(a) 單人站立于平臺

(b) 四人站立于平臺

針對Griffin人體模型參數(shù)不合理這一情況，提出采用單純形法(Nelder-Mead Simplex Method)優(yōu)化計(jì)算豎向人-結(jié)構(gòu)相互作用體系中的人體參數(shù)，4個(gè)優(yōu)化參數(shù)分別如下：人體兩自由度的比值α=M1/M2、人體模型中自由度m1所占人體總模態(tài)質(zhì)量的比值α1=M1/MH、兩自由度人體模型的阻尼比為ξ1、ξ2。由于單純形法為無邊界條件的優(yōu)化方法，需設(shè)定參數(shù)優(yōu)化時(shí)合理的邊界條件，使得優(yōu)化結(jié)果有物理意義。查閱相關(guān)文獻(xiàn)可知[22]，兩自由度人體模型的質(zhì)量比α的合理取值范圍在0.5～2；自由度m1占總模態(tài)質(zhì)量的比值α1應(yīng)為小于1的正值；依據(jù)文獻(xiàn)[23-24]，人體的阻尼比的合理范圍在20%～50%。據(jù)此，設(shè)定四個(gè)人體模型參數(shù)的優(yōu)化范圍為：α∈(0.5,2)、α1∈(0,1)、ξ1∈(0.2,0.5)、ξ2∈(0.2,0.5)。優(yōu)化目標(biāo)定義為理論計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果的偏差平方和△(式(7)所示)，在MATLAB中使用函數(shù)fminsearch進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。

(a) 單人站立于平臺(Griffin)

(b) 四人站立于平臺(Griffin)

(7)

優(yōu)化后，豎直站立人體串聯(lián)模型2a_s的相應(yīng)人體參數(shù)為：α=1.932，α1=0.041，ξ1=0.218，ξ2=0.381；豎直站立人體并聯(lián)模型2c_s的人體參數(shù)為：α=0.930，α1=0.051，ξ1=0.335，ξ2=0.421；彎膝站姿人體串聯(lián)模型2a_s的相應(yīng)人體參數(shù)為：α=1.743，α1=0.343，ξ1=0.205，ξ2=0.200；彎膝站姿人體并聯(lián)模型2c_s的相應(yīng)人體參數(shù)為：α=1.774，α1=0.006，ξ1=0.426，ξ2=0.233。所有優(yōu)化后得到的參數(shù)均落在文獻(xiàn)中指明的合理范圍。

人體靜止豎向站立的前兩階頻率約為5.50 Hz、12.00 Hz，因此，根據(jù)四個(gè)優(yōu)化參數(shù)得到兩自由度人體模型的模態(tài)質(zhì)量M1=α1MH、M2=α1MH/α，模態(tài)剛度K1=(2πf1)2M1、K2=(2πf2)2M2，模態(tài)阻尼C1=2ω1M1ξ1、C2=2ω2M2ξ2，如表1和表2所示。

表1 優(yōu)化后站姿人體模型參數(shù)

表2 優(yōu)化后彎膝站姿人體模型參數(shù)

圖6各線由上到下分別表示直接將Griffin文中參數(shù)分別用于當(dāng)前2a_s和2c_s模型得到的結(jié)果同Griffin文中試驗(yàn)結(jié)果比較后得到的偏差；以及采用優(yōu)化參數(shù)得到的2a_s和2c_s模型的結(jié)果同Griffin文中試驗(yàn)結(jié)果之間的偏差。由圖可知，相比于采用Griffin等提出的參數(shù)計(jì)算結(jié)果，參數(shù)優(yōu)化后的模型2a_s的模擬結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果偏差值平方和明顯更低，因此可以實(shí)現(xiàn)通過參數(shù)優(yōu)化來顯著改善模擬結(jié)果。

4 結(jié) 論

將串聯(lián)和并聯(lián)的兩自由度人體模型分別作用于單自由度結(jié)構(gòu)模型，得到三自由度人-結(jié)構(gòu)相互作用體系模型(模型2a_s、模型2c_s)，并利用人體的高阻尼特性，分析系統(tǒng)的受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程，通過加速度響應(yīng)函數(shù)分析系統(tǒng)共振頻率，并對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行模擬，同時(shí)采用單純形法對人體的兩自由度模型進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，分別模擬了豎向站立、彎膝站立人體-結(jié)構(gòu)體系試驗(yàn)結(jié)果，并得到每組模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的偏差平方和。

結(jié)論如下：

(1) 在人-結(jié)構(gòu)相互作用體系的研究中，Griffin等的人體模型參數(shù)無法直接用于模擬試驗(yàn)測得的共振頻率。

(a) 共振頻率偏差值平方和(豎直站立)

(b) 共振頻率偏差值平方和(彎膝站立)

(2) 針對模型2a_s、模型2c_s模擬人-結(jié)構(gòu)相互作用體系，采用單純形法優(yōu)化人-結(jié)構(gòu)相互作用體系的參數(shù)，得到兩模型中的人體參數(shù)，驗(yàn)證了豎向人-結(jié)構(gòu)相互作用體系的試驗(yàn)結(jié)果。

(3) 通過對比分析使用優(yōu)化參數(shù)后模型2a_s和2c_s模擬試驗(yàn)結(jié)果的情況，發(fā)現(xiàn)模型2a_s能更好地模擬人體彎膝站姿、豎直站姿作用于結(jié)構(gòu)時(shí)體系的動(dòng)力響應(yīng)情況。

由此可知，對人體模型參數(shù)優(yōu)化后的理論模型能較好模擬試驗(yàn)結(jié)果，且人體為串聯(lián)兩自由度模型組成的三自由度體系(模型2a_s)能更好的模擬豎直站立、彎膝站立的人-結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)力響應(yīng)特性。