時(shí)曼曼

十字相乘法去是留之我見

時(shí)曼曼

摘 要：在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于“十字相乘法”這一知識點(diǎn)的爭議頗大，主要有提倡刪去和建議保留“十字相乘法”這兩種觀點(diǎn)。建議保留“十字相乘法”的人認(rèn)為：雖然十字相乘法存在局限性--不是通法，但是“十字相乘法”自身存在著數(shù)學(xué)教育價(jià)值，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔、形式美；掌握“十字相乘法”對學(xué)習(xí)一元二次方程的求解、解不等式及三角函數(shù)都會有幫助。贊同刪去“十字相乘法”的人認(rèn)為：“十字相乘法”技巧性過強(qiáng)，注重教會學(xué)生一些奇怪的解題技巧，不僅會加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，這也與數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能的目標(biāo)相違背。根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系--韋達(dá)定理同樣可以代替“十字相乘法”通過觀察試解的方法來求解方程。

關(guān)鍵詞：十字相乘法；因式分解；公式法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對于分解因式這一知識內(nèi)容的要求為“能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過二次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）”。顯然，課標(biāo)并不要求掌握用“十字相乘法”對多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式。通過對數(shù)學(xué)教學(xué)交流群—中國數(shù)學(xué)教育之友初中群（著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授也在該交流群，群成員中有來自全國各地的中學(xué)教師900人左右）做調(diào)查：“十字相乘法”該不該教，你怎么看？可謂是眾說紛紜，許多教師認(rèn)為“十字相乘法”是奇技淫巧不該教，但在實(shí)際教學(xué)時(shí)還是講了“十字相乘法”。于是試圖通過梳理關(guān)于“十字相乘法”的各方主要觀點(diǎn)加深讀者對于“十字相乘法”的認(rèn)識，對比人教版、蘇教版對“十字相乘法”的處理和安排，對“十字相乘法”的教學(xué)提出一點(diǎn)建議。

一、贊同刪去十字相乘法的觀點(diǎn)

王尚志、張思明、胡鳳娟在《如何認(rèn)識“十字相乘法”（一）》中認(rèn)為，求根公式法是一種非常簡單、通用的方法。不管在什么情況下都能在有限步將二次三項(xiàng)式成功分解；其次，求根公式對于研究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對深刻認(rèn)識“十字相乘法”及學(xué)生學(xué)習(xí)有關(guān)的不等式、方程都有幫助，而“十字相乘法”只適用于特殊的二次三項(xiàng)式的分解，對于沒有整數(shù)根的二次三項(xiàng)式，十字相乘法就失去了應(yīng)用價(jià)值。因此，作者認(rèn)為求根公式是適用面更廣的“通性通法”。王尚志、張思明、胡鳳娟在《如何認(rèn)識“十字相乘法”（二）》中認(rèn)為使用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解要求在有限次嘗試后能成功將其常數(shù)項(xiàng)分解，這就使得常數(shù)項(xiàng)不能是分?jǐn)?shù)因而具有一定的局限性。而“求根公式法”是通性通法，應(yīng)該將重點(diǎn)放在掌握通性通法—用“求根公式法”分解因式上，這樣在學(xué)生掌握了通性通法后，“十字相乘法”就顯得不那么重要了，有精力的學(xué)生可以去了解一下，沒有多余精力的學(xué)生也不會因?yàn)椴欢笆窒喑朔ā倍粫蚴椒纸饬?盤世惠、金紹鑫在《別了，十字相乘法》一文中指出，若教師在教學(xué)中補(bǔ)教十字相乘法僅為應(yīng)付教輔上的因式分解題或者是為了有利于學(xué)生求解一元二次方程是不可取的，原因在于其認(rèn)為“十字相乘法”是一種觀察試算法，而在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中新增了“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”，那么可以采用試算加韋達(dá)定理的方法求解一元二次方程，即先由觀察得出方程一根然后再根據(jù)韋達(dá)定理求出另外一根。這樣既減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)也做到了和課標(biāo)相一致。甘志國在《不用十字相乘法速解一元二次方程》中，由關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程

ax2+bx+c=0（1）

x2+bx+ac=0（2）

的根之間的聯(lián)系，給出定理：若方程（1）（2）之一有實(shí)根，則它們均有實(shí)根，且（2）的兩根分別是（1）的兩根的a倍。作者試圖將原方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1從而便于求解新方程的根，之后再通過兩個(gè)方程的根之間的關(guān)系得出原方程的根。

總之，贊同刪去“十字相乘法”的觀點(diǎn)為：“十字相乘法”技巧性過強(qiáng)，注重教會學(xué)生一些奇怪的解題技巧，不僅會加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，這也與數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能的目標(biāo)相違背。根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系同樣可以代替“十字相乘法”通過觀察試解的方法來求解方程。

二、不贊同刪去十字相乘法的觀點(diǎn)

1.十字相乘法并非難以掌握，在教學(xué)中滲透十字相乘法可增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心

王懷喜《請給十字相乘法留一席之地》一文中指出“十字相乘法”作為一種運(yùn)算工具，它的重要性體現(xiàn)在運(yùn)算簡潔、高效，思路清晰、流暢，是訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性、提高學(xué)生觀察能力的好手段。相對于公式法和配方法使用十字相乘法可使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活潑些，并且認(rèn)為“十字相乘法”易于學(xué)生掌握在教學(xué)時(shí)不做深入學(xué)習(xí)不會用時(shí)很多，讓學(xué)生的解題多一條路子是不錯的選擇。唐宗康《一元二次方程幾種常用解法的選擇之我見》一文中在使用因式分解法求解一元二次方程時(shí)，對于形如x2+(a+b)x+ab=0的一元二次方程用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解，能快速地求解，這可以大大提高學(xué)生的解題速度，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

2.就“十字相乘法”在中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中的作用而言其具有重要意義

鄺孔秀在《“十字相乘法”該刪嗎？》一文中從十字相乘法在初中數(shù)學(xué)知識體系中的地位和作用的角度來看，“十字相乘法”在因式分解、分式通分約分加減運(yùn)算以及求解不等式時(shí)常用到，在溝通初中代數(shù)運(yùn)算方面“十字相乘法”具有重要意義。因此作者認(rèn)為“十字相乘法”應(yīng)保留。唐紹友《初三數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透初、高中銜接的實(shí)踐與思考》一文中從初高中知識點(diǎn)的銜接的角度來看，作者認(rèn)為一些知識點(diǎn)在初中沒有納入中考要求或者要求較低而高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中又會用到，若不做好銜接會給高中的教學(xué)帶來了困難。并結(jié)合北京市中考題來說明采用“十字相乘法”求解含有參數(shù)的一元二次方程時(shí)，會事半功倍，而使用公式法解，常因?yàn)楹瑓?shù)代數(shù)式會增加計(jì)算量且開方時(shí)易出錯，顯然使用“十字相乘法”解占優(yōu)勢。司徒永顯在《對十字相乘法教材和教學(xué)的建議》中認(rèn)為在初一年級向?qū)W生介紹“十字相乘法”對于后續(xù)學(xué)習(xí)將會帶來不少好處，只要所研究的二次三項(xiàng)式是能夠分解因式的，使用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解是很方便的，并結(jié)合自己的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和通過作“題組教學(xué)”的嘗試，發(fā)現(xiàn)即使是對于中下學(xué)生也是很容易接受“十字相乘法”的。

對于不贊同刪去十字相乘法的觀點(diǎn)主要集中在“十字相乘法”使學(xué)生接受起來并不困難，一旦掌握該方法操作起來很方便；有時(shí)“十字相乘法”分解因式，可較快地對分式進(jìn)行化簡和計(jì)算，快速解決部分一元二次方程和不等式問題，作為一種數(shù)學(xué)思想方法和工具也是需要學(xué)生了解的。

三、“十字相乘法”在人教版和蘇教版教材中的體現(xiàn)

蘇教版教材在數(shù)學(xué)活動環(huán)節(jié)安排一個(gè)拼圖活動：給出3張紙片邊長分別為a和b的兩個(gè)正方形以及一個(gè)長和寬分別為a和b的長方形，然后通過計(jì)算由2個(gè)邊長為b的正方形，1個(gè)邊長為a的正方形以及3個(gè)長方形拼成的長方形的面積，從而得出

a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)（3）

在這里借助圖形直觀讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際操作體驗(yàn)一種新的分解因式的方法，但教材中沒有表明所使用的方法是“十字相乘法”。教材這樣處理是很好的，教師在重點(diǎn)講解提公因式法和運(yùn)用公式法之后可以再帶領(lǐng)學(xué)生感知分解形如x2+(a+b)x+ab型的二次三項(xiàng)式時(shí)的思維過程，相信通過觀察、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動可以培學(xué)生的直覺思維能力。

人教版教材在閱讀與思考“x2+(p+q)x+pq型因式分解”中利用多項(xiàng)式的乘法法則推導(dǎo)出

(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq（4）

再由因式分解是與整式乘法方向相反的變形這種關(guān)系可得：

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)（5）

然后利用此種分解因式的方法分解二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式，并結(jié)合實(shí)例分解式子x2+3x+2，通過觀察二次三項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)可以分解為2=1x2，一次項(xiàng)系數(shù)3=1+2，因此判斷這是x2+(p+q)x+pq型的式子，利用公式（5）可得x2+3x+2=(x+1)(x+2)。與蘇教版不同的是人教版給出了怎樣用十字相乘的形式形象表示分解因式的過程以及表示圖(如圖一)

圖一：因式分解過程

人教版和蘇教版教材都安排了“十字相乘法”這一知識點(diǎn)，而且都是在重點(diǎn)講解提公因式法和公式法之后以數(shù)學(xué)活動和閱讀材料的形式呈現(xiàn)“十字相乘法”，補(bǔ)充的“十字相乘法”可以作為學(xué)有余力的同學(xué)提高運(yùn)算能力、發(fā)展技能的一個(gè)平臺。

通過梳理支持或反對刪去“十字相乘法”的兩種觀點(diǎn)以及各個(gè)版本教材對“十字相乘法”的補(bǔ)充與否，存在著諸多不一致現(xiàn)象?？梢?，“十字相乘法”目前還是一個(gè)爭議較大的知識點(diǎn)。有爭議也是好的，若“十字相乘法”真的具有教育價(jià)值也定會回到課標(biāo)中來。關(guān)于“十字相乘法”，我有幾點(diǎn)看法：一，教與不教“十字相乘法”關(guān)鍵在于理清掌握了十字相乘法的學(xué)生在具有選拔性的考試中是否占有優(yōu)勢。二，存在一些教師僅從自身學(xué)過“十字相乘法”的經(jīng)歷出發(fā)便認(rèn)為該方法簡單易學(xué)。教師應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)地更新自己的學(xué)科知識，審視自己的教育理念，而不是一味地將自己從老師那里學(xué)到的一切再傳授給自己的學(xué)生。三，陳重穆教授在談到十字相乘法時(shí)說到，育人是選擇知識內(nèi)容比實(shí)際應(yīng)用更加重要的標(biāo)準(zhǔn)。教育的對象是學(xué)生，那我們應(yīng)重視學(xué)生的學(xué)習(xí)感受，可采取問卷調(diào)查或訪談等方法搜集學(xué)生對學(xué)習(xí)“十字相乘法”的情感體驗(yàn)等相關(guān)資料，而不是僅從教師教的角度出發(fā)。

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作者單位：（南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院）

作者簡介：時(shí)曼曼（1990-），女，河南駐馬店人，碩士研究生，研究方向?yàn)閷W(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。