甘志國

庫珀教授的數(shù)學課

一天，美國斯坦福大學商學院的數(shù)學教授庫珀讓同學們把自己的生日寫在小紙片上，然后把所有的小紙片都折起來放在講臺上。他拿出一張5美元的鈔票放在講臺上，問：“我用5美元打賭，你們中至少有兩個人同月同日生.有人敢跟我賭嗎？”

“我賭！”三個男同學同時舉起手來.另外還有七八個同學也各掏出 5美元放在桌子上。

有的同學暗想：一年有365天，我們班只有50個同學，在同一天過生日的可能性也太小了，教授這不是白送別人錢嗎？

教授打開第一張紙，讀出上面寫的日期，馬上就有三個同學舉起手來表示那是他們的生日。打賭的同學嘟囔了幾句：“怎么會這么巧？”周圍的同學都大笑起來。

接著，教授用他那明晰的語言把同學們帶入了數(shù)學的王國：

“解決這個問題最好用反證法，即證明50個人中沒有兩個人在同一天過生日的概率非常小。

“為了簡便，我們可以假設一年為365天（即不考慮閏年的情形）。把365天看成365間房，現(xiàn)在要給50個人按照生日安排住房，必須保證沒有兩個人住在同一間房（即沒有兩人的生日在同一天）。對于第一個人來說，他正確選擇房間的概率是365/365，因為所有的房間都是空的，他都可以入?。坏谝粋€人入住后，第二個人正確選擇房間的概率是364/365，因為有一間房已經(jīng)住了人，他只能住另外的364間中的一間；接下來的第三個人，正確選擇房間的概率就更小一些，是363/365，因為只剩下363間房可以住。

說完，教授扔下粉筆，得意洋洋地收繳他的戰(zhàn)利品——十幾張5美元的鈔票。

“各位，你們來商學院就是為了將來能夠賺大錢，概率就是商學院傳授給你們的一個制勝法寶。”

同學們哈哈大笑，這堂課的效果好極了。庫珀教授下課后，用贏來的錢請全班同學吃了頓快餐。

注1.讀者還可算出，在n（n=1，2，…，365）個人中至少有兩人在同一天過生日的概

3.我們在武俠言情小說中經(jīng)常見到“兩人生日恰好相同，真是有緣……最終結為金蘭之好”這樣的描寫，其中的“生日相同”應不足為奇，“結為金蘭”的美好結局也是概率幫的忙。

能打開所有門的鑰匙

我的一個朋友在一所大學里當宿舍管理員，有一次聊天，她告訴我一件有趣的事情。

她管理的那個樓住著一群男生，每個宿舍四個人，每個人有一把該宿舍的鑰匙。這些學生很愛睡懶覺，總愛拖到快上課了才匆匆忙忙地起來刷牙洗臉，然后直奔教室。等到下課回來，一摸口袋，壞了，鑰匙忘在宿舍里了，于是只能等其他同學回來開門：四個人中總有一兩個人帶著鑰匙?？煽傆心敲磶状?，四個人全忘了帶鑰匙，于是全被堵在宿舍外了.沒辦法，只能來找宿舍管理員，也就是我的朋友，她保管著整個樓所有宿舍的備份鑰匙。

次數(shù)多了，朋友便覺得麻煩。她定了個規(guī)矩，每個宿舍每學期來找她要鑰匙的次數(shù)不得超過三次，超過三次者，自己找工具把鎖撬開，然后再掏錢買把新的。

期末的時候，朋友把所有宿舍的情況做了一次統(tǒng)計，她發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象：5樓幾個連在一起的宿舍，501到506，居然一次也沒來麻煩她開過門！一次記錄也沒有的宿舍不是沒有，可現(xiàn)在有六個宿舍，而且還是連在一起的。這引起了朋友的興趣。

為了解開心里的疑團，朋友特地敲開了504的門，終于知道了他們的秘密。原來，他們每個宿舍都另外配了一把開自己宿舍門的新鑰匙，存放到下一個宿舍中，這么說吧，把六個宿舍和六把鑰匙分別編上號，他們的辦法就是：把鑰匙一存放到宿舍二，把鑰匙二存放到宿舍三，依此類推，最后把鑰匙六存放到宿舍一。這么一來，二十四個人中只要有一個人帶了鑰匙，那所有人都不會被堵在宿舍外：因為只要有一把鑰匙，就能先打開一道門，然后取得第二把鑰匙打開第二道門，就這樣，一直到打開所有的門。

聽到這里，我忍不住拿出筆來算了一下，假設每個學生忘記帶鑰匙的幾率是50%（實際上應該小于這個數(shù)字），那么會不會出現(xiàn)二十四個學生都不帶鑰匙的情況呢？理論上是可能的，由概率論可以算出，這個幾率應該是1/16777216——幾近于零！

我不禁佩服起這一群聰明的小伙子來。他們互相信任，彼此合作，一盤散沙，各自為戰(zhàn)時，每個人都有手忙腳亂的時候；而只有并肩站到一起，共同面對問題，才能挖掘出最大的潛能，這時候，問題往往變得不堪一擊，因為這時候，每個人手里都多了一把鑰匙，一把能打開所有門的鑰匙。

閱讀完上面的文字后，我們還可解答下面的三個小問題（假設每個學生忘記帶鑰匙的概率是50%）：

（1）同一宿舍的四個人都忘記帶鑰匙的概率是多少？

（2）同一宿舍的四個人都忘記帶鑰匙達到四次（自己找工具把鎖撬開，然后再掏錢買把新的）的概率是多少？

（3）采取上文中的防范措施后，同一宿舍的四個人都忘記帶鑰匙達到四次（自己找工具把鎖撬開，然后再掏錢買把新的鑰匙）的概率是多少？

概率幫了盟軍

1943年，正值第二次世界大戰(zhàn).在此之前，在大西洋上的英、美運輸船隊常常受到德國潛艇的襲擊.當時，英、美兩國限于實力，無力增派更多的護航艦，一時間，德軍的“潛艇戰(zhàn)”搞得盟軍焦頭爛額。為此，有位美國海軍將領專門去請教了幾位數(shù)學家，數(shù)學家們運用概率論分析后發(fā)現(xiàn)，艦隊與德軍潛艇相遇是一個隨機事件。按數(shù)學角度來看這一問題，有一定的規(guī)律，一定數(shù)量的船只（如100艘）編隊規(guī)模越小，編次就越多（如每次20艘，就要有5個編次）；編次越多，與敵人相遇的概率就越大。美國海軍接受了數(shù)學家的建議，命令船隊在指定海域集合，再集體通過危險海域，然后各自駛向自己預定的港口，結果奇跡出現(xiàn)了：盟軍艦隊遭襲被擊沉的概率由原來的25%降低為1%，大大減少了損失，保證了物資的及時供應。