劉書林

【摘 要】 職中生的抽象思維能力和空間思維能力是比較薄弱的，在學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)，圖形想象能力需要建立在大量的圖形認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的積累上，如果單靠手工作圖是比較耗時(shí)的。利用幾何畫板可以快速、準(zhǔn)確且動(dòng)態(tài)地向?qū)W生展示幾何圖形，幫助學(xué)生理解概念和題意，從而收到較好的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;直觀形象;方便快捷

在職業(yè)中學(xué)的數(shù)學(xué)課堂上，我們面臨的是在初中甚至從小學(xué)開始就逐漸跟不上教學(xué)進(jìn)度的學(xué)生。不要說邏輯思維能力、空間想象能力，就連最簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力都是他們所欠缺的。華羅庚說：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微?！痹诮虒W(xué)過程中，學(xué)生需要更為形象直觀地認(rèn)知數(shù)學(xué)規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，而傳統(tǒng)的粉筆加尺規(guī)工具作圖，已經(jīng)難以滿足他們的要求。

當(dāng)前計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為我們解決了這一難題——從國外引進(jìn)的教育軟件《幾何畫板》以其入門容易和操作簡單的優(yōu)點(diǎn)及其強(qiáng)大的圖形和圖像功能、方便的動(dòng)畫功能被國內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要?jiǎng)?chuàng)作平臺(tái)之一。在教學(xué)中引用該軟件，會(huì)使一些需要結(jié)合圖形圖像的內(nèi)容學(xué)習(xí)起來更加容易。我以《圓錐曲線》這一章為例，展示一下《幾何畫板》給教學(xué)和學(xué)習(xí)帶來的便利。

圓錐曲線中，學(xué)生首先接觸的是橢圓的第一定義：平面內(nèi)，與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。單從定義上看，學(xué)生可能想象不到這個(gè)軌跡為什么會(huì)是一個(gè)橢圓呢？我們可以通過制作動(dòng)畫演示畫橢圓的過程，也可以通過看圖驗(yàn)證得到，而后者更加方便快捷。在《幾何畫板》中，選擇“圓錐曲線A-橢圓（焦點(diǎn)+點(diǎn)）”功能，作任意橢圓一個(gè)。標(biāo)注兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，在橢圓上任選一點(diǎn)P，度量點(diǎn)P到點(diǎn)F1、F2的距離，并求和。當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)|PF1|+|PF2|是一個(gè)常數(shù)（后面的學(xué)習(xí)中還會(huì)知道這個(gè)常數(shù)是2a），并不隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變動(dòng)，如圖一。通過觀察這個(gè)圖像，學(xué)生很快理解了橢圓的定義，并能夠牢固地記住橢圓的這個(gè)特點(diǎn)。

（注：圖一是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到橢圓上兩個(gè)不同位置時(shí)度量該點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離，并求和。）

相同的方法，學(xué)生可以理解雙曲線和拋物線的第一定義，并在理解的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確記憶定義，在解決和圓錐曲線第一定義有關(guān)的題目時(shí)，答題正確率有明顯提高。如：

1.一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)A（0，4）、B（0，-4）的距離之和為10，則它的軌跡方程為 ? ? ?。

2. 橢圓=1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為11，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 ? ? 。

3.已知F1、F2是橢圓=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，求△MNF1的周長。

4.雙曲線1上任一點(diǎn)P到此雙曲線距離較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離是12， 則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是 ? 。

5.拋物線y2=6x上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為3，求點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，并求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)。

以上題目都是對(duì)圓錐曲線第一定義直接或者間接的考察。在講解時(shí)，可以通過幾何畫板作圖讓學(xué)生觀察。有了大量的圖形觀察經(jīng)驗(yàn)積累之后，學(xué)生能夠把圓錐曲線的定義轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的圖形存儲(chǔ)在大腦中，遇到相關(guān)題目時(shí)，可以在腦海中構(gòu)建出圖形，或者很快畫出草圖，并正確解答出來。

除了第一定義外，圓錐曲線的第二定義也是比較抽象，難以理解的。如橢圓的第二定義：平面內(nèi)，與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線l的距離的比是常數(shù)e（0<e<1）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)F叫做橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線l叫做與該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線（一個(gè)橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)和兩條準(zhǔn)線）。常數(shù)e叫做橢圓的離心率。學(xué)生讀完定義后感覺不知所云，不明白為什么這樣的軌跡就是一個(gè)橢圓。我們一樣可以通過圖形驗(yàn)證理解定義。作橢圓=1（如圖二），標(biāo)出焦點(diǎn)F1、F2，并作兩條準(zhǔn)線。在橢圓上選一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離|PF1|和到左準(zhǔn)線的距離|PN|是變動(dòng)的，但二者的比值是不變的，而且恰好等于該橢圓的離心率e，即0.8。點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2的距離|PF2|和到右準(zhǔn)線的距離|PN|也滿足這個(gè)特點(diǎn)。

（注：圖二是點(diǎn)P在橢圓上兩個(gè)不同位置時(shí)度量該點(diǎn)到兩焦點(diǎn)和兩準(zhǔn)線的距離，并計(jì)算到焦點(diǎn)和到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的比值。）

幾何畫板的演示讓第二定義變得不那么抽象，容易理解了。在遇到和第二定義相關(guān)的題目時(shí)，學(xué)生可以通過回憶圖像和定義解答問題。如：

當(dāng)然，有的題目把圓錐曲線的第一、第二定義結(jié)合起來考察，那么觀察圖形的經(jīng)驗(yàn)積累就顯得更加重要了。如：1（上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)距離是12，它到橢圓右準(zhǔn)線的距離是 ? ?。

從近幾年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，在講解圓錐曲線時(shí)，使用幾何畫板會(huì)使得三種圓錐曲線的定義講解得更加清晰，學(xué)生接受起來也更加輕松，不容易遺忘，解答題目時(shí)會(huì)想到用這些相應(yīng)的知識(shí)。由此可見，課堂中引入幾何畫板，會(huì)使本來抽象不容易理解的概念、需要圖形想象能力的知識(shí)接受起來更加容易。當(dāng)然學(xué)習(xí)中不需要每次都用幾何畫板，這樣又顯得有些繁瑣，主要是在學(xué)習(xí)一個(gè)新知識(shí)點(diǎn)的初期運(yùn)用幾何畫板幫助學(xué)生理解概念，建立直觀形象的圖形印象，這會(huì)使得后面的學(xué)習(xí)變得輕松很多。

當(dāng)然，這里只是使用了《幾何畫板》中一些最基本、最簡單的功能，這也只是我初步嘗試在課堂使用該軟件的小小收獲，愿意和大家一起分享。

（作者單位：東莞市商業(yè)學(xué)校）