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        幾類含參問題初探

        2015-07-16 10:30:20吉林省白山市撫松縣撫松五中夏興鳳
        衛(wèi)星電視與寬帶多媒體 2015年21期
        關(guān)鍵詞:常量增函數(shù)做題

        吉林省白山市撫松縣撫松五中 夏興鳳

        含參問題是整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn)。高考中也少不了這類題型。面對(duì)某些含參問題,正面思考會(huì)覺得很困難。但通過轉(zhuǎn)變思想,變換自變量,重新設(shè)定自變量的方法,會(huì)使解題思路凸現(xiàn),而這個(gè)變化過程也大大優(yōu)化了求解過程。下面是我平時(shí)在教學(xué)工作中對(duì)這一問題的一點(diǎn)思考,愿與我們大家共同分享。敬請(qǐng)斧正!

        一、設(shè)定自變量求含參問題

        例如:已知

        其中a為常數(shù)。

        若h( x) = f( x) + g( x)是增函數(shù),且h′( x)存在正零點(diǎn)(h′( x)為h(x)導(dǎo)數(shù))

        (1)求a值。

        ( ⅰ ) 若0 < a < 1 ,ln a <0于 是x2?ln a ? 2 x ? ln a +1 ≤ 0恒 成 立 。 又h′( x)存在正零點(diǎn),所以 ?= 4 ln2a ? 4 ln a =0。得ln a =0或ln a =1,與ln a <0矛盾。

        ( ⅱ ) 若a>1, 由x2?ln a ? 2 x ? ln a +1 ≥ 0恒成立,又h′( x)存在正零點(diǎn),故?=0,所以a =e。

        做到這里有的同學(xué)就不知該如何往下證明了,在上邊這個(gè)式子中,出現(xiàn)了兩個(gè)變量x1, x2,倘若把其中的一個(gè)設(shè)為自變量,另一個(gè)看做參變量,那么這個(gè)問題的思路便豁然開朗了。

        不妨令X1=X,則令r( x) = x ? ln x2?x ? ln x ? x2+x (0<x<x2)只需證r( x) < 0,x ∈ (0,x2)即可。

        r′( x) = l n x2? l n x >0

        ∵x ∈ (0,x2),∴ r′( x) > 0∴r( x)在(0,x2)上 遞 增 。 ∴ r ( x1) < r( x2)即x1?ln x2?x1?ln x1?x2+x1<0

        二、變換自變量解含參問題

        對(duì)于有些問題,如果把不等式看做關(guān)于 的不等式則解題過程非常復(fù)雜,但如果把不等式看做關(guān)于參數(shù)a的不等式則可簡化解題過程,實(shí)現(xiàn)常量與變量的轉(zhuǎn)化。

        再如,對(duì)于滿足的所有實(shí)數(shù)a,求使 不等式x2+ a x + 1 > 2 x + a 恒成立的x的取值范圍。

        不等式化為(x ? 1)a + (x ?1)2>0,令f( a ) = (x ? 1 )a + (x ?1)2,把它看作是關(guān)于a的一次函數(shù),由有 ?2 ≤ a ≤2,對(duì)于 ?2 ≤ a ≤2時(shí),要使f( a) > 0恒 成 立 , 只 需f( ?2) = (x ? 1 )(x ?3) > 0和f( 2) = (x ? 1 )(x +1) > 0同時(shí)成立即可,得x<?1或x>3。如此變換,復(fù)雜的問題就簡單多了,學(xué)生做題時(shí)也省去了不必要的麻煩。

        三、變更自變量從而回避討論

        某些分類討論問題中含有多個(gè)變量,可根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇某個(gè)變量為自變量,來個(gè)“反客為主”,從而回避討論的繁瑣。

        例如:

        設(shè),其中a ∈ R , n ∈ N 且n≥2當(dāng)x∈ (? ∞,1]時(shí)f( x)有意義,求a的范圍。

        本題中有三個(gè)變量a, n, x 。這里條件復(fù)雜,解題方向不明確,如果選取其中的a 為自變量,把n, x 看作常量,問題就迎刃而解了。

        由于n≥2且有x∈ (? ∞,1],所以

        以上僅是我平時(shí)教學(xué)時(shí)的一些感觸。其實(shí),在教學(xué)過程中,還有許多問題值得我們總結(jié)和思考。很多平時(shí)我們覺得很難的問題,只要換種角度去看待,即利用轉(zhuǎn)化的思想去分析研究,也許那些問題就不再深不可測(cè)了。當(dāng)然這只是我個(gè)人的一點(diǎn)點(diǎn)想法,如有不當(dāng)之處,敬請(qǐng)批評(píng)指正!

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