王 鵬 李 冰 楊培軍

（安徽省阜陽(yáng)市界首中學(xué) 安徽 阜陽(yáng) 236500）

1 問(wèn)題的提出

有不少教師發(fā)文討論如下問(wèn)題［1］：如圖1所示，物體A，B以相同的速率v下降，物體C以速率vx上升，當(dāng)繩與豎直方向夾角為α?xí)r，則

圖1

常見(jiàn)的解法如圖2和圖3所示，結(jié)果分別為vx＝那么究竟哪種解法正確呢？下面從幾個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)剖析.

圖2

圖3

2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)與運(yùn)動(dòng)的合成與分解的區(qū)別

有些教師在分析上述問(wèn)題時(shí)將小船渡河模型與之類(lèi)比［2］，但實(shí)際上這是兩類(lèi)完全不同的運(yùn)動(dòng)，并不能類(lèi)比.小船渡河模型屬于相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，而上述問(wèn)題和拉船模型一樣，屬于運(yùn)動(dòng)的合成與分解問(wèn)題.

對(duì)于同一物體，選擇的參考系不同，其運(yùn)動(dòng)情況一般不同，速度自然也不同，那么各速度之間存在什么關(guān)系就屬于相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，其規(guī)律為vAC＝vAB＋vBC，其中3個(gè)速度分別為物體A相對(duì)物體C的速度，物體A相對(duì)物體B的速度，物體B相對(duì)物體C的速度.下面來(lái)看小船渡河模型.水流速度v1是水相對(duì)岸的速度，船在靜水中的速度v2是船相對(duì)水的速度，船的合速度v實(shí)際是船相對(duì)岸的速度，且v＝v1＋v2.

從以上分析可以看出，相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是研究同一物體在不同參考系間的速度變換關(guān)系，而運(yùn)動(dòng)的合成與分解則與之完全不同，它研究的是同一物體在同一參考系中的速度合成關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是矢量的合成與分解，拉船模型即屬于這類(lèi)問(wèn)題.以地面為參考系，船（繩子末端A點(diǎn)）實(shí)際的運(yùn)動(dòng)為由A到B，將位移分解，如圖4和圖5所示除以時(shí)間，即得到v＝v1＋v2，由此即可認(rèn)為繩子末端A點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：A到C，C到B，速度分別為v1和v2，其中3個(gè)速度均以地面為參考系，與小船渡河模型不同.

圖4

圖5

3 等效替代原則

圖1中給出了3個(gè)速度，有些教師便不假思索地認(rèn)為它們是合速度與分速度的關(guān)系.但實(shí)際上未必，需要仔細(xì)分析.在分析時(shí)要注意等效替代原則，即所有分運(yùn)動(dòng)的共同作用效果必須與合運(yùn)動(dòng)的作用效果相同，否則便不是分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)的關(guān)系.

按照這個(gè)原則去分析拉船模型（圖4，圖5），可以發(fā)現(xiàn)，A點(diǎn)的速度v產(chǎn)生了兩個(gè)效果：一個(gè)使A點(diǎn)與滑輪之間的繩子長(zhǎng)度以速度v1縮短，另一個(gè)使該段繩子以速度v2繞滑輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，如果A點(diǎn)同時(shí)以v1和v2速度運(yùn)動(dòng)，可以產(chǎn)生完全相同的效果，因此v1和v2確實(shí)是速度v的分速度.

下面來(lái)分析圖1問(wèn)題的兩種解法.圖1中的問(wèn)題要比拉船模型復(fù)雜，因?yàn)樽笥覂筛K子的末端連接在一起，每一個(gè)速度會(huì)同時(shí)對(duì)兩根繩子產(chǎn)生作用效果.在圖2中，當(dāng)3繩的結(jié)點(diǎn)以速度vx上升時(shí)，由圖1可知，其作用效果是使左右兩根繩子結(jié)點(diǎn)與滑輪間的部分長(zhǎng)度以速度v縮短，同時(shí)使該部分繩子以速度v′（大小未知）分別繞滑輪轉(zhuǎn)動(dòng).如果速度vx確實(shí)可以按照?qǐng)D2分解，那么兩個(gè)分速度對(duì)左右兩根繩子的作用效果應(yīng)與速度vx作用效果相同，矢量圖如圖6所示.

圖6

根據(jù)圖6，有

表1 分速度的效果

因此右邊的繩縮短的速度為

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的速度為

與速度vx作用效果完全相同，因此圖2解法正確.按照?qǐng)D7分解也正確，但按照?qǐng)D8分解則不對(duì).圖8實(shí)際上是簡(jiǎn)單套用了拉船模型的結(jié)論，卻沒(méi)有注意到左右兩根繩子連接在一起，互相牽制，實(shí)際上圖8中4個(gè)分速度的合速度是2vx.

圖7

圖8

圖9

圖10

4 謹(jǐn)防錯(cuò)覺(jué)誤導(dǎo)我們

經(jīng)過(guò)上面的分析發(fā)現(xiàn)圖3的解法錯(cuò)誤，那么為什么會(huì)產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的解法呢？筆者認(rèn)為可能是錯(cuò)覺(jué)誤導(dǎo)了我們.圖3中滑輪與結(jié)點(diǎn)之間的繩子好像沿繩子方向運(yùn)動(dòng)，所以物體C的速度就是這兩個(gè)速度v的合速度，就類(lèi)似圖11力的合成一樣.但是這部分繩子速度是沿繩子方向嗎？

圖11

圖12

從圖12可以發(fā)現(xiàn)，滑輪與結(jié)點(diǎn)之間的繩子運(yùn)動(dòng)情況很復(fù)雜，其速度方向既不沿繩子，也不是豎直向上.繩上每一點(diǎn)的速度和結(jié)點(diǎn)O類(lèi)似，既有沿繩方向的分速度v（該速度各點(diǎn)相同），又有垂直于繩的分速度v′（該速度各點(diǎn)不同，與到滑輪的距離成正比，v′＝ωL），因此與圖11不能類(lèi)比.

在分析圖3時(shí)，有些教師提出如下問(wèn)題［3］：博爾特百米跑時(shí)間約為10s，速度約10m／s，那么兩個(gè)博爾特拉著你跑，你的速度應(yīng)為兩個(gè)10m／s的合速度即20m／s，所以你應(yīng)能跑出5s的百米成績(jī)，這個(gè)看法正確嗎？答案顯然是否定的，然后與圖3類(lèi)比，即得出圖3的解法不正確這個(gè)結(jié)論.

問(wèn)題是我們能這樣類(lèi)比嗎？?jī)蓚€(gè)博爾特拉著你跑，3人速度方向一致，與圖12方向明顯不同，因此不能這樣類(lèi)比.如果要類(lèi)比應(yīng)與圖13類(lèi)比.

下面分析圖13，物體C被兩根繩子拉著運(yùn)動(dòng)，速度是2v嗎？

這個(gè)問(wèn)題可以把它看做圖2中α＝0的特殊情況進(jìn)行處理，也可以和 “兩個(gè)博爾特拉著你能跑出5s的百米成績(jī)嗎”這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行類(lèi)比，很容易看出速度并不是2v.那么速度是2v這個(gè)錯(cuò)誤答案是如何產(chǎn)生的呢？

我們來(lái)深入分析得出這個(gè)錯(cuò)誤結(jié)果的過(guò)程：物體C同時(shí)參與兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，一個(gè)跟隨左邊繩子向上運(yùn)動(dòng)，速度為v，另一個(gè)跟隨右邊繩子向上運(yùn)動(dòng)，速度也為v，因此合速度為2v.但是從圖14可以看出，在一段時(shí)間內(nèi)，兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)初末位置、位移、速度均相同，其實(shí)是同一個(gè)運(yùn)動(dòng)，因此物體C的速度并不等于2v，而是v.

圖13

圖14

再來(lái)分析圖15的例子.一平面內(nèi)有兩直線(xiàn)AB和CD，相交α角，若直線(xiàn)AB以速度v1在平面內(nèi)沿垂直于A(yíng)B的方向移動(dòng)，直線(xiàn)CD以速度v2在平面內(nèi)沿垂直于CD的方向移動(dòng)，求兩線(xiàn)交點(diǎn)P的速度.先來(lái)分析學(xué)生的錯(cuò)誤解法.很多學(xué)生認(rèn)為P點(diǎn)速度就是v1和v2的合速度，究其原因，學(xué)生很可能誤以為交點(diǎn)P是兩直線(xiàn)上的固定點(diǎn)（譬如中點(diǎn)），然后跟著兩直線(xiàn)一起運(yùn)動(dòng)，具有兩個(gè)分速度v1和v2，如圖16所示.

圖15

圖16

然后得出P點(diǎn)速度就是v1和v2的合速度這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論，這顯然是因?yàn)闆](méi)有理解交點(diǎn)產(chǎn)生的原因而產(chǎn)生的錯(cuò)覺(jué).實(shí)際上交點(diǎn)在桿上的位置是不斷變動(dòng)的，P′才是兩桿的交點(diǎn)，P點(diǎn)速度的方向沿PP′方向（圖17）.

圖17

沿PB方向位移為

沿PC方向位移為

合位移

合速度

當(dāng)兩桿垂直時(shí)，α＝90°，此時(shí)圖16和圖17一樣，學(xué)生的解法才正確.

5 分運(yùn)動(dòng)具有獨(dú)立性嗎

有些教師在分析上述問(wèn)題時(shí)使用了分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理，認(rèn)為各分運(yùn)動(dòng)互相獨(dú)立，互不影響.那么各分運(yùn)動(dòng)果真互相獨(dú)立，互不影響？文獻(xiàn)［4］給出了精彩回答：各分運(yùn)動(dòng)可以互相獨(dú)立，也可以互相影響，不存在所謂的分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理.現(xiàn)將部分內(nèi)容轉(zhuǎn)述如下：

對(duì)于有空氣阻力的拋體運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度較小時(shí)，可以認(rèn)為空氣阻力大小與速度成正比，這時(shí)

根據(jù)牛頓第二定律可得物體沿x和y方向運(yùn)動(dòng)的微分方程為

這兩個(gè)方程表明，每個(gè)方程都不包含另一方向上的運(yùn)動(dòng)分量，可以分別獨(dú)立地解出方程，此時(shí)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)互相獨(dú)立，互不影響.

再考慮速度較大，空氣阻力大小是速度二次函數(shù)的情況.這時(shí)

物體沿x和y方向運(yùn)動(dòng)的微分方程為

這兩個(gè)方程表明，每個(gè)方程都包含了另一方向上的速度分量，明顯反映出兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)彼此關(guān)聯(lián)，并不是互相獨(dú)立的.

由上述例子可以看出，各分運(yùn)動(dòng)可以互相獨(dú)立，也可以互相影響，所謂的分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理自然就不正確了.

總之，物理模型在物理教學(xué)中固然重要，類(lèi)比法也是解決問(wèn)題的重要方法，但在處理具體問(wèn)題時(shí)，不能單憑感覺(jué)，草率地與熟悉的模型進(jìn)行類(lèi)比，從而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的合成與分解時(shí)，每一個(gè)運(yùn)動(dòng)都要慎重分析，各分運(yùn)動(dòng)有時(shí)并非相互獨(dú)立，互不影響，教會(huì)學(xué)生用聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)處理問(wèn)題，具體問(wèn)題具體分析，嚴(yán)防被直覺(jué)所誤導(dǎo).

1 李慶國(guó)，帥厚梅.物體的速度究竟是多少？ 物理教師，2013（8）：23～24

2 殷正徐.《物體的速度究竟是多少》究竟為什么？物理教師，2014（5）：93～94

3 章建光.補(bǔ)議《兩個(gè)博爾特拉著你能跑出5秒的百米成績(jī)嗎》.中學(xué)物理教學(xué)參考，2013（3）：40～42

4 人民教育出版社.高中物理必修2教師教學(xué)用書(shū).北京：人民教育出版社，2010.28～35