廣東省廣州市第四十四中學 宋庭貴

在哲學上，正與反，動與靜，升與降等都是互相矛盾對立的概念，而唯物辯證法認為矛盾的事物又都是統(tǒng)一的，是可以相互轉化的。在數(shù)學解題中若能恰當?shù)剡\用辯證統(tǒng)一思想，換位思考，常?？墒箚栴}化繁為簡、化難為易，起到柳暗花明，絕處逢生的奇妙作用。

一、利用“正”與“反”辯證的統(tǒng)一，化荊棘為坦途

事物的正、反兩面是互相矛盾對立的。用“正難則反”思想解數(shù)學題，既是一種手段，又是一種策略，更是辯證統(tǒng)一哲學思想在數(shù)學解題上的重要運用。解題時若習慣于沿著一個方向思考問題，而忽視了事物之間具有雙向性和可逆性，往往會使思維受阻。

例1：現(xiàn)有8名奧運會志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語，B1，B2，B3通曉俄語，C1，C2通曉韓語。從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組。求B1和C1不全被選中得概率。

分析：直接分析“B1和C1不全被選中”的情況比較復雜，若考慮它的對立事件――“B1和C1全被選中”這一事件，則相當簡單。問題中的“不全”這一否定表述，是采用“正難則反” 策略的啟發(fā)詞。

解：用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“B1和C1全被選中”這一事件。

由于從8人中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，由1 8個基本事件組成，而有3個基本事件，所以由對立事件概率得

二、利用“特殊”與“一般”的辯證統(tǒng)一，化柳暗為花明

“特殊”與“一般”既對立又統(tǒng)一，“一般”包含著“特殊”，“一般”比“特殊”更能反應事物的本質(zhì)；而“特殊”相對“一般”來說往往顯得簡單和容易，直觀和具體；因此，在數(shù)學解題時，若能辯證地看待二者之間的關系，常常能收到意想不到的解題效果。

例2：如圖1，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積是（ ）

分析：此題由于線段EF位置的不確定，無論怎么分割圖形都不好求體積。將圖形特殊化，是解題的關鍵。

不妨設ED⊥平面ABCD，且使ED=2，連結AF、DF。

三、利用“整體”與“部分”的辯證統(tǒng)一，化阻滯為暢順

某些數(shù)學問題，如果只是在其整體或部分中探尋解答，會使思維紊亂，頭緒不清或陷入片面性，假若辯證地把整體轉化為部分，或?qū)⒉糠滞卣沟秸w，解題思路便會豁然開朗，問題也就迎刃而解。

例3：四面體OABC中，OA,OB,OC兩兩垂直，且OA=OB=4=，OC=2，求四面體的外接球半徑。

分析：四面體外接球問題較復雜，直接入手很難，若用整體思想考慮，可看出四面體是長度為4，4，2的長方體的一部分，而長方體的外接球即為原四面體的外接球，長方體對角線為外接球半徑此題是用整體補形法處理問題的典型例子，通過補形巧妙地轉化了問題。

四、利用“主”與“次”的辯證統(tǒng)一，化繁難為簡潔

常量與變量是一對矛盾的統(tǒng)一體，它們既是矛盾的，但是在一定條件下又是可以相互轉化的。把常量當作變量，而反過來把變量當作常量的“反客為主”的思維方法，是一種巧妙的思維方法，是辯證統(tǒng)一哲學思想的具體運用?！胺纯蜑橹鳌币卜Q更換主元，是指在解題過程中將兩個字母或代數(shù)式主次互換，達到消元、降次、化歸的目的，將復雜問題簡單化。

分析：本題化指數(shù)不等式為整式不等式是不難的，問題是下一步應當怎樣走？是以x為主，討論二次不等式，還是以a為主，討論一次不等式？其難易之分是顯而易見的。

故x的取值范圍是(- ∞, -1 ) ∪ ( 3,+ ∞).