廣東省廣州市第四十四中學(xué) 宋庭貴

在哲學(xué)上，正與反，動(dòng)與靜，升與降等都是互相矛盾對(duì)立的概念，而唯物辯證法認(rèn)為矛盾的事物又都是統(tǒng)一的，是可以相互轉(zhuǎn)化的。在數(shù)學(xué)解題中若能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用辯證統(tǒng)一思想，換位思考，常常可使問題化繁為簡(jiǎn)、化難為易，起到柳暗花明，絕處逢生的奇妙作用。

一、利用“正”與“反”辯證的統(tǒng)一，化荊棘為坦途

事物的正、反兩面是互相矛盾對(duì)立的。用“正難則反”思想解數(shù)學(xué)題，既是一種手段，又是一種策略，更是辯證統(tǒng)一哲學(xué)思想在數(shù)學(xué)解題上的重要運(yùn)用。解題時(shí)若習(xí)慣于沿著一個(gè)方向思考問題，而忽視了事物之間具有雙向性和可逆性，往往會(huì)使思維受阻。

例1：現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語，B1，B2，B3通曉俄語，C1，C2通曉韓語。從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個(gè)小組。求B1和C1不全被選中得概率。

分析：直接分析“B1和C1不全被選中”的情況比較復(fù)雜，若考慮它的對(duì)立事件――“B1和C1全被選中”這一事件，則相當(dāng)簡(jiǎn)單。問題中的“不全”這一否定表述，是采用“正難則反” 策略的啟發(fā)詞。

解：用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件，則其對(duì)立事件表示“B1和C1全被選中”這一事件。

由于從8人中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，由1 8個(gè)基本事件組成，而有3個(gè)基本事件，所以由對(duì)立事件概率得

二、利用“特殊”與“一般”的辯證統(tǒng)一，化柳暗為花明

“特殊”與“一般”既對(duì)立又統(tǒng)一，“一般”包含著“特殊”，“一般”比“特殊”更能反應(yīng)事物的本質(zhì)；而“特殊”相對(duì)“一般”來說往往顯得簡(jiǎn)單和容易，直觀和具體；因此，在數(shù)學(xué)解題時(shí)，若能辯證地看待二者之間的關(guān)系，常常能收到意想不到的解題效果。

例2：如圖1，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積是（ ）

分析：此題由于線段EF位置的不確定，無論怎么分割圖形都不好求體積。將圖形特殊化，是解題的關(guān)鍵。

不妨設(shè)ED⊥平面ABCD，且使ED=2，連結(jié)AF、DF。

三、利用“整體”與“部分”的辯證統(tǒng)一，化阻滯為暢順

某些數(shù)學(xué)問題，如果只是在其整體或部分中探尋解答，會(huì)使思維紊亂，頭緒不清或陷入片面性，假若辯證地把整體轉(zhuǎn)化為部分，或?qū)⒉糠滞卣沟秸w，解題思路便會(huì)豁然開朗，問題也就迎刃而解。

例3：四面體OABC中，OA,OB,OC兩兩垂直，且OA=OB=4=，OC=2，求四面體的外接球半徑。

分析：四面體外接球問題較復(fù)雜，直接入手很難，若用整體思想考慮，可看出四面體是長(zhǎng)度為4，4，2的長(zhǎng)方體的一部分，而長(zhǎng)方體的外接球即為原四面體的外接球，長(zhǎng)方體對(duì)角線為外接球半徑此題是用整體補(bǔ)形法處理問題的典型例子，通過補(bǔ)形巧妙地轉(zhuǎn)化了問題。

四、利用“主”與“次”的辯證統(tǒng)一，化繁難為簡(jiǎn)潔

常量與變量是一對(duì)矛盾的統(tǒng)一體，它們既是矛盾的，但是在一定條件下又是可以相互轉(zhuǎn)化的。把常量當(dāng)作變量，而反過來把變量當(dāng)作常量的“反客為主”的思維方法，是一種巧妙的思維方法，是辯證統(tǒng)一哲學(xué)思想的具體運(yùn)用?！胺纯蜑橹鳌币卜Q更換主元，是指在解題過程中將兩個(gè)字母或代數(shù)式主次互換，達(dá)到消元、降次、化歸的目的，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

分析：本題化指數(shù)不等式為整式不等式是不難的，問題是下一步應(yīng)當(dāng)怎樣走？是以x為主，討論二次不等式，還是以a為主，討論一次不等式？其難易之分是顯而易見的。

故x的取值范圍是(- ∞, -1 ) ∪ ( 3,+ ∞).