福建省連城縣第二中學(xué) 羅英平

高中數(shù)學(xué)新教材引進(jìn)向量知識(shí)，它對(duì)我們解決數(shù)學(xué)中一些抽象的、復(fù)雜的、隱形的、不可測(cè)視的數(shù)學(xué)問題提供了一種便捷、好理解、易解答的良好通道，對(duì)立幾的一些問題，它擺脫以往那種作、找、證、求，最后得出結(jié)論的復(fù)雜解題模式，向量給我們提供一種從簡單而又程序化的運(yùn)算方法來解決問題，它是一種更為直觀形象的解題工具，同時(shí)它也為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)開拓了一條創(chuàng)新思維的好通道。下面就向量在高中數(shù)學(xué)的一些運(yùn)用作一些分析淺議。

一、平幾中可用向量求解直線方程及判斷直線的位置關(guān)系

在平面解析幾何中，直線l: Ax+ B y+ C =0（A,→B不同時(shí)為0）的方→向向量可取為v = (- B, A)，法向量n =(A , B),研究直線的位置關(guān)系，完全可用它兩個(gè)向量來全權(quán)處理。況且它們的坐標(biāo)值與變量x,y的系數(shù)相關(guān)，這對(duì)我們解決起問題來又方便了許多。

例1：已知點(diǎn)A(1,2)B(3,1) ，則線段AB的垂直平分線的方程是_______________。

解析：依題知，向量就可作為所求直線的法向量，從而方程可設(shè)為2x-y+t=0，再由直線又過線段AB的中點(diǎn)將之代入即可求出參數(shù)，所以中垂線方程為即4 x - 2 y -5 = 0。

二、求線段的比值

例2：如圖1，在ΔABC中，D,E 分別在邊BC,AB上，且滿足BD=CD,BE=2AE，AD,CE相交于F，求CF：EF的值。

解析：本題可用初中平幾的比例線段以及相似三角形的知識(shí)來求解，在學(xué)完平面向量基本定理、向量的三角形運(yùn)算法則及三點(diǎn)共線的充要條件等相關(guān)知識(shí)后，我們也可以用它們來解該題。

三、用向量來確定點(diǎn)的坐標(biāo)

利用向量相等的充要條件和向量坐標(biāo)的確定方法，來確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，可避免思維上的混亂，比較順利地求解一些點(diǎn)的坐標(biāo)。

例3：已知點(diǎn)A(2,4),B(6,-2) ，點(diǎn)P分有向線段的比為－2，求P的坐標(biāo)。

利用向量來解題，它給我們簡潔上的美好感受，但要靈活熟練利用它來解題，我們必須：①有關(guān)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本數(shù)學(xué)理論要清晰；②要清楚所用知識(shí)的理論依據(jù)；③能從題中有已知條件提煉出對(duì)解題有用的信息；④對(duì)向量的運(yùn)算法則、規(guī)律要理解掌握，并能熟練進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算；⑤能在思維嚴(yán)密、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臈l件下進(jìn)行有條理的計(jì)算和論證，使問題得到完美解答。

四、向量在立幾中，對(duì)解決空間元素的位置關(guān)系、空間角及空間距離有很好的應(yīng)用

如果用純幾何法來完成它們，有時(shí)有很大難度，甚至根本無法解，因?yàn)樗鼈冇袝r(shí)是隱藏的、不可視的、抽象的，有些幾何量作不出，更不好證和求解了。而向量法正好可以避開這些，只要我們能從理論上理解它，運(yùn)算能力強(qiáng)，思維嚴(yán)密嚴(yán)謹(jǐn)，不用作、找、證、求，即可得到完美的解決。

在立幾中，直線可用其方向向量來代表，平面可用其法向量來代表，即可完成一系列的論證和求解。

設(shè)直線的方向向量為平面法向量為，則有

1.兩直線平行的充要條件是或使的兩直線垂直的充要條件是或

3.直線和平面平行的充分條件是或

4.直線和平面垂直的充要條件是或使的

6.兩平面平行的充要條件是或使的

7.兩平面垂直的充要條件是或

9.兩異面直線的距離等于兩直線上各一點(diǎn)P,Q的連線段表示的向量在兩直線的公垂向量 上的射影長度（公垂向量即為與兩異面直線都垂直的向量）,即

10.線到面，面到面的距離可統(tǒng)一歸為點(diǎn)到面的距離，則點(diǎn)P到平面α的距離等于平面上任意點(diǎn)A與P構(gòu)成的向量在平面法向量方向上的射影長度，即：

從上面的公式可知，只要相應(yīng)的公式記憶清楚，公式的來源明白，解決空間元素位置、空間角及空間距離的求解完全轉(zhuǎn)化兩向量之間的問題了。

用向量解題，要能正確讀圖，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并能正確確定各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)確定正確是解題正確的前提和基礎(chǔ)，這要求思路要清晰，知識(shí)公式要明晰，解題要素明確并能求解正確，這樣才能達(dá)到解題完美。

以上是向量優(yōu)越性的部分運(yùn)用，當(dāng)然任何方法的優(yōu)劣都是相對(duì)的，只有在真正理解掌握知識(shí)的來龍去脈，方法的理論依據(jù)和形成過程，并在熟練的基礎(chǔ)上得以靈活運(yùn)用，那才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。學(xué)數(shù)學(xué)不難，只要有正確的做學(xué)問的態(tài)度，肯下功夫，有持之以恒的毅力，有嚴(yán)密訓(xùn)練，數(shù)學(xué)邏輯思維能力，運(yùn)算能力，表達(dá)能力，空間想象能力等數(shù)學(xué)能力都能得到提高和發(fā)展，在熟的基礎(chǔ)上就能生巧，就能形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，并能在運(yùn)用上得心應(yīng)手。