廣東省肇慶市德慶縣香山中學(xué) 李素瓊

題目：7人排隊(duì)，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法？

方法一：倍縮法。

對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：

方法二：空位法。

設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有1種坐法，則共有種方法。

方法三：插入法。

可以先讓甲乙丙就坐，先排甲乙丙三個(gè)人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有方法。

排列組合歷來(lái)是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，排列組合問(wèn)題聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，解決排列組合問(wèn)題，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問(wèn)題、組合問(wèn)題還是排列與組合綜合問(wèn)題；其次要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)處理。通過(guò)我們平時(shí)做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點(diǎn)是條件隱晦、不易挖掘、題目多變、解法獨(dú)特、數(shù)字龐大、難以驗(yàn)證。對(duì)有關(guān)排列組合的幾種常見(jiàn)的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固，只有對(duì)基本的解題策略熟練掌握，根據(jù)它們的條件，我們就可以選取不同的技巧來(lái)解決問(wèn)題。對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題，我們可以將幾種策略結(jié)合起來(lái)應(yīng)用把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，舉一反三，觸類旁通，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

通過(guò)本例的證明與拓展，學(xué)生掌握了相關(guān)的知識(shí)與技能，體會(huì)到知識(shí)的聯(lián)系與綜合，通過(guò)一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過(guò)程。因此，我們總結(jié)了在實(shí)際教學(xué)中一題多解有以下幾點(diǎn)的作用。

第一，一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。

對(duì)于同一道題，從不同的角度去分析研究，可能會(huì)得到不同的啟示，從而引出多種不同的解法。在教學(xué)中，不失時(shí)機(jī)地通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“一題多解”的訓(xùn)練，通過(guò)廣泛的聯(lián)想，使我們的思維觸角伸向不同的方向，不同的層次，這樣不僅能鞏固所學(xué)知識(shí)，而且能較好地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的地位非常重要，同時(shí)要求學(xué)生認(rèn)真比較三種解法的利弊與依據(jù)，然后啟發(fā)學(xué)生：一道好題能激發(fā)人的興趣，引導(dǎo)人的思想，啟迪人的思維，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)養(yǎng)成探索不同的方法解題的習(xí)慣，這樣才能更好地提高解題的能力。

通過(guò)一題多解，既能促使學(xué)生溝通知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，又培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。同時(shí)也讓學(xué)生通過(guò)對(duì)比、小結(jié)，得出自己的體會(huì)，充分發(fā)掘自身的潛能，從而提高自己的解題能力，這不僅引導(dǎo)學(xué)生多方法，多視角思考問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成良好的思維品質(zhì)，而且使學(xué)生感受到成功的喜悅和增強(qiáng)自信心，也極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和濃厚的興趣，從而在很大程度上培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性。

第二，一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。 思維的深刻性，不僅表現(xiàn)在審題時(shí)能很快發(fā)現(xiàn)和抓住問(wèn)題的基本特征，挖掘出隱含條件，從而迅速確立解題的策略，而且還表現(xiàn)在解題后不滿足于“一題一法”而是深刻領(lǐng)會(huì)解題的實(shí)質(zhì)，掌握其一般規(guī)律。一般要通過(guò)挖掘隱含條件，更簡(jiǎn)潔更準(zhǔn)確的給出解答，通過(guò)對(duì)比可知分析題目時(shí)，不能老把思維停留在題目的表面上，而要深入洞察問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，揭示問(wèn)題中的本質(zhì)特征，從而養(yǎng)成深刻思維的良好習(xí)慣，達(dá)到優(yōu)化解題的效果。

第三，一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

數(shù)學(xué)問(wèn)題形式多樣，千姿百態(tài)，由于思維定勢(shì)產(chǎn)生的負(fù)效應(yīng)，學(xué)生解題時(shí)往往墨守成規(guī)，故思維靈活性的培養(yǎng)在解題教學(xué)中，主要表現(xiàn)為一題多解。即善于根據(jù)題設(shè)中的具體情況，及時(shí)地提出新的設(shè)想和解題方案，不固執(zhí)己見(jiàn)，不拘泥于陳舊的方案。

第四，一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

一題多解對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)起著重要的作用。一題多解的訓(xùn)練，可開(kāi)拓學(xué)生思路，提高學(xué)生思維的靈活性和敏捷性；在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維能力方面有特殊的功能；也是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力的主要途徑之一。

習(xí)題：已知為等差數(shù)列，其前10項(xiàng)的和S10=100，前100項(xiàng)的和S100=10。求前110項(xiàng)的和S110。

方法一：要求等差數(shù)列的和可先求首項(xiàng)及公差，利用方程思想(常規(guī)解法)

方法二：函數(shù)思想（待定系數(shù)法）

再由S =A × 1 102+B × 1 10 = -110

因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列

方法三：利用性質(zhì)（簡(jiǎn)化運(yùn)算）

因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，

通過(guò)此題采用多種解法解答不但激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，也培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；使學(xué)生能夠全面發(fā)展成為擁有良好的創(chuàng)新思維品質(zhì)和勇于探索的科學(xué)精神的高素質(zhì)人才。

總之，一題多解是數(shù)學(xué)題解教學(xué)中的一種常用方法，是培養(yǎng)、提高學(xué)生思維能力，創(chuàng)新能力，分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力的有效方法。只要我們能善于運(yùn)用，積極引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用，就能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和創(chuàng)造性的思維能力，而且也能減輕學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的負(fù)擔(dān)，還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，真正發(fā)揮一題多解在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)有的作用。教學(xué)中適當(dāng)?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。