樊 娟，李小勇*，王文海

(西北民族大學實驗中心，甘肅蘭州 730030)

氫原子能級Stark位移的理論研究

樊 娟，李小勇*，王文海

(西北民族大學實驗中心，甘肅蘭州 730030)

利用對角化方法，通過數(shù)值求解氫原子處于靜電場中薛定諤方程，研究了氫原子的Stark能級分裂，計算得到了n=7,10,15,16,17,18能級附近的Stark位移.

Stark位移;氫原子;對角化

氫原子中電子受到對稱的庫侖場的作用，第n個能級有n2重簡并.當氫原子處在外電場中時，電子所受勢場的球?qū)ΨQ性受到破壞，能級發(fā)生移動或分裂，簡并度降低.這種在外電場中氫原子能級發(fā)生移動或分裂的現(xiàn)象，稱之為氫原子的Stark效應.Stark效應的發(fā)現(xiàn)，證實了玻爾氫原子理論模型的正確性，為早期量子力學的發(fā)展提供了一定的實驗支持，并開啟了人們研究原子與外場相互作用的大門，并且Stark效應對于理解原子或者分子光譜等也具有非常重要的意義.

Stark效應發(fā)現(xiàn)后,人們對其產(chǎn)生了濃厚的興趣.理論上已發(fā)展了好幾種研究Stark位移的方法，最常用的有微擾法、解析法(或半解析法)和直接數(shù)值求解法.時慶云[1]對氫原子一級Stark效應進行了研究，并討論了n=1,2,3三個能級.曾謹言[2]同樣也對氫原子的一級Stark效應進行了研究.許新勝等[3]研究了氫原子低能級的Stark效應，基態(tài)精確到了二級修正.蘇燕飛等[4]給出了任意狀態(tài)下氫原子Stark效應中的久期方程行列式中各矩陣元的分布規(guī)律，并給出了n=1，2，3，4能級對應的久期方程.這些研究都采用了微擾法.用微擾法研究氫原子的Stark位移時，當氫原子處于弱外電場下且研究的為高激發(fā)態(tài)時，計算得到的結(jié)果能與實驗符合很好，但當氫原子置于強外電場中，并且研究的為低態(tài)激發(fā)態(tài)時，微擾法就不能給出有意義的結(jié)果.有時人們期望能夠找到含時薛定諤方程的解析解(或半析解解).這是由于解析解(或半解析解)不僅給出的結(jié)果簡單，便于把握規(guī)律，而且物理意義明確.但是，解析法或半解析法的結(jié)果僅僅對某些特定的原子或特定的條件才適用.因此，它的應用范圍受到了很大的限制.事實上，比微擾法、解析法(或半解析法)應用范圍廣的方法是直接數(shù)求解法.隨著計算機性能和速度的飛速提高和計算方法的不斷完善，使用計算機來直接進行數(shù)值求解就顯得更加容易了.針對微擾法和解析法(或半解析法)的不足，我們采用了數(shù)值對角化來研究氫原Stark位移.1979年，Zimmerman 等[5]利用對角化的辦法研究了里德堡堿金屬原子的Stark效應，并且得到與實驗符合的結(jié)果.

本文首先給出氫原子在外電場中的哈密頓算符，并寫出與其對應的矩陣表達式，然后通過零場下氫原子的本征值和本征函數(shù)來構(gòu)造靜電場中的波函數(shù)，再通過數(shù)值對角化方法得到任意態(tài)氫原子的Stark位移.

1 理論方法

外電場中，不考慮電子的自旋和相對論效應，氫原子的哈密頓算符為(原子單位)

(1)

(2)

(3)

由于價電子所受的作用勢為中心勢，因此，零場下氫原子的波函數(shù)為

(4)

其中，Rn l(r)為徑向波函數(shù);Yl m(θ,φ)為球諧波函數(shù);n,l,m分別為主量子數(shù)、角量子數(shù)和磁量子數(shù).

(5)

當存在外電場時，本征值方程為[6]

(6)

(7)

用Φi左乘(6)式并積分得到

(8)

其中，哈密頓矩陣元為

(9)

(10)

(11)

理想情況下，(7)式中的求和應該取無窮多項，但在實際計算中很難實現(xiàn).如何選擇求和的基函數(shù)，對實際的計算具有重要意義.求和中參與求和的基函數(shù)及相應的個數(shù)選擇得當，不僅可以大大減少計算工作量，而且還可以保證必要的精度.

在一般情形下，只有能量在所研究的態(tài)鄰近的那些激發(fā)態(tài)會對所研究的態(tài)產(chǎn)生較大影響.因此可以選擇其附近能區(qū)內(nèi)的態(tài)函數(shù)作為基函數(shù).用(n,l)表示絕熱近似下與自由原子主量子數(shù)為n,角量子數(shù)為l相聯(lián)系的Stark態(tài)，而用(n,li-lj)表示(n,l),(n,li+1),…(n,lj)等一組相鄰近的Stark態(tài).

2 結(jié)果與討論

2.1 基函數(shù)的選取

在氫原子9S態(tài)對應能量處，上下對稱的截取n=6到n=11的態(tài)作為基函數(shù)組，得到的51個自由原子的波函數(shù)，為了檢驗基函數(shù)選取的完備性，同時選取主量子數(shù)n=1到n=15所有120個自由原子波函數(shù)作為基函數(shù)組.最后得到的兩組結(jié)果符合的很好，相差最多不超過10-6Hartree.表1為計算得到的結(jié)果.

可見，在選取基函數(shù)時，只要選取的基保證有足夠的精度就行.這樣，即減少了對計算機內(nèi)存需求，又提高了計算效率.

表1 Stark態(tài)9S能量隨靜電場強度的變化(0.01 Hartree)

2.2 氫原子的Stark位移

下面根據(jù)基函數(shù)的選取，所研究的態(tài)鄰近的那些激發(fā)態(tài)會對所研究的態(tài)產(chǎn)生較大影響，選擇其附近能區(qū)內(nèi)的態(tài)函數(shù)作為基函數(shù).通過數(shù)值對角化的辦法，研究氫原子在不同外電場強度下，不同主量子數(shù)的Stark位移結(jié)果.

2.2.1 氫原子置于外電場中n=7附近的一簇Stark位移 在計算時，截取n=4到n=10，則基函數(shù)組由自由原子的波函數(shù)(4，0-3)，(5，0-4)，(6，0-5)，(7，0-6)，(8，0-7)，(9，0-8)，(10，0-9)組成，共記49個，得到圖1.從圖1可以看出，氫原子n相同l不同的態(tài)，在零場下是簡并的，置于外電場中發(fā)生了Stark分裂.在一定的外電場范圍內(nèi)電場強度與能量呈線性關(guān)系.從這些Stark態(tài)中可以看出它們的間距大致相等，并且可以計算n相同l不同的兩個Stark態(tài)的大致能量之差，得到它們的差值大致相等.

圖1 氫原子附近的一簇Stark態(tài)

2.2.2 氫原子在外電場中n=7和n=10附近的兩簇Stark位移的比較 在計算時，分別截取n=4到n=10和n=7到n=13作為基函數(shù)組，分別得到49個自由原子的波函數(shù)和70個自由原子的波函數(shù)，如圖2所示.從圖中可以看出，兩簇Stark能譜中，n相同l不同的兩個Stark態(tài)，n越大的發(fā)生Stark位移越大，n越小的發(fā)生的Stark位移越小.

圖2 氫原子n=7和附近兩簇的Stark位移

2.2.3 氫原子在外電場中n=15和n=16相鄰的兩簇Stark位移比較 在計算時，截取n=13到n=18，則基函數(shù)由自由原子的波函數(shù)(13，0-12)，(14，0-13)，(15，0-14)，(16，0-15)，(17，0-16)，(18，0-17)組成，共記93個，得到Stark態(tài)(15，14)和Stark態(tài)(16，0)相交，如圖3所示.可以看出,兩組鄰近的能態(tài)發(fā)生Stark分裂時，在某一外電場范圍內(nèi)Stark態(tài)(n,n-1)與Stark態(tài)(n+1,0)會發(fā)生交叉，如圖3中A點.該點所對應的外電場強度大致為2 070 V·cm-1.

為了更好地檢驗基函數(shù)選取的有效性以及更深入地研究Stark效應，下面來研究較高激發(fā)態(tài)的氫原子.

圖3 氫原子n=15和附近兩簇的Stark位移Fig 3 Stark state of H atom with n=15

2.2.4 氫原子在外電場中n=17和n=18相鄰的兩簇Stark位移 計算時，分別截取n=15到n=20，則基函數(shù)組由自由原子的波函數(shù)由(15，0-14)，(16，0-15)，(17，0-16)，(18，0-15)，(19，0-18)，(19，0-18)，(20，0-19)組成，共記124個，得到Stark態(tài)(17，16)和Stark態(tài)(18，0)發(fā)生交叉，如圖4中A點，并且A點對應的外電場強度大致為1 260 V·cm-1.

由圖3和圖4比較可以看出,它們交叉點的位置不同.并可以明顯地看出圖4中A點所對應的外電場強度比圖3中A點所對應的外電場強度小.

圖4 氫原子n=17和附近兩簇的Stark位移Fig 4 Stark state of H atom with n=17

綜上所述，氫原子置于外電場中發(fā)生Stark分裂時，在一定的外電場范圍內(nèi)電場強度與能量呈線性關(guān)系，并且相鄰的兩Stark態(tài)之間的間距大致相等.在兩簇相鄰的Stark能譜中，在外電場強度足夠的條件下，Stark態(tài)(n,n-1)和Stark態(tài)(n+1,0)會在某一定外電場范圍內(nèi)會發(fā)生第交叉，且該交叉點所對應的外電場強度隨主量子數(shù)n的升高而降低.

3 結(jié)束語

針對微擾法、解析法(或半解析法)的不足，采用數(shù)值對角化的辦法研究了氫原子置于外電場時的Stark位移.研究表明，用數(shù)值對角化的方法無論研究弱場還是強場下的高、低激發(fā)態(tài)的氫原子的Stark位移，都能得到很好的結(jié)果.另外，本文還給出了不同主量子數(shù)下Stark態(tài)的分裂規(guī)律，比較了Stark態(tài)能級交叉點隨n的變化情況.

[1] 時慶云.量子力學[M].北京：北京理工大學出版社，1993：256-259.

[2] 曾謹言.量子力學：卷Ⅰ[M].北京：科學出版社,2001：356-347

[3] 許新勝，張先燚,涂興華.氫原子低能級的Stark效應[J].安徽師范大學學報：自然科學版,2001，24(1):21-26.

[4] 蘇燕飛，張昌莘,席偉.氫原子Stark效應的能級分裂規(guī)律[J].大學物理,2004,24(2):8-10.

[5] ZIMMERMAN M L,LITTMAN M G,KASH M M,et al.Stark structure of the Rydberg states of alkali-metal atoms[J].PhysRevA 1979,20(6):2251-2275.

[6] 張現(xiàn)周.頻率調(diào)制場中里德堡原子的激發(fā)與態(tài)囚禁[D].武漢：中國科學院武漢物理與數(shù)學研究所，2003.

[7] HOOKER A,GREENE C H,WILUAM C.Classical examination of the Stark effect in hydrogen[J].PhysRevA 1997,55(6):4069-4612.

(責任編輯 孫對兄)

Theoretical study on level energy shift of H atom

FAN Juan,LI Xiao-yong,WANG Wen-hai

(Experimental Center,Northwest University for Nationalities,Lanzhou 730030,Gansu,China)

By using the numerical diagonalization method,Stark effect of hydrogen atoms has been studied by solving Schr?dinger equation for hydrogen atoms in the static field,then we obtain the Stark shifts of the states which are in the neighborhood ofn=7,10,15,16,17,18.

Stark shift;hydrogen atom;diagonalization

2014-12-05;修改稿收到日期:2015-03-20

國家民委科研基金資助項目(14XB2019)；西北民族大學中青年基金資助項目(N12098,x2010-6)；西北民族大學大學生創(chuàng)新基金資助項目

樊娟(1984—)，女，甘肅渭源人，實驗師.主要研究方向為非線性光學、物理教育. E-mail:fanjuan@xbmu.edu.cn*通訊聯(lián)系人，男，甘肅寧縣人，高級實驗師，博士.主要研究方向為強激光場中的原子物理.E-mail:lxycock@163.com

O 562.3+2

A

1001-988Ⅹ(2015)04-0034-04