蔡磊

【內(nèi)容摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，可以使學(xué)生達(dá)到融會(huì)貫通的要求，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加輕松。高中立體幾何中割補(bǔ)法是一種非常重要的方法，使用割補(bǔ)法能夠降低題目的難度，快速有效的解決問(wèn)題。本文立足于此，對(duì)高中立體幾何中割補(bǔ)法的教學(xué)進(jìn)行探討。

【關(guān)鍵詞】割補(bǔ)法 ?高中立體幾何 ?應(yīng)用研究

在高中立體幾何中，割補(bǔ)法是一種特殊的方法，通過(guò)對(duì)已知幾何體的割補(bǔ)，能夠得到一個(gè)新的幾何體，新的幾何體和原來(lái)的幾何體具有一定的聯(lián)系，從而可以將所求問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的。割補(bǔ)法中蘊(yùn)含著構(gòu)造的思想，也是對(duì)立統(tǒng)一哲學(xué)思想的反映，培養(yǎng)學(xué)生的割補(bǔ)思想，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)具有重要的意義。

一、補(bǔ)形法

補(bǔ)形法就是將原有的立體幾何圖形補(bǔ)充一部分，形成一個(gè)新的立體幾何圖形，在新的立體幾何圖形中研究圖形的體積等性質(zhì)。一般使用補(bǔ)形法時(shí)，原有的立體幾何圖形的相知和數(shù)量求取方法比較復(fù)雜，通過(guò)補(bǔ)充后，新的圖形和補(bǔ)充的部分?jǐn)?shù)量關(guān)系求法比較簡(jiǎn)單。

1.構(gòu)造正方體法

正方體是一個(gè)比較特殊有簡(jiǎn)單的幾何體，通過(guò)割補(bǔ)法構(gòu)造正方體，可以將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，可以找到解題的簡(jiǎn)單方法。

例1：過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作PA⊥面AC，且PA=AB。求平面PAB和面PCD所成二面角。

分析：由于是正方形ABCD，PA垂直該面且PA=AB，這樣構(gòu)造出一個(gè)正方體，正方體的邊長(zhǎng)與AB長(zhǎng)相同，所求的平面PAB和面PCD所成二面角，就是正方體的一條邊所在的面和其所在的對(duì)角面所成的夾角，為45°。

例2：一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為

，四個(gè)頂點(diǎn)在一球面上，求此球的表面積。

分析1：正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為

，四個(gè)頂點(diǎn)都在球上，球的球心與四面體的中心相同，設(shè)ΔACD的重心為E，則球心在線段BE上，可以通過(guò)直角三角形求出，但是計(jì)算比較復(fù)雜。

分析2：將四面體ABCD補(bǔ)成正方體，補(bǔ)成的正方體與正四面體的外接球是同一個(gè)球，由于正四面體棱長(zhǎng)為 ? ?，所以正方體的棱長(zhǎng)為1，外接球的半徑為 ? ? ，所以球的面積為3π。

2.臺(tái)體補(bǔ)成錐體法

臺(tái)體與錐體具有一定的關(guān)系，臺(tái)體可以通過(guò)錐體截取一部分得到，它們的性質(zhì)相似，如果臺(tái)體中有些性質(zhì)比較難解答時(shí)，可以將臺(tái)體補(bǔ)充一個(gè)小的錐體，得到一個(gè)大的錐體，使問(wèn)題得到轉(zhuǎn)化，從而找到簡(jiǎn)便的解答辦法。

例3：已知三棱臺(tái)ABC-A′B′C′的側(cè)面A′ACC′是底角互余的梯形，且該側(cè)面垂直于底面，∠ACB=90°，求證：三棱臺(tái)另兩個(gè)側(cè)面互相垂直。

分析：要證明三棱臺(tái)ABC-A′B′C′的側(cè)面A′ABB′與側(cè)面B′BCC′互相垂直，可以使用面面垂直判定定理或者證明這兩個(gè)面所成的二面角是直二面角，但是兩種方法只靠原立體圖形是很難證明的，可以考慮將三棱臺(tái)ABC-A′B′C′補(bǔ)成三棱錐P-ABC。

二、分割法

分割法是將幾何體分割成若干個(gè)部分，利用整體與部分的關(guān)系來(lái)解決所求問(wèn)題。使用分割法時(shí)，要將原有的幾何體分割成比較常見(jiàn)的幾何體，使原來(lái)所求的問(wèn)題更加簡(jiǎn)單。

1.從整體分割出部分已知幾何體

例4：已知一個(gè)斜三棱柱的ABC-A′B′C′的一個(gè)側(cè)面A′ABB′的面積為S，側(cè)棱CC′到側(cè)面A′ABB′的距離為h，求該三棱柱的體積。

分析：根據(jù)三棱柱的體積公式，要求三棱柱的體積，要知道三棱柱的底面積和高度，但是這道題根據(jù)已知條件無(wú)法求出底面積和高。根據(jù)已知條件側(cè)面A′ABB′的面積為S，側(cè)棱CC′到側(cè)面A′ABB′的距離為h，可以看作為將側(cè)面A′ABB′作為底面，C為頂點(diǎn)的四棱錐C-A′ABB′的底面積和高，再根據(jù)四棱C-A′ABB′與三棱柱之間的關(guān)系求出三棱柱的體積。

2.把整體分割成幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的部分

例5：已知正四面體的棱長(zhǎng)為a，求其內(nèi)部任一點(diǎn)P到各個(gè)面的距離之和。

分析：由于PS是正四面體內(nèi)部的任一點(diǎn)，具有不定性，無(wú)法確定點(diǎn)P到個(gè)面的距離。可以將P作為頂點(diǎn)，將P點(diǎn)與其他頂點(diǎn)連接，可以得到四個(gè)以P為頂點(diǎn)的三棱錐，P點(diǎn)到各面的距離是各個(gè)三棱錐的高，利用正四面體的體積是四個(gè)三棱錐體積之和的關(guān)系，就可以求出P點(diǎn)到各面的距離之和。

解：連接PA、PB、PC、PD，把正四面體ABCD分成四個(gè)三棱錐：三棱錐P-ABC、三棱錐P-BCD、三棱錐P-ABD和三棱錐P-ACD。設(shè)P到各個(gè)面的距離分別為h1、h2、h3和h4，由于是正四面體，各個(gè)面的面積都相等，設(shè)為S，則這四個(gè)三棱錐的體積分別為： ?Sh1、

Sh2、 Sh3、 Sh4，正四面體的體積為

aS，所以有等式 ?Sh1+ ?Sh2+ ?Sh3+

Sh4= ? ? aS，解得h1+h2+h3+h4= ? ? a。

三、小結(jié)

割補(bǔ)法在高中立體幾何中具有廣泛的應(yīng)用，立體幾何中的許多定理和結(jié)論都來(lái)自于生活實(shí)踐，與平面幾何之間具有很重要的關(guān)聯(lián)。所以在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想實(shí)際模型，加強(qiáng)學(xué)生的立體想象能力，使學(xué)生的頭腦中形成立體幾何圖形的模型，對(duì)于割補(bǔ)法具有更形象的理解，從而提高學(xué)生解決立體幾何問(wèn)題的能力。

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（作者單位：江蘇省鹽城市田家炳中學(xué)）